1000000036

726

EQU

par les tangen tes 'paralleles au diametre du eerc1e,

i"ordonnée politive devient 7.éro, & redevient enfui[e po–

Jitive, & par une intinité d'au[res cas fem blables.

Dans les

mlmoireJ de /'aeadimie deJ SeieneeJ plJ1lr

l'tlnnée

1747,

page

665',

on [rouve un favant mémoire

de M. Fontaine fur la réfolu[ion des

étptationJ.

L'au–

l eur 31lnonCe qu'il donne ce mémoire

pO/lr /'ana1yfe en

elJtier, teJle q'''OfJ la eherehe,

dit-il,

inutilem",'.t dc–

pui, r ori,';'Je de I'l1lgebre.

fe propofe en effe.t de

dOll ner dan s ce[ ouvrage des regles pour dé[ermlner,

dans une

Ir¡uation

quclconque propofée,

[ 0.

la natme

le nombre des racines, c'efl-a-dire

elles font réel–

les, égal es ou illégales, toures poli[ives, lOu[es o.éga–

ves ,

ou en partie pofi[ives

néga[ives, ou en.fin [ma–

gilll ires en [out ou en partie. L'auteur fuppofe dans

ce[ ouvrage la vérité d'un [héoreme que j'ai démontré

le premier,

dOn! il

déja é[é fait mention plus

haut: favoir que toure racine imagioaire' d'une

<qua/ion

peut [oujours erre exprimée par

1/-[ ,

b 6-

tan t deux quantités réelles , & qu'il y a en ce os en-

eore une 3utre racine esprimée par

a-b

Y-l.

N ous

n'etllrernns point ici dans le dé[ail de la mé[hode don–

née par

Fontaine; elle efl

bien expliquée dans

le mé'moire cité, & préCentée avec [an! de précilion,

que nous ne pourrions abfolumenl que la tranfcrire ici;

nous y renvoyons donc le leaeur. N ous ferons feule–

meIH les remarques Cuivau[es, dans lefquelles nous fup–

poferons qu'il ait le mémoire fous les yeux .

jO.

La quan tité ou fonaion formée des coefficiens

m, n,

&c. (qui efl égale a zé ro dans certains cas,

plus grande que 7.éro dans d'autres, & plus petite dans

d'au[res) fe trouve, en faifant égales entr'elles, quel–

ques quantités parmi les racines de

I' ér¡ufltion;

car il y

toujours aut3nt de quantités

&c. dans les

racilles de

l'é'lftation

qu'il y a de cocfliciens

m ,

'1,

c. on a donc aurant

d'i'luflt;oI1J

entre

b ,

&c,

ti.

m , n,

'1'

&c. qu'il y a de coefficiens

m, n,

on ue peu[ arriver a.uné' quamité ou

''luatiol1

tinale,

de laque lle

d ,

&c. ayent difparu, que dans

le cas

011

quelques-unes des quan tités

&c.

feron t égalcs; au[rement, apres lOutes les opérations

ordinaires deflinées a faire évanoüir les inconnues

& , .

(voye<,

A N

&c. il en refleroit tou–

jours une, puifqu'il y auroit aurant d'

''luMionJ

que d'in:

c onoues. Prenons, por exemple, uo des cas que M.

Fontaine a propofés,

x '

=0,

xx-m

,,=

;

on trouve que (

a) (x

)

+ by- r )

(x-a-b¡/~l)

(x-b+a'/-¡)

(.>

- b-a y-¡ )

peuvent

~ [re

les trois fyflemes de

taaeurs de cene formule. Or pour que les deux pre–

m iers fyfl emes de faaeurs deviennent les meJTIes, il

faut que dans le premier fyfleme

& que dans le

fccond

b=o ;

d'ou

1'00

tirexx-2ax +a a:=xx -

done

m:=

a, n

a a

'!!!!';;

donc dans le

cas de

a=b,

on a

mm-'-4n=0,

Maintenant pour

que le fecond & le troifieme fyfleme de faaeurs de–

v iennen t le meme, il faut que

dans les deux fy–

fl emes;ainfi on ama

xx- 2ax+a.a+aa=0;

donc

1mm

m=2a, n=2aa=

-4-;donc

mm'-2n=0;aillli \

mm-4n

mm-2"

COIl! les deux quamités égales,

plus grandes ou plus petites que 'Zéro, qui doivent dé–

terminer ici les racines égales ou les racines réelles, ou

les racines imaginaires, & de plus le figne & la forme

des racines .

2".

011

voit alTez par la nature de la méthode de

Fon[aine, qu'un fyfleme de faaeurs é[ant donné

daos le fecond, ou

mem~

dans le troirie me degré, on

!rouvera la nature de la formule

d' lquation

qui en ré–

fulte, c'efl-a-dire le figne de chaque coeffi ciem de cene

formule; mais on ne voit pas, ce me fcmble, avee la

meme clané commem on dé[erminera la formule qui

réful[c d'un fyfleme de faaeurs, daos les

l'luat;onJ

plus compo(ees que le troilieme degré; ni s'il fera tou–

Jo~rs

poffible d'aillgner exaaement tOutes les formules

qUI réfuhent d'un meme fyflcme de faaeurs, en cas

que. ee fyOe me puirfc produire pluneurs formules.

ferol!, a fouhai[er que ceus qu i tral'ailleron! dans la fuile

d'apres la mé[hode de M . Footaine, s'appliquarfefl!

dé velopper ee dernier objet .

3°· M ,

F OOlaine fuppofe que la quamité

qu~efl=o

dans le cas de la eo"illcidence de deux fyflemes de fa –

a, curs, efl néce!.fairement plul grande que 'Zéro pOur

l, on de ces fyflcI:n es ,.de faaeurs,

plus petite pour

au[re ,

ea vrill qu 1I arrive le plus fouvent qn'une

EQU

quantit~

é'gale

7.~ro

dans I'hypo[hefe de

~eux

quami–

tés qui co'inciden[, efl po.'itive &.

égall ve,

d~os

les

deux cas immédia[ement vo[fins; mals cela n arnve pas

toujours . Par exemple, lorfqu'une

cOUl~e

g~nre

pa–

rabolique touche

Con

axe ,

que par

conléquen~

I abCc,rrc

répondamc

I'ordonn¿'c

Y.=

a deux raclnes éga–

les, il arrive fouvcnt qu'en falfa nt

plus

g.r~nge

ou plus

per ite qu' une de ces racines, on a

poh.tlve .dans les

deux cas. Ce n'efl pas lOut.

pour:oll arnver .que

dans les cas intiniment voifins, ou extrcmemtm vo,fins

de celui aui a donné I'égali[é a _zéro, la quamit¿ for–

mée de

~n,

f{,

&c. fat

~Ius grand~

que

7.tr?

pour un de ces cas, & plus peme

po~r

I autre; mals

ell-il bien certain que dans les

ca~ qu~ n~ .

feront ,pas

fort voións de celui qui a donné

égall!é a 'Lero,

[1 Y

en aura toOjours un qui donnera la fonéHon > o,

que I'autre donnera la meme .fonélion ,<o? Une .combe

qu i cou pe fon axe en un pOlOt, a pres de ce pOlOt en–

derfus

en-derfous des ordonnées de différens fignes;

mais

efl trcs-poffible que toures les ordonnées au–

de(fus & au-derfous ne foient pas nécerfaircment de dif–

férens rignes, paree que la courbe peut encore couper

fon axe ailleurs . M . Fontaine dit que s'il y a plurieurs

fonaions

o il fera touJours facile de recollno¡[re

la–

quelle

de ces' fonaiolls efi toujours plus grande que

'Zéro dans I'un des deux fyflemes, & toQ)ours moind re

dans I'au[ re; il fembl.e que, fuiv ant fon príncipe , des

qu'une fonai on efi égale

7.éro dans le cas de la

co'in–

cidence de deux fyflemes de faaeursl, elle efi

toujotlrJ

plus gr,ande que 'Léro dan

un de ces, fyflcmes., &

~oi~dre dans I'autre , S'il y a des cas ou cela pU1rfe n avolr

pas lieu (eomme

M .

Fon taine femble I'inlinuer ), pour–

quoi, dira-Hln, n'arriveroi[-il pas quelquefois que cela

o'auroi[ lieu dans aucun cas ?

Entin

M .

FO[lIaine dérermine par le calcul d'un feul

cas numérique particulier d'un des dcux fyflemes, ce–

lui ou la fo naion efl >0, & celu i ou la fo naioll efi

plus peti[e. Cela peul erre encore flljet :. difficu I[é; car

cela fuppoCe que la formule efl lOujoms > 0 dans un

des cas, & IOUJours <o dans I'autre. Or, dira-t-on,

ne pourroit-il pas arriver que la formule mt

la vé–

rité lOuJours > ou

o , dans les deux cas pris cnfcm–

ble; mais qu'apres avoir élé plus grande que z¿ro dans

I'un de ces cas, juCqu'a une certaine valeur des quao–

tités

e, .

&c. & plus petite dans I'autre ca ' ,

elle dev'nt enfuite plus petite que zéro dans le premier

cas, & plus grande dans le fec0nd?

Nous oe prétendons poin! par ces difficultés allaq uer,

oi ellcore moins renveder la méthode de

FOlllaine,

elle nous paro,t pleine de fagac ité & de tine(fe , & di–

gne de lOute I'allemlon des favans, nous la regardons

comme une nouvelle preuve du génie fupérieur que I'au–

teur a déJa montré dans d'autres ouvrages

(voyez

N–

T E'G R

A U T

eH R

NI!; )

nous delirons feu–

lemeor.que,

M .

FOll taine [rouve ces difficul[ és arfez ca–

pables d'arre[er les géome[res, pour daigner les lever

entieremelll dans un autre écrit, & mellre fa mé[hode

I'abri mcme de tome chicane. Afin de I'y engager

voici

q'uoi nous rédui Cons la qucíl ion. La

formul~

efl

o dans le cas de I'égali[é de cenaines racines–

foil cette formule appellée

Suppofons maintenant

le~

raeines inégales, en forte que

foit leur différel1ce

(c'efl-a-di r~

que

doive erre ajolJté

l'une, & -

I'autre), en ce cas la formule deviendra

t t

,3,

&c.

R , S,

défignant des quan–

lItés connues: or, pour que la méthode' de

FOn!aine ait lieu dans touS les cas, il faut,

1°.

que

ne foil jamais

ou du moins que li

foit au(fi , en un mot que

fe [rouve lOujours

u;e puif–

fance impaire dans le premier des coeffi ciens; autremeut

étam fuppofé tres-peti[, les deux formules feroien! I'une &

I'au[re> ou

<o,

é[ant poli[if ou négatif:

2°.

qu' en

fuppofan!

polit if,

,3,

&c. foit tOuJours

. du meme ligne ,

ayalll telle valeur qu'on voudra:

3°:

qu'en fuppofant

négatif,

Q.t

3 ,

&c.

fOl t lOuJours de figne cOOlraire au précédem,

ayan t

telle valeur qu 'on voudra. Ces trois propofi[ions dé–

f!lontrées., il nc reflera plus de doute fm la générali[é

& la cerlllude de la mélhode propofée par M. Fontaine.

feroie encore

fouhaiter que I'auteur donnat une

démonllration ,de la, méthode qu'il pr?pofe, pour appro–

cher, aum pres qu on veut, des raemes des

ér¡uat;o"J'

il femble fuppufer encore dans l'expoCé de cet!e

mé~

[hode, que quand une ccrtaine valeur de

rend

une

quaolÍté ou fonaioo de

\i>,

deux autres valeurs de

q' ,

I'une