1000000036

E:Ql1

.t,

troifieme terme d i pOli

uf,

deu.

r3cill e~

ini:!–

ginaires. Nous rappellcroos ici ce qui 3 été remarqué

daos

I'rrrata

du troifieroe volúme , qu'¡j

I'artid e

A S

I R R E'U

LE,

l '

imprim eur

a mis

par - toUt

pour

'l.7;

cetle fau te d' im preílloA. ne p'ellt embarrafTá

que les premiers

commet\~an~ .

Du refie 0 0 trouvera

daos 'cet anide, o u explicitemelit, 0"0 impli'citelnent,

tou te la théorie des

h{'IilÚOnl

du troifieme degré . PaC–

fons au quatriemc degré.

S oit

+ '/

r'"

'f'

une

I,/"ation

ré–

foud re, on fuppofe qu'elle Coit le produi! de

I:f-

+ z=o,&.xx-yx +,,= o;&

Ohtrouve, en

multipliant ces deux

t,/"ationl

I'une par I'autre ,

com–

paran! le produit terme

tetme avec la propoCée , les

¡r¡uation!

Cuivantes :

,3 _

z:::::

•

'17 -+-7 3

'lJT

'1..1

= 9.1+y3 ..... ,.'OU

),6

'1 '

r r

:::::

O .

- 4

1t::::!..

" y

::::

'll:

y':

!:..

:t.

-+-

1'3

'1..]

L'~'l"ation

y6,

~c.

::;:

o ,

étan! du

fi_x ie~~

degré

(il

racllles;

les

''1uatlon!

y x

+ __

o ,

x x–

.:¡. "

o, en

donnant chacune deux pour chaque

Valeu r de

y '

voila donc, dira-t-on, vingt-quatre racines ,

quoique, tulva.1l! la théorie . connye,

1" '1,,_ation

&~.

ne doiv"e aVQ!r que quane racmes p'Of!lble; . Je vais

montrer qu'e ces vingt-quatre racines Ce réduifen!

qua-

tre.

10.

D ans

I' I,/"alio,,:

y6,

&:.

ou to uS les

t~r

mes pairs manqu.e0t,

e~l

év lden! que

~haqu

raclI~e

po litive

parellle oégatlve . Ce la

ell

évldent, car fal –

lan! yy

=z, 1'/'I" otion

efi du troifieme degré.

':'oy ,

A–

H A I S S E M E N T.

Or fbient

11 , B

e ,

les valeurs de

z \

o n au ra dooc

y y

dooc

,)"

¡/

A :

de meme

B, y

¡/C .

Cela poCé.

Soit

uoé des valeurs de

y ,

en Cera une autre ;.

I' I'lttation

donnera

t¡

,,2

x x+"x+

,+-;: _;.;=0

XX - IIX +

!. 'fo ~· + ~=o.

é'lflation x x

y x

donnera

x x

a x

!'f

::0

X X

-1-

a x

i +.

- .':

, ....

Ces deux dernieres

Iqflation!.

reviennent

m ~me

que–

les deuN précédem,es;. dooc voi\3, déja quatre

1'l'taÚOnl

réduiles

¡¡

deux;

vmgt-quatre a dou?e.

Je dis maintenabt que

x x

a..

+ ;;; ,

61-,.

donnera les m lemes ta¡:ines que

x. x

, +

-;:

+;¡, ,

en íilppofant

<leul, aultes racines de

1'l"ation

),b + 2 '1y4,

~c'=.o.

CarCoityy-aa,)'y-bb,yy

_ e e

les IrOlS racmes, 0 0 aura

2'1:=

e e ,

a'b

e ;,

les deux

¡r¡flDtionl

précédem es deviendroDt

z x

-* _

+ :::'_

b!.

o ,

x x

x -

•.!

~ _ ~..:¡:: '~:=

o ,

dont les racines font aifées a trou-

d - •

ver,

fOD! les !nemes. On trouvera e incme que

e x

_.~

_b! ,+

= 0,

donne encore les

m~-

4. 4

m es rac.ihes,;, done en général les , doute raClDes e r -.

dui(ent

a·

quatre"

ces quatre H:ront

' + ~

-- 2"

1..

- ~+ ~ .

+ ~+~,

+ ~ + c_b.

1..

Car il: raUt,

rem~r,quer.

que le figne - dé

répond

a x

que

l~.

fij(oe

répond a -

a x;

oe faul pas

prelldre

av.ec

b e ,

ni - "xavec -

be.

Si onJait

qU3tre" é'lflationl

firrlples des quatre valeurs

précédeotes.de

on. formera par le produit une

<'1 ua -

tion

du quatrieme degré qui fera , la m eme. que la pro po-

dA_ úb _ cc

fée, en,mettant pour

'1,

leurs valeurs - --,--

EQU

9":

.a ¿¿ _ad " _ ¿b,, ,

abe .

A infi tout s'aecorde par-

faitemen t, comme o n le voit.

a quelques auteurs

'qui On! traité ce deroier anicle des

'h¡IWtio)1f

du qua–

trielne degré a vee arrez de foio ; m ais , ce m e Cem ble ,

d 'un'e maniere moins fimple que oÓus nc venb os d-e fa ire.

EI1 réfolvant d'uoe certaille

fa~on

quelques

é,/uation!

qúatrieíne degré, on IOmberoil d'ans un itlconvéni<m I<:m–

blable

celui du cal irréd uaible, c'efi-a-dire qu'oo lrouve–

rb it des quantités réelles (ous uoe forme imaginairc . Soir .

par exemple,

- /74

o ,

on a deux racines rée\les

x:= a •

deux autres imaginaires

1/:""

¡/

=-;;;;

cependant ti

fuppo foit que

l'éruation x

- a4

o ,

mI venue de ces deux-ci

x x

'1 ,

'1,

011 trou veroit

'1 -

po::::,

/74 :

aiofi 00 auroit pour les deux

l'Iuation!,

dom la mul–

tiplicalion pro dui!

x 4

ces deux-ci :

±x<;~=-;;4 ± "" ::-;;;¡

o ,

x x

¡/

v-=-;;4

=0;

1'I"ation!

d'ou l'o n ne tirera que des valeurs de

fous

une forme imaginaire; Iléaomoins de ces différentes va–

leu rs une

f~ra ;=

a ,

une autre

= -

Voy .

(ur ce–

l'arti"e

M A G 1 N A

RE.

Voy' z allifi lel mlmoiru

de I'acad. de BeTlin.

1746,

l'olt'Vrage &it<

M .

Bougainville.

efi aifé de voir par tout ce quj a

él~

dit, qu' il

n'y

a Ju(qu 'a préCent que les

ér¡uatiunf

du feco nd de–

gré don t o n ait une folution complete; car

1° .

les

é–

'{Ilntiom

du troilieme degré romben! Couveut daos le ca¡

irréd uEtible.

2°.

S i une

I,/"alion

du u oifieme degré a

une raClIle téellc

commentiJrable , cette racioe com–

m eofurable fe préfenle Cous une forme irtcommenfura–

ble,

il fau t du

Iravai~pour

la dégager de cene for–

me .

Voy.

E ~&

lt'-T R_A.c..IA

3°.

L es

é–

'lilationl

du quatrieme degré fe réduiCent, comme OJl

viem de le voir, au troifiem e ,

fom par conli!quent

fujenes aux m em es inconvéoiens.

Lorfq u'uoe

l'Iuation

du u oilieme degré a uoé racioe

commenCurable, le plus co un m oyen de la délermi–

ner, eCt d' errayer touS les divifeurs do dernier tenne;

M .

NewlOn, dáns Con

a"rithmltl,/,,~

fl/1i'Ver{elle,

a doo–

né une mélh.odc pour abréger con lidérablemem cet eC–

fai. N ous ne diroos rien de ceue m éthode , qui a été

ruffifamn.1.ent expliquée

de velopp~e

par

MM.

Gra–

velande

Clalfau l, dans leurs

IlIme'm d'/llgebre.

Palié le quiilrieme dégré, 00

¡j'a

plus de m élhode.

m eme im parfaile

tronquée, pour réfoudre lés

<,/ua–

tionI.

Si la cacine ea réelle,

faut etrayer les divi–

feu rs du derni'er terme; li elle ea incommen(urable, il

raut tk her de connoitr': a-peu-pres cene racine ell no m–

óres

enlier~ ,

fe fervif entiJiu! de la m étho dc expli–

quée

mot

P RO

X.f M A T

pour approcher

de plus en plus de la vraie valeur . La difficu.lté eit

d'avo ir d:abhtd, la racihe cheréh'ée exprim é!e a-peu-pri:S

en. nbm bres enlisrs OU rolnpus;, dn n'a point de mé–

tliode géoérale pour cela;. 011 n'a que des tenratives

dés e(fais ; la m éthodc des caCcades explique!:

I'ar–

tic/e

AD E,

efi trcs-limÍlée,

par conCéquent

tres-fautive. CeUe m élhode fuppole,

, 0.

que la. pcopo–

fée ait tootes les racioes réelles;

2.0.

que

l'l'{milion

max fmúlh

des

ait auffi toutes. fes racines réelles ;.

•

que

I'b n pu iff'e conooltre toutes les racines de cehe dernie–

',/udtioh

max imúm)

ou du moios q u'on les puif–

coono~tre

a-peu-pres •. ce qui revicDl

la m eme dif–

liculté.

Si 00 trouve deo

quantités

b ,

peu ditTéfeDles l'une

de l'áutre, qui étant fubfi iluées

la place de

dans

uné

í'{.'laúon ,.

db nneht l'uoe un- réCultát pofltiL, l'autre

un rétltl t8t négátif,

s'enfuit que· la. valeur. qui donne

le rélbÍtat

o ,

qui eit la Vta¡e

~acine

1'I'Idalion,

Cera

e~¡fe

11,

b .

Eo effe! coofirUlfoos une churbe de

genre patabolique , oous verrons. clairemeoi' que ti une

villeur de

donne l'ordonnée po fitive·"

qu'uoe au–

tr/:

val'elir de

do nne I'ordonnl!e oégaHve, . la- valeur

qui do doc ra l'ordn'mlée

o ,

fera entre ces deux –

li:

nrái

n'en fau! pas condure. qué

dn dim inue.

qu'oó aógménre tant foil peu ceué valeur' de

qu i

donne lé réfdltar ;=

o ,

o n- áoia deu!, ré(oltatS, de fig né

différeot ; . caro il efi évident, qu'uni: cóurbe' p:lraboliq ue

p~ut

atteindre Co n axe fa os le couper., m ais eo , le tbu–

chant feul em ent ;

en général", pc¡ur. qu' une quantite

parre par le 2éro, il n'el! poin!. né.celfaire que les deux

élats voilins de cetle quantité, l'un avanr, l'aulre apces

l'égalilé. a téro ) Coie nt des états oppofés. Cela éfi ctair

par