1000000036

EQU

porons que

roir racine de l'

él/llt/tion ,

on nura done

pt.tl

9tf.

3:z.

b 3

+67

+r=o,&a + pa b + qab'

r b

o. Done, fu ivan! la théorie des

Iq"ationI

do nnéc ci-detTus, le n"omQre emier

doir etre div ir<ur

du deruier rerme

;

or comme

n' on! aueun

divirellr eornmun, car la fmél ion

efl Cupporée ,

eom–

me de rairon, réduire

Ces moindres termes

({/.ye~

IVI S

ti:

U R,

R A

T ION

,)~

il s'enlu ir

que

n'ont aucun diviCeur eommun : donc

doit

ctre diviCeur de

done

na, n

étant un nombre

emier . D one on aura

a 3

p a' b

qab'

na b l

donea'

+ '"

=o. D one, par la

memc raiCon que ei-dellus,

doit etre un divireur du

deroier terme

b 3

par eon réquem de

;

done

m a;

done

m a

done

b' m

done

= -

D one

n'<itoit point une fraélion, ce ,\ui efl eontre

l'hypothere. O n démomrera de la m eme maniere dans

tous les autres eas, la prapoCJ tion donl il s'agit . iDone,

&c.

efl l éviden!, par la na!ure de ceHe démonflration,

<lu'ellc ne s'étend qu'aux fraélions

~ationnelles.

U ne

tjrrotion

rans fraélions

Cans rad k;aux peut en efle t

a–

voir pour racines des fraél ions

i~ra\ionnelles;

par exem-

pie,

x' - X - l =O ,

une infinité d'aotres.

V oye?

ou moe

R A N S F O R

A T I

ce qUI re–

garde la maniere de transfor mer une

é'lrralion

en une

autre matiere qui n'a d'ailkurs aueune dimeulté ,

qui

efl atTe? bien traitée dans preCque tous les

Igébrifles;

par exem ple, dans

1'4no/)fe dé>l'ontré

du P . R ey neau,

&c.

On trouvera

a1t moe

E ,

le fameux the;ore,

me de 'D ereartes

Cue

les racines des

l'fuationr ,

démon–

tré par

M,.

I'abbé de Gua dans les

mlm. de I'acod. de

1741,

auxquels te leéleur peut a.voir reeou". N.0us nous

bornerons ici

quelques

r~fl,exlons

g(nérllles tur les

r~cines des

l'l"ationr.

L es racines d' une

"'lIMtion

[ont l'es difléren!es

valeu~s

de I'ineonnue ; il Cemble dOlle qu' un probleme doive

avoir autant de folulions qu'une

Itluation

de ra,ei nes;

cela efl vrai en elfet dans un eertain rens , mais ceci

pou rtant beroin d'uAe pl"us ampl'e explication .

l°.

Si on propoCoit de trouver un nombre

tel qu,e .

quarré de ce nombre plus

m t égal

fois 'Ie

lIombre eherché , c'efl-o-dire tel que

x x

fur

=0 ,

trouveroit que

ceUe

Iqllation

auroit deux

racines réelles

poCJ tives

3 ,

en eifet,

quarré de

qui efl

augrnellté de

15 ,

donne

gal

fois

le quarré

2),

augm.enté de

~j: ,

don–

40 ,

égal ..

fois ). A infi les deux racines de

1',,–

'fuMian

Catisfont en ce eas au probleme, fans rien chan '

ger

Con éoqneé .

a done des

ea~

011 toutes les

racine\ d' une

l'l"",tion

rérol vent ehaeune le. probleme

dans le Cens le plus direél

le plus immédiat que Con

énoncé préCeote.

2°.

Si on propoCoi! de trouver un nombre

plus pe–

tir que

tel que le quarré de

1 -

fat égal

'1.

-, on auroit

(1 -

1 -

= _;: ;

done

x = ~&

x= 1 .

Voila deux racines réelles

poGtives,

.' l

cependan~

n'y

a proprement que la raeine;:- qui Ca-

tisfalfe au probleme, car la [a.eine

donne

1 -

=;= –

quantité négative . O r I'OA- CappoCe dans l' é noneé

que

efl plus petit que

pourquoi done trouve-t-on

une aut¡e lacioe réelle

po!itive? le voici. S i on cut

propoCé ce probleme:

trouver

nombre

BlUf grol1d

'leLa

l· ,

I"el 'fue

(x -

1 )' ,

¡oie ¡gal

on auroit

eu p'réeiCément la m eme

¡'lltoeion

que celle qui efl

donnée par la [olution du probli:me préeédent ;

ce cas

auroi! été la vraie valeur de l' ineonnue ,

aio li

¡'l"ation

1 - 2

x x

= !...

repréCente réellemeot

•

:z.

•

ces

deux -el ,

( I-X )

=4&

( X-I) :=:

4, '

<l..U1

T om.e

V:.

EQU

723

fon! la !raduélioll algébrique de deux quefl ions , tres–

difleremes dans leur énoncé. La premiere de ces que-

fl ions a pour répon Ce

la reconde

D one ,

quoique les raeines d' une

"'{flaeion

Coient toutes deuI

rédles

poCJli ves, il ne s'enfuit pas touJours qu'elles

rélolvent toU les exaélemen t

rigoureufe ment la que–

fl ion; mois elle la réColvent, en

préCentant en deux

Cens ditl¿rens, don! I'Algebre ne peut exprim er la dif–

férencc; por exemple , dans le cas dont

s'agit, l' é–

na neé de vroit eue: Irouver une grandeur

telle que

la retranchan t de l'unité , ou retranchant I'unité d'e lle,

le quarré du rene Coi! égal

L a traduaioo algébri–

que du premier énoncé efl par Ca nature plus générale

que

prem ier énoneé ; e'e fl done le Ceeond qu'il fau!

rubll ilUer pour répondre

toute l' étendue de la tra–

dl1éliol1 . Plulieurs alg ébrifles rcgardent cetre géoéralité

eomllle une richene de l'

Igebre , qlli, diCent-ils , ré–

pond non-Ccu lemellt

ce qu'on lui demande, mais en -

core

qu'on ne lui demandoit pas ,

qu'on ne Con–

geoir pas

lui demander. POIIr mpi, je ne

pui~

m 'cm–

pécher d'avoüer que cetre riche/fe prétendue me paroi!

un ineonv énient . Souvent

en réru lte qu' une

ét/tla–

tiol1

monte

un degré beaucoup plus hau! qu ' elle ne

ma nleroit ,

elle oe renfermoit que les Ceules ra

cines

propres

la vraie folll tion de la queflion , telle qu'elle

efl propoCé< .

I efl vrai que eet .ineonvénient Ceroit beall–

eoup moindre ,

Ceroit m éme en un Cens une vérita–

ble richdle,

on avoit une m éthode générale pour ré–

Coudre les

¡'{"atiol1r

de tous les ' degrés ;

ne s'agiroi!

pllls qu e de déme ler parmi les raeines cellos dont on

auroit vraiment beCoin ; mais malbeu reuCernen t on Ce

rrouve arrélé des le traifie me degré .

Ceroit done

¡¡

Cquhaiter , puifqu' on ne peut

r~Coud re

toute

I'{tloeion ,

qll'on pitt au moins l'abaiífer au

degré de la 'lfteJlion ,

c'efl-1l,-dire

n'uv oir

q u )tu t~

d'ullItés dans. l'expo(.1nt

de fon degré que la qúel!ion

u~de--(olul·ions

vraies

dircélei, mais la nature

ce;

Igebre nc paroi! pas le

permettre ,

3°.

Si on propoCoit de trouvcr un nombre

x ,

!el

que

retranchant

I'unité de ce nombre, le qoarré du

T( –

fle

fal égal

quatre, on trouveroit

L .

L a premierc raeine

3 ,

qui efl réel –

el¡

politive, téCour la quefl ion ;

l'égard de

elle ne réCout poin! la queflioo propoCée , elle réCou!

eelle ei: trouver un r:ombre , auq.uel

ajofttont

l' unité ,

le quarré de la

¡.mme

Coit égal a quaue . On voit que

dans eet énoneé ,

ajo-f¡ee~

~rouve

au lieu de

retran–

eh" ,

[omme

au lieu de

r.efle.

En eifet

( x

1 ) '

= '"

¡lanne

>(=

1 &

3 ,

qui font préeifément les raci–

nes de

I' é'{ttation

précéden te prires avee des fig lles con–

traires. D 'o11 I'on voir que les raeines néga tives fa tis –

fon t

la queflion, non telle qu'elle efl proparée, mais.

avee de Iegers change mens qui eonCJflcnt

ajoiller ce

qu'on devoit (etraneha , ou

retrancher ce. qu' on de–

voit aJother . Le fi gne _ qui pré-cede ces racines indi–

que une fa lllfe ClIppofition qui, a été f.aite dans I'énoneé

d'addition

au lie" de

f oufrraEliol1 , &c.

ce figne

redrelfe eetre faulfe CUppolilion. En veut-on un exem–

pie. plus limpie? qu'on propofe de Irouver un nomble

qui étant

ajoftté. lI

20 ,

la Comme Coit égale

10 ,

aura

10 ,

ce qui fignifi e G.u'il fal –

loir énoneer ainli la queflion :

erotlver

un nombre qui

étant

"tranché

d<,:

20 ,

refle

foil égal

10 ,

oombre efl

10·.

4°.

on ' propaCoi! eerte queflion ,. trauVer un nom–

bre

x ,

tel que, ajoihan! l'unité

ce nombre, le quarré

r '

él' ,

. (

). - ,

u !OU! .Olt ga "';, on aurale

x +

;¡',x=-

voilii deux raeines négatives , ce qu'il

(i–

gnifie qu'iI falloir changer ain CJ

la quefl ion; trouver' un

' nombre tel, que retranchan t I'unité de ce nombre, s'ir

efl plus grand, ou le retranchant· de l' un ilé , s' il en:

plus petit , le qualré du refl e Coit. égal a

. C'efl pré–

eirément

eas du n

•

précéden! , doOl les raeines

Cont les m emes que de ce eas-ci, avee des fignes con–

traires.

j O.

Tout nous proulle done que les racines néga!i–

ves ne Cont deflinées qu'a indiquer de faulfes CuppoCJ–

tions fa ites dans I'énoneé ,

que le ealcul redrelTe ,

C 'efl pou r cela que , les raeines négatives 001 élé ap–

pellées

fau!!ef

par plofieurs auteurs,

les racines pOfi–

tives ,

vraifr ,

paree que les premieres ne Catisfont, pour

aiolf dire, qu' a un fa ux énoneé de

l~.

qu.eflion .. Au. re-

Yy y y

•

lle