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EQU

!le je d(ilis encore remarquer ici que {Juand lou tes les–

fG~ines

font négatives, comme dans le cas précédelll,

J'inconvénieot eft leger ; ces racines négatives indiquen t

,que la folurion avoit un énoncé

abfolUl~lent

fallx

:-!~dreffeq, l'ét101rcé, .tou!'es les racines devlendront pOllll–

ves. M ais qual1d elles font en panie pofitives,

& .

partie négafives ,

ioconvéniem que caufe la folullol}

~ lg~brique

eft, ce me feln»Je,

alor~

plus grand ;

e~le~

mdlquem que l'énoJ1Cé de la' qucfllon eft, pour

31011· ,

:dire,

pJluie vrai

en partíe faux; elles

me)el~t ,

Jmlgré nO\Js\ une .queJlion éfrangere avec la queftlOn

propof6e , fans qu' il fbit po ffible de l' en fépa rer, ,en

,reélifiant meme l'énoncé; {;ar qu'on change dans

é–

noncé les mots

ajo,íter

¡ omme,

óter

r:efte,

lacine négativc .dt vient a la vérité pofitive; mm la p'o–

lh ive devien t nég.atíye,

on fe

tro~ve

touJours , dans

meme étnbnrJ"as, fans pouvoir rédllire la queftloll

un t n.oncé qúi

donne 'que des racines réelles po–

litivcs"

,en efl de meme dans le cas du nO.

pré–

céden.t ,

011,

'qlloiq\le les racines foient tou tes réel–

les

politives l cependant elles ne réfolvent pas toutes

qU,eflion ; héanrrtoins il

J -

a encore cette

~í~érence

emre ce caS

telui du n .

que d;lOs

Cel~I-CI,

pour

ch3nger lts racines négatives en pofi tives, ti ne faut

changer 'lu'en partie les fignes de

, ·c'eft.-a-dirc

úrlre

1 -

(1(;

au lieu que dans le cas du nO .

J ,

il faut changer tou t:a· la-fois les deux fignes de

J -

€erire

da05 l'

~non¡:é ,

pour employer Ja racioe

pofi tive inu tíle

lit queJtion,

6°,

Les raeines négatives, je

répele, fon t un in·

cODvénien t, fur·tom lcj'rfqu' elles font m élées avec les

po litives; mais íl y a bien de l'oppitrence qu'on ne par–

viendra jamais

lever ,tet inconvénient; peut·etre pour–

roit·on

JÍ'

dil}ú nuer, fi 0\1 av oit une bonne méthode de

réfoudre les

éfiJatio",!.

eft ce que

n~us

tacherons

plus bas de falre feml r , ou plutÓt ehtrevolr, en parlant

des

éqltatíon!

du fecond degré. Mais ce qui prouve ,

q ue les racines négatives ne font pss tout-a·fait inutiles

la folul ioo d'un prol¡le t'fÍe, c'eft l'application de

J'AI–

aebre

la G éométrie . Les ordonnées oégatives d'\lIle

~ourb'e

fon t auffi réelleS que les pofiJives,

appartien–

nent aum elfenüellemen t

Ja courbe; nous I'avans prou–

,'é au

mot

R B E

d' une man iere aum rigoureufe

qu e nouvelle, .en faifan t voir que les ordono.ées lIéga–

tives deyiennent politiges , en tranrpofanl i'eulernent

]'il–

xe. D e memé en transformallt une

étluation

algébrique ,

on peut rcndre tou tes les racines réelles pofilives; car

foit

la plus grande des racines négatives,

foit fait

;r:::

A, A

étaOl une quamité plus grande que

égale

alors les fafreurs , au lieu d'étre, par exem '

pie,

feron t

:11-

b ,

tou,!es deux pofi.tiv!!s .

Voyez

encore fur cet anide ce

que nous dirQns pl us .bas, en parlant des

'r¡uation!

ap–

pliéuét:s

Géoméfri~,

•

Si on propofoit de trouver un nombre

tel que

1 ).

fUt =

on .autoit

= -

4 ,

= -

1 -

¡/ -

valeurs imaginaires qui indiquen¡

que l'énoncé de la queftion en abfu rde,

qu'il n'eft

pas poffible de la réfoudre. Mais, dira-t-on \ pourquoi

deu ~

racin,es imaginaires? une feule fuffiroit pour aver–

tit de I'abfu rdilé . Je r¡!ponds que les deux imaginaires

avertilfent que la quefl ion eft abfurde hon-feulement dans

fon énoncé \ mals meme dans tout autre qu'on lui fub–

(Iitueroie, c'eft-a-dire en m enant

1 -

place de

En effet

l=";'

o ,

;=-¡ •

+ 4=0 ,donnex:::

l-v'-=4

x :::

"=4:

racines imaginaires

de fi gne contraire allx précéden·

tes , parce que l'énoncé de la qudl ion ., quoique chao–

gé , demeu re impojlible.

8°.

h in(j, quand une

lr¡uation

n' a que des racines

négafives ou faulfes, cela indique que le probleme eft

impolfible daos le fens direél, mais non pas dans un au–

tre feos ; au Jieu que ql)and elle n'

que des racioes

imaginaires, cela ind ique que le probleme eft impoffi–

ble dans quelque fens qu'on le

prér~ote.

Quaod les ra·

cines fom rée lles

iocommenfurables, cela indique

Q.ue

le proble n'le n'q poiol de i'alution oumérique

ell–

a e , mais qu'on peu¡ troUVl!r un nombre qui approche

auffi p.res qu'on voud ra des condi tloos propofées; done

les. raclnes négatives, imaginaires

incommenfurables,

déhgnent dlfférente, efpeces d'impoffibilité dans la folu–

¡ion, mais d'impoffibilité plus 00 moins eoticre, plus

gil

moios abfoJue ,

EQU

9".

M ais quand les ;[ael!}es imaginaÍt:es fonl mélée5

,avec des racines réeiJes,

qu',efl~ce

qu'indl'¡uent alors ces

raci nes imaginaires: Par ,,xe·mple,

3 -"-

a pour

racine rtelle

b ,

deu! autres rncines imaginaires

qui font celles de

I'lr¡;/fltion.1tft + .b,, -'¡' bb :::

como

me on l'a va au

mot

R R E'D U

TI B LE.

Ces

deux racines imaginaires , ·dirz-.t-on. paroiJTe nt ici bien

inutiles .

rl!pond~

que ces deux iinagioilir'és ne font

.point de trop; elles ind iquent que s'n y avo!t une quan·

tité

telle que ,,"

+.b

':1-

iJb

put ,Etre égal

'léro,

le cube de celte quaotité

feroit

.~gal

'Voila, ce

me femble, (out ce qui rega rde les racines des

''lita–

lio,11

fllffifamment écláirci; paífons

>'!'lIu'ttes ubferva'

tioos .

11 Y

a quelques remarques a fa ire fur la maQrere don!

réfoud ordinairemeot les

'r¡ualÍon!

du 2;d degré :

foil

x x

" x:::

'1 ,

en conclud toú t de ftiite

~:::+ vU + r¡;

mais, dira-t-on, po urquoi , fait-on

pofitif ¡<gal

la quaotité néga tivt -"-

l/U

r¡?

•

-eft bi-e n vrai que deul quarrés

égl\U ~

\lbnnem des tao

cines

égal~s;

mais ce doit

~tre

des raeines d'e meme

Ií·

gne: cela eft évideot; car de ce que 4

en con-

clura-t-on que

2; ;:::: -

2;?

D'aill~urs

f -

eft auffi-bien

que

f..

la racine de '"

devroit done

•

¡/p-p--

avoir +

f::: +

'4 +

'1.

JeréPoods,

l° ,

que ce!·

te derniere

ét{Tlation

donne

~_uatre

fuivantés

x -

!..::: v!1

~:::_¡/p.!..L

!.....,:t-

•

'1'.

~ 'T' r¡,. --

¡,

P.!. + r¡,

E.. _

x:::

"!1

'1:

or Jes deux dernieres fon!

4' 4

évidemment les memes que les deux premieres; il fuf·

Jl t donc de prendre le double ligoe

dans un des

m~m br

..s,

non dans les deux

¡¡

la. foÍS.

2° .

J'aime–

¡OIS mleul téfoudré

ftj'",tion

en raifohnant de celte

forte :

racine quarrée de

x x

el!

x -

1: ,

f..;

f.. _

!. : dans le premier

,2.::z.

.cas, on

-?:::

¡I~ans

té

recond, ón

¡¡

-L -

JI~

p!+

'1:

ce fon! ces dtux cas tres-di(lin6h

tres·clai-

rement éooncés de celte maniere, qu'on énonce tous

les deux en femble implicitemeot,

je l'ofe dire , ob·

.ccurément , en écrivam

- !.::: +

-t

L es inven·

;¡¡

teurs

l ' A lge'bré ont imaginé cene expreffion poo r a·

bréger;

cene exprel1ion éommode rerid lá métaphy'

fique

pl~s

oblcure .

Voyez

fut cela ce qui

été dit ao

.mo~

LE'M E N S DI! S

LE N

s .

avoit

x;::

'JI>

alocs on trouveroit, en

f~ivan t

le raifonnement précédent,

x.¡.

!f-+

'1,

.qtii ne donneróil que la racine ' pofitive; a l'égard de

la .tacínc négative ou faulfe, on n'en

que faire, puif·

qa'elle ne rérobt pas le próbleme; cepehdam

auroit

ceue racine,

on vouloit, en changeaut l'énoocé de

queftion fuivan t les regles données ci-derrus; ce qui

donneloit

j)(

;::::

!... -

oli

xl..:::

•

p-¡¡-+

'1.

On voit done que par ceue maniere que

propore

de réfoudre les

é'{uationJ

du fecond degré

on f¿pa re–

roit les racines po lirives néce(Jaires d'avec les inutiles ,

les vraies d'avec les faulfel',

&c.

cett/: méthode s'appli.

,queroit .aux autres degrés, li

avoit une regle géo é·

rale pour réfoudre toute

'qTlation:

mais la regle dont

s'agit el! encore

trou ver .

rai aonné au

!not

R R E'D U

TI B

une

théorie fuffi130te

neuve prefque

tous égartls de la

réfol ulion des

'r¡llation!

du troifieme degré; j'y renvo–

leéleu r . Je n'y ai fuppofé q u'une propofit ion, c'eff

que fi le fecond terme d'une

<'{uatioft

du !roifieme de·

gré eft nul,

que les trois racines fdient réelles, le

Ifoi fieme terme a toujours le figne - .

queIlion fe

rédllit

prouver que fi"

e::::

o ,

e ,

éeam

de tel figne qu'dll voudra,

réelles,

('/Joje.t.

E F–

F I

I .E N T) ,

.on

Gura

négaeive, c'el!-.–

dire -

a a

a e

e e

Dégative, ce qui

éviden! ; done

[¡