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722
EQU
.!legré, par exemple,
eoml11~
x x
+
p..-+
",
x x
ne Ce–
roit plus -un quarrcí , eependatH touSleS A ,,¿briaes le trni–
lem comme tel ? Vbici
la
r¿ponCe
a
cette diffi cullé, qui,
eQ)T1mo Je le Cai
p~r
e
périelloe, peut embarralTcr bIen
de~ cOlll men~ans,
La quanlÍlé propnlú
di
le produi!
~e
x
-
a
Bar
x
-
b,
par
x
-
e,
&c, Or la quanlilé p'?–
poCée efl tupporée é¡{ale
it
'"éro,
&
q1ín;ld
une quanmé
d i
égale
a
zéro, il ti,ot qu'Utl de fes taéleors le ,fo,t;
ainli la quamité ou
é'ftlation
proporée
ea
le
prbdul~
de
x
-,,=0
par
x-
b
&
par
x-c,
&e, ou de
x-b=o
par
x-a
&
par
x- e,
&c,
ou de
x-e
=0
par
x~a
&
pllr
x
-
b
&c,
Dans chacun de ces cas on ne
JUp–
pofe
a
la
foi~
qu'uoe des
'"ua/ion!
partielles égale
a
'l.éro;
x
ea la meme qualllité dans chacun des cas,
&
elle ell ditféretlte dans les dilférens eas, Ainli
x x
-
a x
-bx
+ab:=. c ell x_a=o par
x-b, oo'x-b=o
par
.... -a;
eelle
"¡lIation
XX-fU'
+
ab:=o
repréfellle ces
-bx
deuIrei; ¡'une
aa-aa
+
ab
(en menan!
a
pour
x),
&
- ab
)'autre
b b
-
a
b
+
a
b
)
en meuan!
b
pour
x) .
-bb
Daos l'on des cas,
x
&
fes puiffances repréCenten!
a
&
fes puiffances; dan, I'amrc,
x
&
fes puilfances repré–
fentelll
b
& fes puinanccs, Ainli une
''fuation
d'un de–
gré quelconque rep,rélente réellement antant
d'/""ations
paniculieres qu'i1 ya d'unités dans ron degré;
'
'1lla.io,!, •
daos chacune defquelles
X
a une valcur dlfterente. Pour–
fllÍvotls
&
approfondillons
ceu~
matiere, qui,
le
le ré–
pe!e.
ea
fort mal déveloFpée paHOU!,
La
démooaration précédente dira-t-on, CuppoCe qu'
il
y
a toiljours une quaotité
a
pomble, qui fubllitaée
a
la place de
x
dans une quantité algébrique
x"
+
pxm
- "
&c. fera évaooü'r tous les termes ,
$~ns
dou–
te: mais celle fuppofition el!
I~gitime,
rai élémotltté le
premier,
Mém. d, I'acad. de Ber/i"
,
1746',
qu'il
y
a–
~oil
toOjnurs en effot me elle quantit¿, laquelle Cera ou
réeJle, ou égale
a
m
'
n
p(
-
1,
m
&
n
étane réelles,
&
m
pouvant elre
=
O
Cene ptopolition fondamentale
de
l'
AlgebTe
&
meme dn ca1cul intégral
((/oy,e:(,
F
R A–
CTION RAT ONNELLEC:r INTE'GRAL) n'avoit
été démontrée par perCotlne avant moi: j'y renvoye le
Icéleur,
iI
la trouvera encore plus développée, & mire
a
la portée des
commen~ans
dans le
traité du eal",/ ín–
tEgra/
d
M,
de Bougaioville le jeune, premiere partie,
f/o)'«-
1
M A G
t
N A 1
RE,
De-la
i1
s'enfuit qu'une
é'fuation
ell le produit d'au–
tam
de quarttilés fimples,
x-a, x-b, x-e,
&c. qu'¡¡
y a d'unités daos le degré de I
'"¡uati",,
;
quelques-unes
des quanlités
a, b, e,
ou toutes, peuvent marquer des
qual1lirés réelles , égales ou ioégales, imaginaircs limpIes
eomme
n
Y-I,
ou mixtes imagillaires eomme
m
+
11
1"-1.
00
remarquera maintcoant que le pIoduit de
x
-
a
par
X
-
b
ne peut /JIre égal
11
un autre produit
X
-
e
f
ti
1
é .
,
x_. x
-.
Il
par
x-
;
car
1
ce a tOtt, on aurOlt
;::¡
=:¡:::-¡ .
faudroit done ou que
x-a
mI
divifible exaaemen! par
i
x-
,
ainfi que
X-e
par
x-h,
ce qui ne le peut,
ou que
X
-
f
&
x
-
b
euffent un divifeur eom–
mun, ainCl qUe
x-a
&
x-e,
ce qui ne Ce peu! encore.
Tout cela ell évidem par
foi-m~me,
Done une quantité quelconque
X
x
+
l'
x
+
'1,
ou
x
monte au reeond degré, ne peut étre le produit que de
deux faéIeurs limpIes
x-a, x
-
b,
& il ne peul
y
en a–
voir d'aulres que
~es
dcux-Ia _ Donc dans one
é'l"ation
du reeond degré,
x
ne peu! avoir que deux valeur,s dif–
féremes
a,
'b,
Jamais davaotage . C'ell une fuite des
prop,olitions précédel1tes.
De me me on oe lauroi!
Cuppofe~
x
-
a
par
x
-
b
par
x
-
e,
égal á
x
- (
par
x
-
f
par
x
-
g;
ear
00
au-
roit
(7";; :-8) ( .•_
Ú
1\'
'j'
Done les dénomina–
leors de ces fraaions devroien! avoir un dil'ifeur com–
mun,
&
par conféqueot aum leurs numerateurs
x
-
a,
x
-
e,
ce qui ne fe peuI. Done dans un
éq1t(leion
du
troifieme degré,
&
par la memc raifon dans lOute
ét¡lIa–
t ion,
¡'inconnue ne peut avoir qu'autattt de valeurs , (aie
réelles, foit ima¡;'llaires, qu'¡¡
y
a d'unités datts le de·
gré de
I'é'luaeion.
Vpila enCore uoe propofition qu'au–
cun aUleur n'avoit fuffiCaml1lent prouvée, On appelle
racJpe"
les différelllcs valeurs de l'iucollnue.
f/.
R "'-
el N E ,
'
. 11 pourroit fe préíi ntcr aux
eommen~ans
une difficul–
fur la démonllration précédcllte, ::ioit, dironl - ils
!
EQU
a=4,/..=
'7,
c=
7,'= 8,
&
x
=1,
on aura
(x-a)
X(x '-b)=-1X-
If=-fX
-6=(x-7)
X (
x-
8)
=
(r -
e)
X
(x
-
d;
on peut done avotr,
cominuerollt-ils , (
x
-
a
) (
x
-
b
) ;:::
(~-
e
)
(x
- .).
La r€ponCc
a
cetle obJeélioo
di
bien limpie;
il
ell vrai
qu'¡¡ peut
y
aV9ir des eas OU, e!\ domiant •
x
uoe cer–
taine valeur,
00
ait
(x
-
a) (x- G)
=(
x
-
e
) (
x
- .) ;
mais
il
faudroi!, pour ren.erfer la démonflrarion précé–
deme, que quelque valeur qu'on donnat
:l
x,
00 cfit IOfi–
i?urs cene derni,ere
¡'1"ation,
x
marquan.! ici une quan–
mé générale & mdélerminée: or cela efl Impoffible, En
elle!,
ti
cela étoit, fuppoCons
x
=
fl,
on auroit done,
a
caufe de I'égalité fuppofée,
(a-a) (a-b);:::
(a- e)
(a
-
e),
e'ell-a-dire o;::: (
a
-
e
)(
a -e);
ce qui ne fe
peut, puifque
e
&
e
COIIt dillérentes de
a
& de
b,
De-la
011
tire une autre démonaratio de la propolilion denr
il
s'agil, & qu'on peo! appliquer aux degrés plus eom–
p0¡'és . par exemple,
Ii
(x
-
a)
e", -
b)( x
- ( )
pouvoit
etre é¡¡al
a
(x
-
e
)(x
-
f)
(x
-
~
),
on auroi! (
a
-
e
)
(a
-
f) (a
-1{)
=0,
ce qui ne fe pCo.!; & ainli du
reae,
Je
paffe un grand nombre de propofilioos qu'on trou–
veLa futliCamment
a
montrées par - tout , par exemple
eelles qui Con! indiqué,es
a1< moe
C OFF le, E
N
T :
e' efl principa\emen . des ehores nouvelles, ou
d~
moio préfentées d'une maniere nouvelle & rigoureufe,
que Je
deain~
eet arliel J'obferverai feulement que les
propolitiohS' connues rur les coefficiens des
é'fuations,
fervent quelquefois
¡¡,
(¡é ontrer d' une maniere limpIe'
&
élégal)te ges propolitions de Géométrie ;
rvr.
de I'Ho–
pital, dans le
Ji'/).
,de
fe¡
feélion, eoni'fues,
s'en efl
heureoCemem fervi pour <Iémomrer certaines propriétés
des cordes du cerc1e,
Si
une des raciues de
l'
¡'1uati"" x
'"
+
f
x"
- [ , .. ,
+
r
=
o ell un nombre emier
a,
polili ou négntif,
ce nombre
a
fera un des divifeurs du dernier terme
r;
ear on a
lO'"
+
P
a'"
- [
+
na
+
r
:=
o, donc
a
m
+
p
a'"
- [ , , , , ..
+
11
a
= -
r ,
done
a'"
- [
+
P
a'"
- .....
+
,,=-
~,
Or le premier membre de ecue
1'{'IIItioll
en un emier, puiCqu'¡¡ efl comporé d'enticrs; done
~
ea
un emier, done
a
ell ¡in des diviCeurs de
r,
La dé–
monflration ordinaire de ceHe propolition me parolt Cu–
jelle
a
difficullé; c'en par eetre raifon que j'eo ai fub–
llilué une autre,
Si tou!es les raeines d' une
''fltation
rom réelles ,
&
que 100S les lermes de l'
¡'1l1aeion
ayent le ligoe
+ ,
toutes ces racines ferom négatives; car, puirque IOUS
les [ermes om le liglle
+,
iI
ell évidem qu'il nc peur
y
avoir de quantité politive, qui élanl fubflituée
a
la
place de
x,
rende
l'I'I'lIIeio1l
égale
a
'léro.
Dans une
' '1uaeio",
les racines imaginaires vont !oc.–
j
I1r
tÍeux
i\
deux; enCorle que
Ii
a
+
b
¡/
-1
ell ra–
.c;nle d'une
''1uatío1l,
a
~
b
1" - 1
en fera une autre ,
J'ai démotllré le premier eeue r pofilion dans les
naEm.
de
!'atad. de Berl1"
1746.
ye:(,
auffi
¡'ouvrage de
1\1 ,
de Bougaioville déJii cilé, &
l'
artitl.
1
M A
G
I–
N:
Al
R
I! ,
'D0lle puifque les racines imaginaires Cont toujours
en nombre pair,
il
s'enfoit que dans les
,,¡uaeionI
d'un
degré impair il
y
a du moins une cacine réelle.; ce qu'
on peU! encore démomrer en cette fOrle, SOil, par e-
xemple,
x
3
+
p
x'
+
"X
+
r=o,
en donnant
a
x
t~utes,
les valeurs, politives pofflb1es depuis o j,uequ' II
I
1I1!Í11I,
on a touJours un réCulta! réel & ce réli Ita!
devient il1lini & pofitif qU3nd
x
=
00,
e:ell·¡¡·dire
~3;
de méme en donnan!
:l
x
toutes les valcurs oé"ntivcs
po!fibles dep.\! is o julqu'¡¡ ['infini, on aura
touJo~rs
un
ré(ultat réel, & le dernier réful\03t ell infilli & o¿gatif
quand
,x
=
-00 ,
c'cfl-a-dire -
00
3;
donc_puifi¡IJ'on
<1
uoe C\1Ile de réCultats tous réels & Can's il1lerruption,
dent es deux extremes font de ditrérens lignes,
il
s'en–
fuie qu'il y a un de ces rérultats égal
a
'léro. Done
i1
y
a une valeur réelle de
x
qui rend
z3
+
p..,l
+
'f
x
+
r
=
o , Done
x
a au moins une valeur réelle dans
eelle
¡'{uatíon,
JI
en efl de ml!me des autres cas,
Dan~
une
¡'{uatíon
délivrée de
fra~ions,
& dont le
premier terme n'a d'autre coefficient que I'uuité, la ra-
cine lIe fauroit etre une fraélion
1
dOn! le dénominateur
& le numérateur foiem des nombres entiers
&
ration–
uels, Voila encore une propolllion bien mal prouvée
dans prerque toas les auteurs, En voiei une meilIeure
démontlration, Soie
x3
-:1-
P
x'
+
'f x
+
r;:
o; & Cup-
pq-