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ECH
d'uoe carte, d'uo deCrei", ou d'un plan, pour fervir de
commUl.c meCure
:l
routes les pan ies d'un bfttirnent, ou
bien
;i
tou,cs les dillances &
a
tOUS les lieux d'une car–
le ,
V"yez
CA
R TE,
D ans les
~ralldes
cartes , co rnme ceHes des royaumes
& des provinces,
&e, I'échelle
repréfeule ordioairement
des lieues, des milles ,
& e,
c'c(t ce qui fail que I'on
dit uoe
échel/e de lieues,
une
échel/e de mil/eJ,
&c,
Dans
le.
e~rles
partieulieres, comme celles d'uoe fei–
gneurie, d'u"e viJle, d'uoe ferme,
&e , I'¡ehel/e
re~r~fente ordillairement des perches, ou des roifes fubdlvl–
fée. eo pié ,
Les
¡ehel/es
doot 00 fait ordioairement ufage dans le
D ejJein ,
ou le plan d' un
b~timent,
repréfeotent des
lDq–
du.esde, toiCes , des pié! , des pouces, & aUlres mefu–
res remblables,
Pour lrouver fur une cárte la di!lance entre deux vil–
les, on en prend l'iotervalle avec un ca mpas; & appli–
quant eet inlavalle fur
I'!ehel/e
de la carte, on jugera
par le nombre de divifions qu'il reoferme, de la diltao–
ce des deux villes, Par la meme mélhnd e, 0 0 lrouve
la hauteur d'uo étage daos un plao de bl11iment ,
L '"helle de front,
eo
P erfpeéli'Ve,
e!l uoe ligne droi–
te paralle\e a la Iigoe horiConlale, & divifée eo parties
éga el, qui repréfelltent des piés, des pouces ,
&e,
L '!chelle fuyante
e!l au ffi une ligoe droile verticale
dans un delfeio de perCpeétive ',
&
dlviCée en parties iné–
gales , qui repréCentenl des piés, des pouces
&c.
H arriJ
&
ChamberJ ,
(E)
P oor en don ner une idée plus préciCe, foit
Q.N
(jig ,
]5'
de Perfpeél, )
uoe Iigne horiContale divifée el1 par–
tie; égales
Q
1, 1ll II
J
11,
ll11V,
&c, & foil
ti–
rée du poim
P,
que Je fuppofe erre la place de l'reil ,
des ¡¡gnes
PI, P
JJ,
P
ll l , &c,
qui coupenr en
1,
2 ,
3,
:5<.
la ligne verticalc
Q.R,
11
e!l aiCé de s'af–
fíl ra
a
l'reil, & de démoolrer par la Géométrie, qu 'el1
fuppofan l la ligoé horifolllale
Q.N
di vifée eo parties
é–
gales , ,les parties correfponda mes
Q.1,
]2,23,
&e,
de
la
verticale iron¡ toíljours en di mi ouan¡; & que meoan¡
PO
horiCu11lale, la verticale
Q
O
fera
¡'¿ebel/.
de tCUles
les pardes de la ligne
Q.N,
quelque grande qu'on fup–
pole ceue dernicre Iigne: c'e!l ce qui a rait donl1er
a
¡'échel/e
Q.
R
le 110m
d'ichelle fuyante,
P our avoir le
rapport c 'une partie quelconque
2.3
de
I'!eh.lle fuyante
a la partie correfpondanre
1ll
J J,
on menera la verti –
cale
1 1
a,
& on confidérera que
2.3
ea
a
J J
a
com–
m e
P
2.
e!l
a
PI I ,
comme
MQ.e!l
a
MIl,
& que
JI
a
ell
a
/lIU
comm
PM
e!l
a
M Ili ;
donc '
:2.3
di
a
11/11 comme
MQ.
mulfÍ.plié par
P M
e!l
a
-
"
Illll MfiZ. ltM
MI l
multlpllé par
Mili;
donc
23
=
M IL,
Mil I.
=
a
tres-peu-pres
1 1/II M!fJ.., P M ,
,
eo fuppoCant les par-
Millo
t ies
11 J JI
trés-peliles par rappor!
a
la Iigne emiere ,
D onc
le;
parties de
l'!chelle fuyante
feroO! elllr'elles
a-peu_-pres dans la raifon inverfe des quarrés des parties
eo rrefpundantes
Mil;
ou pour parler plus ex aétemeo t,
d eux pardos voili nes
23,
34
de
I'Jchelle fuyante ,
foO[
eotr'e'Iles comme
M 1V
11
MIl,
c'e!l-a-dire el1 raifon
in verCe deS parties
MIl, M l
V ,
( O )
E
eH
t;
L L E S A R 1 T
H
M E'T 1
Q
u
E S,
Quoique nous
ayolls déJ' trairé celte maliere a,ux
m otJ
A
R 1 T
H
M E'–
T
J
Q
O E, 8"1 N A
J
RE, C AL
e u
L,
D
A
e
T
y
L
o
N 0-
M
J I!,
D
E'
e
J
M
AL ,
&
autres, l'article fuivaut qui DOUS
:¡
élé communiqué for ce meme objel nous parolt di–
gne d'erre dOl1né au public,
11
e!l de
M ,
R allier des
O urmes , confeiller d'hol1neur au prélidial de Rennes ,
qui veut bien concourir
a
notre travail ,pour ce volu–
m e & les fu ivans, comme on le verra par plufieurs ex–
eellens articles qu'i1 nous a envoyés ,
1.
E
e H
E L L
l!
A R 1 T
H
ME'T 1
Q
u
E ,
dil-il, efl le
Dom qu 'oo donoe
a
une progreffioo géométrique par la–
quelle fe regle la yaleur relative des chiffres fimples,
ou l'accroitTement
graduel
de valeur qu'ils !Írem du
rang qu'ils oecupent entr'cux,
Elle
en formée de puiíTances confécutives d!un nom–
bre
r !
la íljo urs égal
a
celui des caraéteres numériques
ou chltfres ( y compris
o ) ,
auquel 00
a
Irouvé bon
de fe,
fixer
daus le fy!l eme de' numération étabJi;
&
le
premler
&
le plus perir rerme en efl
rO,
l !.
;Etanc dO,nc pofée une telle prog reffion, fi Pon
eon~olt
une fUlre de chitrres pris comme on voudra
qui lui correfp?ode terme
a
terme, on en coovenu
qu~
la
valeor
rel ~ll ve
de chacuo d'eux feroit le produit de
fa, valeur propre ou abfolue par la puiífance de " qui
101
correfpond dans la' progreffion, Ceue idée heureufe
nous mel en état de repré[eoter nettemenl
&
avee peu
EC H
, de
c3raéteres les nombres le ' plus grands
&
incapables
par leur grandeur m eme d'elre faitis par notre imagi–
nalion,
,
,
.
111.
C omme les raogs des chiffres fe complent daos
le meme fens qu'efl d irigé le cours des e¡poCans po–
tenriels dans la progreffion,
&
que le premier expo–
fant c!l o ,
i1
fu il que I'ex pofant de la puilrance e!l 10U–
jours plus petir d'une unilé que le rang du chiffre cor–
rcfpondant ; enrorte que nommal1!
n
le rang qu'occu–
pe un chiffre
a
quelcooque daos fa fuite ,
I'expr~ffi on
'-1
de fa valeur relali ve e!l généralement
a
X
r
,
Si I'on cherche, par exemple , la valeur du
4
daos
437 ,
relative~ent
11
notre
éehtl/e,
on
r=ro.
& on les
rangs fe compleO! de droile
i
gauche , 011 la trouve-
ra
==4X
lo3-~=4X
I02==4X l 00== 400.
IV,
L e oombre
r
en di l la
raeine
de
l'lebelle;
&
c'~!l
de lui que
I'ühelle
meme prend fon nom ,
r=
10
fait
nommer , denaire
ceHe dont nous oous fervons;
r=
2
dop.neroit
I'¡chelle binaire; r=
7
la
[eptenaire,
&c,
V ,
La progreffioo décuple qui con!litue notre
/che/–
le ,
e!l croilfa me dé droile agauche , & nous fuppofe–
rons la meme direétion dans IOU les les au tres auxqpel–
les nous pOllrrons la comparer; mais elle pouvoit I'e–
ne lout auffi-uic n de gauche
a
droite, On eOl pu me–
me lui donoer uoe direétioll verticale & la rendre croif–
faO!e, Coit de haut en-bas, foi t de bas en-haut" En uo
m ot
l'arbitraire
avoit lieu id tout comme pour I'écri–
ture :
Ii
nous dirigeons nos Iignes de gauche a droite,
d'autres peuples les Ol1 t dirigées & les dirigent encore
de droile agauche; d'autres de bas en-haut on de haut
eu-bas,
VI.
r
tra p petit nous eOr réduit
a
employer beau–
coup de caraaeres pour repréfelHer un nombre affe'l.
m édiocre ,
r
trOP
grand nous el" obligé de multiplier
les caraaeres , au riCque de furchargcr la m émoire
&
aUN
dépens de la limpliciré,
r
=
10
femble eOlre ces
deux extremes tenir un j u!le milieu, Ce n'e!l pas que
quelques fava ns n'ayent penCé qu'oo eut pu mieux choi–
fir ,
Voye:c
B
1 N A
J
RE,
Pour menre le leacur en
é–
la! de Juger de leur prélenlÍon , nous aliaos dooner le
moyen de comparer el1lr'elles les diverfes
échtl/CJ arith–
mltir¡ueJ ,
Tout peut fe réduire aux
einr¡
Oll m eme aUl
troiJ
problemes ci-apres ,
\
V I I.
ProbJeme
1,
L 'expreffion_
a
d'un oombre
étan~
donnée dans
l'!ehelle
ufuelle, trouver I'ex preffion du
meme nombre dans une autre
!ehellt
que\col1que, doO!
la racine
b
e!l auffi doonée ,
So",tion ,
C hcrchez la plus haute pui1f.1nee de
b
qui
foir COlltenue daos
a ,
N ommant
n
I'expofant de cene
puiOance,
n
+
1
fera le nombre de chitrre.s de l'ex-
preffion cherchée.
POllr
l'a voir, divirtz
a
r { ', le
"-J .
"-'1
premier re!le par
b
,
le fecond re!l e ' par
b
,&
ainfi de
f~ite
juCqu'a
b
O
-.
ou
bO
inclu fi vemeO! , Tous
ces quo tiens
priJ en nombra entien
& écrilS
a
la fuite
¡'un de I'aulre dans I'ordre qu'ils viendroO!, donne–
ront l'expreffion cherchée dans
l'¿ehelle
dom la ra–
cine e!l
b;
enforte que défignant le premier re!le par .
1
2
r,
le fecond rene par
r,
&c, la form ule géoérale fera
1
a,
r
r
r
--
-
.
' -1
b b
b'-1
bO
Exemf/e,
Un nombre expriroé par
4497
daos l'é–
"relle
uluelle , co roment le fera-t-il daDs la feptenaire?
Sub!lituanl dans la for-
a
=
4497}
mule, 00 aura
b
=7
4497 '096
38 38 3
On Irouve , , _
n
=
4
'140-1'
3"4"3'
49 ' 7' ) '
=
1.
6,
o ,
r,
3=
1605'3 ,
Le
m~me
nombre ne pourroil etre exprimé dans l'¿–
(helle
bina(re par moins de treize caraaeres,
V II I.
Probteme
2,
L'expreffion
A
d'ul1 110mbre é–
lam donoé'e dans une ,
échelle
quelconque ( autre que
l'ufuelle ) , don't la racioe
b
e!l connue, trouver l'ex–
preffioD du m eme n0lT!bre daos
l'!.chellt
ufuelle ,
Soltttion,
Soient les chitfres du nombre
A
repréfen–
tés dans le m eme ordre par les indétcrminées
e,
d,
.,
.f. ' , , ,
D ,
Nommant
n
+ ]
le nombre des chíffres de
A
" fe–
ra (
n O,
7,)
l'cxpofam de'la plus haule
'puiíJalle~
de
b
qui