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, 4 ,3
0
~e Adfel1~ I!:d~ parall~log{~mmes"
00
men! pr c '
él
' mes vdus verre7-
pio'¡(jt le quarte de
c~s
par,áll
og~arJ?
'1
arallé-
11 l'inllan t & pour alOCi dlre
a
1
<EIl, par
e
p
lifm e des'tangentes auX diametres conjugués, q:e
ce~
deux parallélogrammes
illfini~e[)t
proches foot' t gaux
¡
leur différeoce, s'¡¡ y en avolt, ne pouvam, e
~e
qu
illfiniment petite du fecond ordre par rappor! a eux .
Done,
&<.
'
1
fc ·
d s qllar-
P
démonrrer maintenant que a omme e
rés
~~~
diametres conjugués ell conllam,e '. confervez
J
é
figure appellez
a
un
d~s ~eml · dla!lletr~s,
b
f~n
mc:\gué, ;
+
da,
le
~e'!l,-d,ametre mñ[]J~e~t
h dJe
a
b d b
le detTIl·d,ametre conJugué,
il
proc e
,-
,
d
+
tau! donc prouver qu'e
a a
+
b
~
=
a a
+
2
a a
"b
-
2
b d b ( :¡Jayez
D,
F F
E R JI: NT I
~
L) ou que
a
d a
=
b
d
b.
al
tra~~ni
du centre de I
e/J'pfe
& des
ra ons
a,
b,
deux peti¡s arcs de cerc1é
x ,, z,
~n ~er.r/ ¿'abord évidemtñent que les deux .quarts d
e/Jlpfe
renfermés entre les demi-dlatile'tres cOllJugu és, fom é–
gaux & qu'ainri
a
J:
=
b
i,
Or
J(
ell
11
da
&
:t
ell
:i '
d b'
comme le Cinus de I'angle des diametres
el!
au
colinu's du mcme afigle; donc
x
:
da:
:
z: d b;
done
puifque
a
X
=
b
z,
ou aura
a da::: b d b
.
.
On obj eélera peut-etre qbe ees deu!
9ém~nllr?rloJl5
fon r tirées de la coolidération des quanmés mñnlmem
pe¡ites, e'ell·a-dire
d'un~ géom~trie
tr,nfcendante fu–
péricu re a celle des
f~alO'nS. ~OOlqu~S ,
Je r€ponds 9ue
les principes de cene gé'oillétrle foO! limpIes & ela"s,
&
qu 'ils doivent .!tre préférés des qu'i ls fournilfenr le
m ayeo de démontrér plús a1fémeHi,
Voyn
1
N FIN I
&
DI
f
F
E'R E NT I EL, En efret, pourquoi ne m et–
i, a· t-on pas
a
la téte d'un traité des feCtioos eOlliques
ces
príncipes de cáltbl á ifférentiel, lorfque ces princi–
pes limplitieront & abregeront les démpnllrat;ons
?
]'ofe
dire que l'opinion contraire ne feroit qu'un préjugé
mal fondé .
11 Y
a cent raifons pou r la détruire , &
pas une poúr la foutenir . Les principes de la
géom~rrie de I'infini étant applicables
a
tout, on ne famol t
les dC'oner trap t6t ; & il ell bien aifé de
le~
expliquer
ne!lement, On doit tlaiter le probleme des 'tangen–
léS d'une coüibe par le calcul différentieJ , celui de
13
'luadrature & de fa reCtifieation par le calcul intégral,
&
ainCi du relle, p'arée que ces m éthodes fon t !cs plus
limpies
&
les plus aifées
a
reteoir,
Voyez
EL
¡,:
M
E N
S
(5
M
A T H
E'M
A T I
Q
u
E S •
La maniere dOJlt nous vénons de démontrer I'égali–
té des parallé logrammes circonfcrits
a
I'ellipfe,
a don:
né
occaoon •
M .
Euler de ehercher les courbes qUI
peu,em avoir une propriété femblable ,
Voyez la mlm.
de
B er/in, année
1745',
Au Iieu de con lidérer d'abord
I'ellipfe
par rappor!
iI
fes axes, o n ' peut la contidérer, eomme daus avons
fai t dans l'
artide
C O' N I Q
u
E, par rapporl
:l
fon é ·
qualion env ifagée de la maniere la plus gétiérale . Cet–
le équation, comme on le peut voir
it
I'article cité .
fe réd uira toíljours 11
I'équation des diametres
11
It
=
'" =
n
Z
z,
en ne faifanr m'eme change, de polition
qu'une des coordonnées.
Voyez
C O'
U
R BE,
&<.
Le fph eroi'de formé par une
éllipfe
autOur de fon
a:.:e, ell
a
la fphere qui a cet axe pour diametre, eOJll–
me le quarré de I'axe ell au quarré de fon conjugué;
c'ell une fuite du rappor! des ordonnées co rrefpondan–
les de
I'e/lipfe
& du cercle qui a le meme axe,
I/oyez
SPHE'RO'i' DE;
voyez au/fi les areicla
C O'E UR
( G/omllrie
)
&
G
O N O .,
DE.
N ous avoos dit ei-delfus
&
au
moe
C O' N
1
Q U E ,
comment on décrit
l'e/lipfe
par un mouvemenr comi–
nu; cene maniere de la décrire ell la plus limpie qu'
on puiOe employer fur le terreio,
&
meme Cur le pa–
pier: mais toutes les deferiptions organiques de cour–
bes far le papier COn! ineommodes.
Voyez
C
o
M P A S
E
L
L I P T I Q
u
E ,. La deCeriprion par plulieurs poinrs
doit etre préférée .
f70yez
D E
S
e
R I
P
T
10' N
&
C?
u
R
BE, On peut décrire
l'e/lipfe
par plulieurs
pOll1ts, en div iCant en raifon du petit axe au grand les
o rdoonées du cercle circonfcrit .
Voyez
a
la. fin d,;
!l,
/' vre des {eaions <oniqlus de
M,
de I'H?ptta! ,
p,11I–
jieurs alllres méthodes tres-jimplet de dlr"re
¡
elllpfe
par p/:,fjeurs p.ines,
11 Y
a des géometres qui enfei–
gnent
a
décrire l'
e"ipfe
fur le papier par uo mouve–
';10m,
COl1lmu, fuivam la m éthode qui fera expliquéc
11
I
;,rt
tcle ,
O
V A LE;
mais cene méthode ell fautive : ce
n,:lI
pOIn! une
./Jipfe
qu'on déerit, e'ell un compofé
d
.rcs, de tercie qui formen¡ une ovale
a
la vue , &
qUI n efl pas, mem,e proprement une courbe géométri–
que , Aueune pOrtIan
d'e/lipfe
o'eC! un are de cercle.
La preuve en eC!, que le rayoo de la développée de
ELL
ce'rte eourbe /l'en conllant en aucun endroir .
On
¡1eut
le démontrer d'une infinité d'aOires manieres.
f7oye:(,
D E'y E L o
P
P E'JI:
&
O
5
e
u
LA
T E
U
R .
On a déjol dit un mor de l'ufage de
I'dlipf.
dan
s
l' AlIronomie
&
on a vII ci-defTus que
z
étant I'ano–
m alíe vraie
~
la dinanee moyenne,
&
f
l'excentricité
(I/oyez
A
~
o
M
A L
J
E
&
E
x e
E NTRI
e
J
TE' ),
00
····ff
a la dillance
r
de la planete
3U
foyer
=
-;:.f
co! .. ;
or
fupporani,
f
rres'petite par rapport
a
a,
on
~eut
aifé–
meot réduire en férie cette vateur de
r, I/oyez
B
I
N
0-
ME, DE'vEL oP PEMEN T
&
SE'RIJI:;
~e
plus l'é–
lément du CeCteur qui repréfente l'anomahe m oyenne
(f7oyez
Lo
I D E
K
E P L E R
&
A
N
o
M A L
lE) ell
Proportionnel a
d
z.
( a
4 ' -
f f)
2
;
d'ou
i1
ell aiCé de
• --
f
coC,
.. ).
conelure par les féries & le ca1cul intégral, que ¡¡ ( ell
l'an0mal ie m oyenne,
011
aUra
~
=
z
+
z
f
un"
z
+
3
~
1
lin ,
3
z
+
..f.!.
lin ,
3
z,
&e,
&
par la méthode
3
du retour des fu ites (
I/oyez
S
U
I T E
&
R
JI: T
o
U
R ) ,
f
f'
ti'
'313
ri
on aura
z
= , -
2f
lin,
?
+-4- lO, -
~
- -.-.-
ID .
3
~
-
f3
fin.
? ;
&<,
ainli on a égalemen! la valeur de
I'anomalie
~oyenne
par fa ', raie, o u ee,lle de la vraje
par la moyenne, ce qui donoe la foluuon du
probl~:
me de leepler Mveloppé au
moe
f\
N
o
M
A.
L
J
E., J a,t
mis ici ces formules, afin que les Anronomes pUllfent
s'en fervir ao befo;n .
f7o)'ez
E
QUA T ION D U
e
E N-
T RE .
'o
Si
l'ellipfe
en peu excenrriqué,
&
qn une des hgnes
menées ao foyer fo,;t
a
+
z ,
I'autre fera
ti
- ,z ,
z
é–
tanr un e tres -pe tite quantité;. done le produl!
a a -
z z
de ces deux lignes peu t etre regardé comme con–
lIant
&.
égal
~
ti
ti,
a
caufe de
I~ pe~ite(fe
de
,z
t ..
~r
¡¡ des deu! extrémit¿s d'un arc IIltiOlmenr petlt ,d
,/1,–
pfe
on mene des Iignes
a
chaque foyer, on trou vera,
apres avoir décrit de petits arcs du fóYer
eomrr~e
eeo–
tre
&
des rayoos
ti
+
z, a
-
Z,
q ue ces peuts ares
font éga ux" nommant done
,¿
chaéun de ces peuts arcs,
on
trouver~
que le feCteur qüi a
á
+
z
pour rayon,
ell
4
(.
~,_
");
& que I'ang le qui a
a
-
z
pour rayon,
ell
_ 4_ ,
donó le rapporr dtf CeCteur 11
I'angle
en
.. .
-
~
,
.a.:
<''';
do ne il peut étre cenfé conllant,
CU~
quoi
v.–
yez I'artid. (i.ivane
EL L t P
s
É:
de M, Cam ni ,
D e ee que la fomm.e des lignes,
mené~s
aux
foy~rs
en connanre, il s'enful!,
~ommÍ
II ell. alfé de le VO",
que menant deux Iignes d un meme pOJnf au:.:
d~ux
fo–
yers, la différentielle .de I'une en égale
a
la dlfféren–
tie lle de I'autre prife
négative¡nen~. ,
Or on co n,cJ?ra de–
la rres'aifément,
&
par la plus frm ple géo i'neme élé–
mentaire que les deux lignes dom il s'agit fon! des
angles égaux avee la tangente qui palre par le poine
d'ou elres parttlnt, Donc un corps parrant , du foyer
d ' une
. /Jipfe
& choqoant la furfaee, fera renvoyé
a
l'autre foyer ,
f70yez
R
E'P L E
X
ION . De-la l'ufage de
cette propriété dans l' Acounique
&
dans 1'0ptlque.
f70yez
MI
R
o
J
R,
E
C H
o ,
C
A B I N E T S S E
t:
R E TS .
VoiJ¡i enco re une propriété de
l'e/Jipfe
que le ealcu!
différenr iel ,
mI
p'Iut6t le limpie prillclpe de ee
~~lcul
démon tre tres·él¿gamment &
tres- rimple~ent
"
,)1
les
deux foyerS' d'une
e/lipfe
s'éloignent Jufqu a arrtVer au,x
extrémités du grand axe,
l'el/ipfe
devient alors
un~
It–
gne droite;
&
ri on des foyers renant en place, I au–
tre s'en éloigne
a
I'¡nfin i , elle devien! parabole.
f7oye:/[.
PARABOLE .
ElJipfeJ
a
I' inñni ou de rous les ge.nres, ee font
cell es qui font délignées par les équatlons générales
a m
+
D
=
b x
DI
X
~
,
& que quelques.uns appelleot
ehiptoideJ. I/oyez
E
L l.
I
P
T O' i' DE. Mais ces mo!s OU
fa~ons
de parler font peu en ufage, .
,
L'ellipfe
ordinaire eC! nommée
el"pf'
apo/l0n.tenn~
ou
d'/lpo/lonillS,
quand on la compare
a
celles-CI , ou
qu'o n veut l'en d illinguer .
I/.yez
A
P
o
L
L
o
N I
E
N •
(O)
E
L L I
P
S'E
de
M ,
Camni, aurremenr iJommée
<a.f–
fino/de
efl une combe que feu
M.
J ean D omioique
Caffi nr 'avoit imaginée poor expliquer les mouyemens
des planetes; cene combe a deulf foyers
F,
f
(fig,
24, )
d om la propriété en relle que le produit
FMX
Mfde
deu x ligo es quelcop.ques menées de ees foyers
a
un
point quelconque
M
de
la
courbe,
en
toajoues égal 11
une