1000000036

EQU

tie foit éga\

teaangle

B D

faít de la lig ne cntiere

de Ca plus petlte panie.

SuppoCam

AB=a,

CB=x,

on aura

AC =a–

x x

par

-.'<;

é9ttatiún.

du Cecood degré,

qUI élanc

réCo,~ue,

comme 00 l'enCeignera plus bus, don-

nera

x =~!.-a

V!..

a a.

M.ais

íl

ell rare que les problemes géoméeriques fe

réduIC'"nt fi

facilem~nt

I'luationf ;

leur Colueioo dé–

p.er.d prefque to ajours, de dilférences pofi eiolls & rela–

r.jons de lignes : de Cone qu'il faut Couven! un art par–

lícnlier & de cenaines, reg les pour traduire ces quellions

en la-ngage algébrique.

efl: vrai que ces regles

Cont

fon dílEci les

donner; le géllie ell la meilleure & la

plus Sl'fe qu'on aie a Cuivre dans ces cas-Ja .

On peU! cependant en donner quelques-unes, mais

fon

géoérales , pour aider ceUl qui ne

Cont

pas verCés

dans ceS opérations : celles que nous allons donner fon t

prillcipalemcnt tirées de M. N ewton .

Ob[~r\'ons

done,

•

que les problemes concernanr

les lig oes qui doivenr avoir un cenain rappon leS unes

aUK

amres, peu,vent eere diftéremment enviCagés , en Cup–

poCanc telles 00. telles choCes connues & données , & eel –

les 00. telles aucres ioconnues; cependanc quelles que

foieO! les quantités que I'on prend, pour eOllnues & eel–

les qu'on prend pour ineonnues, les

l'Ittations

que 1'00

aura reront les memes quant au food, & ne dift'ér,eront

encr'elles que par les noms qui Cerviront

dilling uer les

g randeurs eonnues d'avee les ineonnues.

SuppoCons, par exem ple, qu'on propofe de eompa–

rer les e{'¡eés

BC, B D ,

& la bar.

C D

(fig ,

d'AI–

g ehre)

d'un triallgle iroCeele ioCerir dans un eerde, a–

vec le diameere de ce meme cerde . O " peut Ce pro–

poCer la quell ion, 00 en regardam le diameere comme

donné, avec les cÓ¡és, & cherchant enfuiee la baCe,

00. en eherchant le dia.meere par le moyen de la bale

des e{'¡eés fuppoCés do nnés, 00. enfin en cherchanr

les c{'¡eés par le moyen de la baCe & do. diameere.

fous quelque forme qu?on fe propoCe ce probleme, les

¿9ttat;ons

qui ferv irom a le réCoudre auront tol1J ours la

meme forme.

Ainfi, fuppo Cons que l'on eherehe le diametce, on nom–

m era

tlB,x,CD,

a ,

&B.CouB D ,b;

enCuite eirant

on remarquera que les n iaogles

A B

B E

font remblables , & qu 'ainfi

A B : B C

He : BE,

: :

BE ;

done

b"b

C D

& eomme l'angle

CE B

ell

UD:

angle droit,

CE'

•

BE'=BC',

e'ell-a-d,re-;¡-;+;-;- =

bb.

,Certe

"¡ltation

éeaot réColue donnera le diarnetre eherché

x..

Si c'elt la bale qu'o n demande, on fera

A B

C D,

=x ,&BCou

BD =b;eoCuite on eireraAC, & le5

triallgles (emblables

A B C

C B

donnerom

A B

B e:

B C

BE ,

b : BE.

D onc

B E

C E

!...

C D

;

& com-

•

me l'angle

ell droit, on aura

C E'

B E'- = C

;

done

!...X

=bb.

D'ou 1'0n tirera la valeur

C ' C

d e la baCe eherch ée

x .

Enfill fi les c{'¡eés

B C

ü ,for.t CuppoCés incon–

n us, on fe ra

A B

C O

a ,

B C

B D

on tirera enCuiee

;

cauCe des eriangles Cem bla–

bies

A Be

C BE,

on aura

A B

B C

: :

Be : B E

: :

BE;

done

B E

= ",

CE ;:::::.

C D

a ,

l'angle droit

C B

donnera

CE'

BC'

e'ell·a-dire

'!" aa

+.!.i

::::xx; é'fltation

qui citanr

4....

réColue donnera la valeur

d'un des có tés cherehés .

On voit par-1iI que le ealcul pour arriver a

l' /qua–

t;on,

l'équation

elle-me m.\! , Coor remblables dans cous

les eas, excepté que les memes lignes

COn! dé(!goées

par des lemes diffé rentes Celon les dongées & les IOcon–

nueS que l'on CuppoCe.

ell vrai que la dift'érence

d es

donnécs fait

qu~

la réColutioo des

/'luation~

ell différcn–

re; mais elle oe prod!lit point de changement dans

1:1-

9ttation

meme .

Ain~

on n'ell, point

ab~olu ment

obllg,é

de preodre telle. ou telle quanmé pour IDconnue ; m,a,s

on ell le maiu,e de

chai~ r

pour donn ées & pour,

!D–

eonnues les quantieés qu'on croit les plus propres a fa–

eilieer

Coloeion de la quellion.

3°.

Un proble me éeant done propoCé ,

faut com–

mencer par comparer ,cmr'elles les qUjuHités qu'il reo-

EQU

719'

ferme,

Caos faire aucune ditlinaioo eotre les connues

& les ineonllues, ex aminer le rappor! qu'elles one eo-'

[emble afin de conno;ere quelles ront eelles d'eOlr'elles

qui peuvent faire trouver plus facile ment les a.utres. D ans'

cet examen il n'ell pas néeefla ire de s'aOarer par un eal–

c ul algébrique expres , que telles o u telles quamieés peu–

ven e etre déduiees de telles ou eelles autres; il CulEe de

remarquer en

géné~al

qu'on peue les en tirer par le,

moyen de qU,elljue

eonuex~oo:,

direae qui el\; emr'

cl- .

les.

Bar exemple,

(j_

on donoe un cerele dom le dia me-

fre

Coit A D

(fig.

algebr. )

& dans lequel Coient io –

ferites erois Iignes

A B, BC, CD"

deCq uelles on demande "

B C

les autres étalH eonnues, il ell évident au pre–

m ie/ coup-d'cei l que le diameere

A D

déeermine le de–

m i-eerde, & que

lf;~

lignes

A B

C D

"q u'on Cuppo-

fe in Ceriees dans le eercle , déeerminenc aÍl (fi les points,

qu~

par eon(équeo,t la ligne

eherch~e

B'C

a u-

ne connex ion direae avee les lignes données .' VoiI3 de–

quoi

CulE,t de s'aCs ':}.rer d'abord, fans exam iner par

quel calcul analy eique la valenr de la ligne

.PF.U~

eere réellel1)ent déd uite de la valcur des tro,s IIgrres

données,

4°,

Apres avoir examiné les ditférentes manieres don!,

Ol! peu e compoCer & d"écompo (er les termes de la que–

fi ion, il faut Ce Cervir de quelque mé¡hode Cynthéeique ,

en prenam pOnr données eercaines lignes , par le moyen

deCquelles on pliilfe arriver

la~

con noilL1nce des aue res ,

de maniere

q u~

te rerour de ' eellés-ei aux premieres roir

1')us dilEcile; ear quoiqu'on puiOe (uivre dans le ealeul

différentes routes , cependant il Ja,ut. le commeneer par

bien choiti r fes données ; & uoe quellion ell Couvent plus

faeile

réCO'udre , en eb.oililfant des données qui rendenr

Jes Íllconnues

~lus

faeil'es

erouver, qu'eo confidéranr

le, probl eme fous la forme aauelle fous laquelle

eft

propofé . '

Ain(j, dan s l'exemple qll!i:1l0US

ve~de

donner,

fi on propore de troover,

/rJ:J,

Jesr¡.ois autres lignes é–

tam eonoues , je vois d'abord que ce problcme en dif–

fi eile

réfoudre fynthéljqoemenc; mais que cependant

s'il étoit. ai n(j rérolu, je pou rrois faci leD)enl appercevoir

la eonnexion direac qui efi emre cene ligne & les au–

tres , Je prends done

A D

pour

donné~ ,

& je eommen–

cea faire mon calcul comme

elle étoir en effee eon–

nue,

que (¡uelqu'une.des au·tres quantieés

A B, Be

C D,

file inconnue; combinan t .nfuite fes quancieés don–

Il!!es avec les autres, j'aurai -toiljours une

19f1ation

comparan! entr'ell es deux valeurs de la méme quanti–

té: Coit que J'une de ces valeurs Coie une lenre par la-

.. quelle GeHe quantieé aura été marquée , en eommen–

.;:ane le ealeul; & l'aulfe, une expreflion de eeHe quan–

lieé qu'o n aura trouvée par le calcul m eme, [oil que

les deux valeurs ayem éeé erouvées

eh~eune

par deux

différens caleuls.

rO.

Ayant aiof¡ comparé en général les termes de la

qoellion e"tr'eu!, il faot encure de l'art & de l'adreC–

fe pour trouver parII)¡ les conne xions olJ relatio ns par–

tieulieres des lignes, celles qu i roor les pl us propres

pour le calcul; ear iI-arrive Couvene que eel rappor! qui

paroie faeile

exprimer algébriquemenc, guand on l'en–

viCage au

pr.eO

}jer cou p-d'ceil , ne peue eere trouvé que

par un long cireuit; de maniere qu'on ell quelqllef.ois

obligé de recommencer une Ilouvelle figu re , & de ·fai–

Fé

fon calcul pas-a-pas, comme

pourra s'el! alfarer

en cherehanc

par le moyen

A D"

:11

D •

Car on ne peue y parvellir que par des propofitions done

l'énoneé

Coil

tel, qu'eIles pui lrenf etre rendues

lan–

gage algébrique, & dOD! quelques·unes peuvent Ce lireo

d'Eudide.

Ax.

L9'-

propojie.

L ,

I/I...

é;t

propojit,

47-.

L . 1,

ele>1Jene:

'<.

Pour parvenir plus aiCémell! a conoo;ere les

rappo~t¡

des lignes qui entr'em dans uoe figure , on peut emplo–

yer dilférens moyens: en prem ier lieu,

l'addi~ion

foullra étioo des lignes; ear par les valeurs des parties '

00 peut truuver eelles do. tou t , o u par la, valellr du tout '

& par celle d'une des panies, 011 peu t con l1ottre la va- –

leur de l'aucre partie : ea Cecon'd lieu, par la propon ioa–

nalité des lig oes; ear", comme nous 1'1\yons dé'la Cop–

poCé dans quelques ex:emples ci-deflus, le reBangle des,

termes moyens d'une

pro~orc¡oa ,

diviCé par un des ex'- '

tremes, donne l'auere, ou ce qui efl la m eme

ehoC~,

6 les valeurs de quaere quaneités fone en próportion, le

produil des extremes ell égal au produit des elJoyens.

f/oya.

PRO POR

I ON, La meilleure maniere de crOll–

ver la proponioonal ieé des lignes, ell de

Cerv ir des

triangles fem blables ; & eomme

6militude dc:s erian–

¡les fe coonoit p3r J'é¡¡a'lité

leurs angle¡ , l'analy llc

dOlt