1000000036

'ELL

yer5 . Pour

cel~

cou¡>era le grand sxe

A B

en deux

parties égales en

on élevera du poiO[

la perpen–

diculaire

égale au demi-axe conjugué ; eofio du

point

pris pour centre,

de l'intervalle

011

déerira un arc de cerele,

déterminera les foyers

par Ces interCeélions avec le grand axe .

¡¡o.

Comme la Comme des deux droites

FM,

fM,

tirtes des deux poi nts

au meme point de la cir–

cnnférence

toujours égale au grand axe

11 B ,

iJ s'enCuit de-13 que les axes cOlljugu6 d'une

e¡¡ipfe

é–

taot doonés,

peut facilement décrire

l'e¡¡ipfc .

Voy .

C ONIQUE .

9°. Le

reébngle formé fur les fegmeos de l'axe con–

j ugué efl au quarré de la demi - ordonoée, comme le

quarré de I'axe conjugué ell au quarré du grand axe;

d'ou il s'enfuit que les

coordonoée~

a l'axe coojuaué

oot entr'e1 les un rapporr aoalogue

¡,

celui qui regne

tre les coordollllées au grand axe.

¡Oo. Pour déterminer la foutangente

(jig .

23 . )

la foúo ormale

P R

dans une

el/ipft

quelconque, 011

te ra: comme

premier axe efl au parametre, ainli la

diflance de la demi-ordoonée au centre efl

la Couoor–

male.

Voyez

S o

N O

M A LE.

11°.

L e recrangie rOl1S les fegmens de !'axe efl égal

nu reéhllgle formé de la diflance de la demi-ordonnée

au centre

de la fuu tangente .

Voy .

S o u

T A N G E

1'1-

T E.

nO.

Le reébngle fait de la Coutangente

de la di–

(lance de l'ordonnée au centre , efl ':-gal

la différence

du quarré de cette diflancc

du quarré duO demi-a: e

tranrverfe .

13°.

D ans toute

·cUipfe

le quarré de la demi-ordon–

lIée

un diametre quelconque , en au quarré du demi–

diametre conjugué, comme le reaangle fait

Cous

les

feg mens du dia metre efl au quarré du diametre ,

par

eon Céquent le rapport des demi - ordonnées des diame–

treS erl le meme que celui des ordonnées des axes; le

"arametre d'un diametre quelconque en aum une troi–

lie me proportioonelle

ce diametrc

fon conjugué .

Nous avons rapporté ces propriétés de

l'empfe

la plO

part fans démonnration, pour deux raiCoos: la premie–

re, afin que le leéhur ait Cous les yeux dans un aflez

petit .cpace les principales propfiétés de

l'eUtpre,

aux–

q uelles il peut joiodre celles dont on a déja. fait men–

tion

article

C o

N I

E .

La Ceconde ralCon efl de

donoer au leéleur l'occalion de s'exercer en cherchant

la démonflration de ces propri¿tés . Toutes eelles que

nous venoos d'énollcer Ce déduiCent aiCément de l'équa-

tion

yy= (ax- xx)

ou (

"i-x x

)

felon qu'

0 0

prendra les abCciUes au centre ou au Commet , pour

démontrer plus limplement ces propriérés. Pour démon–

trer les propriétés des foyers, on nommera

(jig .

21.)

f ;

remarquera que

efl le fecood axe, on au-

ff=

P.!.

En voilil plus qu'il n'en faut

pour mettre le leaeur fur la voie. On peut remarquer

ici en paffan t que le cerde en une eCpece

d'ellipfe

daos

[aquelle les foyers co'incident -avee le ·centre .

Pour trouver les tangentes de

l'el/ipfe,

rien n'efl plus

limpie

plus commode que d'employer la méthode

du calcul différemiel;

on a

"- x

donc

dy=

bdx

•

done la Co(jtangente

l.dd

-7:-,!.-,-,.T'---.-¡,~r

I/oyez /el

areicleJ

T A N G E N T E

•

A N G

I!:

N 'f

I!: .

A l'égard de la Couperpendiculaire ou

, d 1

7 6

.6"7

fo unormale , elle efl-;¡-;'-ou

=.- - :;-.

voiU affez pour démontrer les propolitions é noncées ci–

deffus au fujet des tangentes de

l'eUipfe .

N ous avons déja vu au

moe

C o

N 1

I!:,

nous

prouveroos encore au

moe

1).

A T U R

É ,

que ,la

quadrature de

l'el/pfe

c,lépend de eelle du cerele,

pUI~que

1'..

lIip(.

efl au cerde circonCcrit en raiCon du petlt

axe au grand. A l'égard de la reélificatioll de

l'~¡¡t

pfe,

c'en un prElblenae d' un genre Cupéneur

CelUl

la quadrature du cercle, ou du moios rout·a-fait indé–

pendant de cette quadrature.

V oye:¡;.

T 1

A–

T I

voyez; a,,¡¡;

dans les mémoires que J'ai don–

nés

¡,

l'académie de Berlio pour l'aonée

1746,

daos

le "airé du calcu! intégral de

de Bougainville l.e

Jeune ,

J" d'/flrmei,Ues

qui fe rapportenr

la reéll–

ficatioo de l'

dlip(e.

Au lieu de

r~pporter

l',//ip!(

des coordonoées re–

r ome V.

ELL

433

a angles ou

des ordonoées paralleles, on

~tu t

con–

lidércr roo équalioo par rapport

l'angle que fom a–

vec l'axe les Jignes mcnées du foyer . Cene confidé–

r3tion erl utile dans l'Afironomie , parce que les pla–

netes, eomme l'on fait, décrivent des

,I/ipje!

dollt le

foleil ell le foyer . Or

on oomme

la moirié du

grand axe d'une

c¡¡ipr_ ,

la diflaoce du foyer au

CCIl–

¡re,

le colinus de l'angle qu'une ligoe menée!l u fo–

yer

l'e/Jipfe,

fait avec l'a xe ,

la 10nguel1r de cetre

ligne .; on aura

r:::

-;;--:-:-¡-q'

on rapporte l'équation

• • --

au foyer le plus éloigné ,

0 0

r3ppOrte au foyer le plus proche. De-U on peut tirer

la lo lutioo de plulieurs problemes aflrooom iques , com–

mé de decrire une

,l/ipF

daos laquelle trois diflanccs

foye r Cont données,

&c.

Voyez

les mimo

de I'a–

cadlm.

de Berlin pour l'anoée

1747 ,

plllfimrs ou–

tre! ouvroges d'Aflronomie .

Muis la maniere la plm générale de confidérer

I'el/i–

pfe

en Géomérrie, efl de la conlidérer par' l'équation

aux ordonnées paralleles . Nous allons enrrer dans quel–

ques conlidératiolls fur ce Cujet, qui pourronr e tre uti–

les aux

commen~ajls,

peut-elrc

me aux géometres

plus avancés .

L'équation d'une

,lIipfe

rapportée au x axes, les coor–

données étant priCes au centre, efl

y y:::

x x ,

!t:

exprimant un guarré ou reélaogle conou,

un nom–

bre conflanr

connu; cela réCulte de

qu'oo a vii

ci-deffus. T ransformons les al es de cene courbe, de

maniere qu'ils oe Coient plus reaangles, fi on veut,

mais qu'ils ayent la meme origine,

fervoos-nous pour

cela des regles éxp!iquées aux

articles

C o

T R

A N S F

o R

M A T

ION, on verra qu'en CuppoCant

Ull

des axes dans ulle polition queleonque, il Cera por–

lible de donoer une telle polition

!'autre, que l'':-qua–

tion transformée foit de cetre forme

m-n

marquant aum des l con nantes déterm inées. En

eRet CuppoCons que l'angle des premiers axes foit droit,

que

Coit l'angle du nou vel axe avec ['un des axes

primitifs,

l'angle que l'axe cherché fai r avec l'axe

conjugué

l'axe primitif; foit linus

colinus

E:::

on aura finus

= //1

- ee,

coli–

nus

roit linus

F :::

f ,

colinus

F:::

P I-=¡-¡-'

00 rrouvera

( x_

YI~_~

l ' )

fin.

cor.

hnu. 90

-+-

- -

FU'

--f

-:6':::n.'-9'::'0-.

...

--:E=-.-=F

=Z;.

Or finus

F :::

lin.

1 -

f -

colino

(

voyez

I N U

s) :::

1 -

f f

// ¡-:::-;:-;

fe.

Su bflituant ces valeurs,

chaffa'ot

y ,

o n aura une équation en

qui Cera la

transformée de l'équation

:::

x x;

CuppoCane

dans CClte transformée que Jes termes Oll

rrouve

fe détruiCenr, o n aura la valeur de

convenable

pou r cela,

l'équatioll "

:::

m - n

Z;.

Cela poCé.

en vifib.1e que pour chaque

z ,

a [Qujours deu...:

valeurs égales, l'une politive, l'autre oegative ; que lorf-

que

z:::

vf,

o n a

dans chacune ' de ces deuK

valeurs,

qu'ainli la tangente

11.

l'c xtrémité d'un des

dCl1x axes ell parallele

I'autre axe,

réciproq ue–

ment; car la tangente efl une ordonnée qui coupe la

cou rbe en deu x points co"incidens .

Voyez

A N G E

1'1 -

COURBE,

verra de plus que

f=o

rend

que

[end

1 , 1

répref~ntnnt

le lious

tOtal ; que

rénd

;::: -

1 ,

qu'ainG il n'y

que deux axes dans

I'ellipfe

qui Ce coupent

angle$

droits; mais que

f:::

r, r

étant moindce que

1 ,

donne deu x valeurs de

aum égales enlr'elles ,

qu'

ainri

a [Qujours deux dia metres difierens qui fonr

avec leu r conj ugué le

merne

angle,

cet angle

el[

moindre qu'un droit. On peut aum déduire des va–

leurs de

de celles de

n ,

que le reélan–

g le des del1x axes efl ég31 no pnrnllélogramme formé

fu r deux diametres conjugués ,.

que le quarré des

deux axes en égal au quarré des deux diametres . M ais

ces propoli tions peuvent encore re démontrer eje la ma-

niere Cu ivamc, qui efl bien plus fl mple.

Pour démontrer que les pnrallélogrammes form és au–

tour des

deu~

diamerres conJugués font égaux , imagi–

nez uo diametre infiniment proche d'uo des conjugués,

enCuite imaginez le conj.ugué

ce diametre infini-

melle