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EQU

doit principalemcot fe rendre (le poio! familier. Poor

eela

doit poíféder les propofit.

13,

Ir,

29·

d!1

premier livre d'Euclide; les propofit. 4,

6, 7, 8, du

Jivre VI.

les

20, 21 ,22,

"27

du livre III.- On

peut

ajoOler la troifieme propofit. du livre VI. ou les

propo (i t.

du livre

III.

Troifiememem, on fait

:lUm beaucoup d'ufage de I'additioo

de la fou(lraéboo

de s quarrés fur-tou t 10rfqu'i1 fe trouve des triangles re–

·élaogles da'os la figure. On ajoute enCemble les quar–

r és des deux petits eÓtés pour avoir le quarré du grand ,

ou du quarré du plus grand Cóté 00 Óte le quarré d'uo

des eótés pour avoir le quarré de l'autre.

C'e(l

fur ce

petit oombre de priocipes qu'e(l établi tout l'art

~oaly

tique, au moios pour ce qui regarde la géométrle re–

étiligne, ell y ajontant Ceulement la propolit.

l e,

du V I.

Jivre d'Euclide, lorfqoe la que(l ion propoCée regarde

des Curfaces,

auffi quelques propofidons

ci.es

XI.

XII.

livres. En effet toutes les difficultés des proble–

m es de la géométrie reétiligne peuvent fe réd uire

feule compofi tioo des ligoes

a la limilitude des triao–

gles; de forte qu'il oe fe reneontre jamais d' occalion

.de fa ire ufage d' autres théoremes, paree que tous les

:1Otres théoremes dom on pourroit re fervir, peu vem

fe réduire 11 ces deux-lií,

que par cooféquem ces der–

niers peuvem leur etre fub(litués dans quelque folul iol1

que ce puilfe etre.

6 ° . Pour accommodcr ces théoremes

la con(lru–

étion des problemes, il e(l fouvem néceflaire d'augmen–

ter la figure, foit en prolongeant certaines Iignes j ufqu'

;¡

ce qu'elles en coupent d'autres, ou qu'elles devien–

nem d'une certaine longueur ; foit en tirant ' des paral–

leles ou des perpeodiculaires de quelque poinl remarqua–

ble; foit en joignant quelques points rerparquables; Coit

enfin comme cela arrive quelquefois , en conltruiCant u–

ne nouvelle figure fuivam d'autres méthodes , felon que

Je demaodent les problcmes

les théoremes dont 00 Ve'Ut

faire uCage pour la réCoudre .

Par exemple ,

deux l]gnes qui ne fe reneontren! poin!

·l'une

I'autre, fOn! des angles dooués avee une certai–

ne autre Iigne, 00 peuI les prolonger juCqu' a ce qu'

elles fe rencontreot; de maoiere qu'oo aura uo triangle

doO! 00 connoitra tous les angles,

par conCéquent

le rappart des cótés; o u bien (i uo angle e(l donné,

ou doit etre égal

uo angle quelcooque, fouvem 00

peut completer la figu re,

en former uo triangle don–

né d'eCpece, ou femblable ií quelqu'autre: ce qui fe

fait, fo it en prolongeant quelques-unes des lignes de la

figure, Coit eo tirant une ligne qui fouflende un angle.

Si un triangle proporé e(l obliquangle,. fouvent on le

·réCoud en deux lriangles reétaogles, en abailIant une

perpendiculaire d'un des angles fur le cÓté oppofé. Si

la que(lioo rcgarde des figu res de plufieurs cÓtés, 00

les rérood en triangles par des ligoes diagonales,

ainli

des autros: mais

faue toOjours avoir anentioo que par

ces divilions la fi gure fe trouve partagée, o u en trian–

gles donnés, ou en triangles femblables. o u eo trian–

gles , eétangles .

A inli, daos l'exemple propofé, on tirera la diago–

nale

B D,

afin que le trapere

A Be D

puilfe fe rélou–

dre eo deux triangles, I'un reétangle

A B D,

l'autre

obliquangle

(fiz.

8.) . On réCoud ra enCuite le trian–

gle obliq uangle en deux t,iaog les reétaogles, en abailfant

une perpeodiculaire de quelqu'un des angles

fur le cÓté oppoCé; par exemple, du poiO[

Cur la

Ii–

gne

qu'on prolongera en

afin que

puilfe

la reneonrrer perpendiculairement. Or comme les aogles

B A D

Be D

pris enCemble font deux droits ( par la

prop.

22 .

,,1.

Euc!.), aum-bien que

B e

s'enCuit que les angles

B A D

font égau K;

par conCéquent les triangles

DA B

font fem–

,blables. Ainli prenaot

A D, A'B

pour données,

chercha nt

on peU! faire

calcul de la maniere

,fo ivanre.

A D

A B

doonent

B D

a cauCe du triaogle

reétangle

A B D

A D, A B, B D Be,

cauCe des

triaJlg lcs femb lables

A B D

E B,

donnem

E. B D

donnent

E D,

a caufe du triangle re–

étangle

BE D,

E D

donoe

D .

A inli 00

llura une

"¡,,a/ion

entre la valeor de la ligne

trou–

vée par ce calcul ,

la valeur de cene m e\"e ligne

e xprimée par uoe leure algébrique. On peut aum

fouvcm

vaur mieux fuivre

~ette

m éthode, que de

pouífer trop loin un feul

meme calcul); 00 peut,

dis-je, commence r le calcul par dilféreos príocipes, ou

:10

moins le con tiouer par diverfes méthodes, pou r ar–

river ií une feule

meme conclufion, afin de pquvoir

nouver

d~ux

valeurs différemment e¡primées de la m e–

me quanmé, .lefquelles

valeur~

puilfem etre enfuite flli-

EQU

tes égales I'nne

l'autre. A inli

A D,

.ti

C ,

don–

oeot

B D, BE

comme ci-devam, enCuite

donne

ED,

enlin

donoent

BE .

cauCe du triangle reétangle

D .

7°. Ayant choifi

déterminé la méthode fuivant 13-

quelle on doi t procéder,

fait fa figure, on donne

d'abord des ooms aux quaotités qu i doivent emrer dans

le calcul, c'e(l-a-dire deCquelles on doit tirer la valeur

des autres juCqu'a ce qu'on arrive

u.oe

l'l"aeion;

poor

<lela 00 aura foio de choilir celles qui reoferment too–

tes les cooditioos du probleme,

qui paroilIent, ao–

taot qu'oo peur eo juger, les plus propres

reodre la

conc1ulioo limpIe

facile, de maniere cepeodant qu'

elle oe foit pas plus limpIe que le fujer

le deflein

du ca\culateur oe le demandent. Aiofi

ne fau! poiO[

donoer de oouveau x noms

'UI

quantités dOn! 00 peur

e.xprimer la valeur par celle des quantités ií qui 00 a dé–

ja donné des noms . Par exemple,

uoe ligoe donoée

e(l divifée en parties, ou fi 00 a un triangle reétangle,

on doir lailfer Caos nom quelqu'uoe des parties de la

Ii–

gne ou toute la ligoe enrie re , ou un deS cÓtés du trian–

gle, paree que les valeurs de ces quanrités' peuvem fe

déduire de la valeur des données, comme dans I'exem–

pie deja propofé. Si on fai t

A D

B A

a ,

00 oe marquera B

par aucune leme , paree ql\'elle

e(l le troilieme cÓté du triangle reétangle

A B D,

que

par conféquent fa valeur

¡/ ."

a a.

Si 00 nom–

me enCuite

C •

00 verra que les triangles fembla–

bIes

donoent

A B

: :

Be:

de ces quatre ligoes les Irois premieres font déja don–

nées; ainli on oe donnera point de oom a la quatrieme

CE,

dOn! la valeu r

[rouvera etre!..!. par le mo-

yen de la proportion précédente. Si done on nomme

C , .,

on 'oe doonera point de oom

DE,

parce

que fes parties

étant l' une ., l' autre

leur fomme.

e(l la valeur de

DE .

8°. Par les différeotes opératicns qu'on fa it pour ex-

primer les ligoes auxquelles on o'a poim dotlné de noms,

le problcme en déja preCque réduit

une

é'lrtation;

car

apres qu'oo a exprimé aiuli les différemes Iigoes qui doi–

vem entrer dans la folution de la que(lion propofée, il

faut plus que faire atten!ion aux conditions du pro–

bleme, pour découvrir uoe

'rila/ion.

Par exemple, dans le probleme dOn! nous avons dé–

parlé, il ne faut que trouver par le moyen des tr iao–

gles reétangles

B DE,

deux valeurs de

BE;

en elfet 00 aura

-C

b b

_~=

B Ez

BD'-DE

ouxx-aa- ••

-~-~ =

;te

B E'

EgalaDl enfemble ces deuK valeurs de

B Ez,

Ótant

a:~b,

aura

éflUltiol1

bh=xx-aa-

'C~

:b~

qui délivrée des fraéHons, donne

b b x

't2.ab

.+ccx .

9°· A I'égard de la géométrie des lignes courbes. on

• coutume de détermioer ces lignes , ou eo les Cuppo–

fan t. décrites par le mouvement local de quc1ques lignes

drolles, ou eo les repréfcotant par des

é'l"aeiom

qui

expriment indéfiniment le rappor! de certaines lignes droi–

tes diCpofées en tr'elks dans uo certain ordre

fuivane

une cerraioe loi ,

terminées

la courbe par une de

leurs extrémités.

Poyez

U R

I E U •

Les anciens déterminoient les courbes, ou par le mou–

vemem cominu de quelque point, ou par les feélions

des folides, mais m oins commodémem qu'

ne les

déterminc par la Ceconde des deuK manieres dno t oous

veoons de parler. Les calcu ls qui regardent les courbes,

Jorfqu'on les décrit de la premiere maniere, fe font par

une méthode fcmblable

eelle que oous avons don née

jufqu'ici. Suppofons, par exemple, que

A K

(fig ·

9. )

foir une Iigne courbe Merite par le point vertical

d'un

angle droit

A]{

'" ,

don t uo cÓté

A K

puilfe 1C: mouvoir

Iibrement, en parrant IOnjours par le poim

donné de

pofition, tandis que I'autre cÓté

K",

d'une longueur dé–

terminée coule 00 glifle le

loo~

d'une Iignc droite

aum donnée de pofitioo. On demande de trouver

le point

dans lequel une Iigne droite

aum doo–

oée de polirion doit cquper certe courbe : pour cela on

tirera les Iigoes

e, e

qui peuvent repréCeoter

I'~o

gle droit dans la po lition qu'on cherche; 00 menera

perpendiculair!!

fur

.ti

on s'appliquera enCuite

trouver le rappon des ligoes, faos examiner celles qui

fODl