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ARR
a
p~yer
en argent
compt~m.
Mais dans le C3S ou I'in–
tér~t
d!
compoli!, I'illlérct joilH au principal deviene
chaque année un nouvcau principal; ainll
ii
la fin de
la
'1
-
l'
année, ou ce qui revieut au mcme, au cem–
m encement de la
'1'
aunée, le débitcur en dans le me–
me cas que s'¡¡ recevoit du créallcier lá [omme
a
( [
r
l
.
+
In
)
de principal . Cene [omme
tr~vaillant
pen–
dalH I'année, le débitcur doit
ii
la fin de cctte anuée
la Jomme torale
a
(
1+
In)
d'oll retranchant le prin
q- I
"
cipal " ( t
+
In)
qui en cen[é preté
a
la fin de I'an-
née précédcme, il s'cn[uit, ou il paroit s'en(uivre, que
1~
débitcur a la fin de la
'1'
année doit payer au créan–
eier en argent complant la [omme "
(1
+
m)
, -
a ,
( 1
+
In
)
q-
1
&
non
p~s
a
(1
+
In
)' - ",
Pour ren–
dre ceue difficulté plus ('en lible, examinol1s en quoi
e ontine proprcment le payement d'une rente. U n par–
t iculier préte une (omme i un autre; au bOll! de I'an–
l1ée le Mbiteur doit la Comme torale
a
+
a
In,
tam
pour le principal que pour l'inréret; de cene [omme
(olale il !le paye que la partie
a
In;
ainli il rene débi–
leur de la partie
a
comme au commencement de la pre·
miere année: donc le débiteur qu i paye exaétemem [a
r ente en dans le meme cas que
Ii
chaque anoée il ren–
doit au créancier la [omme "
+
a m,
&
qu'cn mcme
tems le créancier lui repréta t
I~
(omme
a:
donc tout
ce que le débiteur ue rend point au créancier en cenfé
au commencemenr de chaque année former un nouveau
principal dOn! il doit
a
la fin de
I'~nnéc
les
illlér~ts
en
:ugent comptant. Ainli
a
la fio de la
'1-
l'
anoée le
débiteur en cenfé recevoir
a
(1
+
m)
q-
I
de principal:
donc
ii
la fio de I'année [uivante il doit payer
a
(
I
+
In
)
q -
a
(
I
+
m)
~-
1
d'argent comptant, par la
rneme rai[on que s'il recevoit
b
en argem comptant, il
devroit payer
a
la fin de I'année
b
(
I
+
In
) -
b.
La répon(e
a
cene diffi culté efl que la quantité d'ar–
g em que le débiteur dOlt payer , dépend
abfolum~nt
do
la eonvcntion qu'lI fera avec le créancier
&
que d'u–
ne maniere ou d'une autre le cr':aocier
n'~n
nullement
l éfé; car
Ii
le débileur paye ¡¡ Is fin de la
'l'
année la
fomme
a
(
1
+
In)'
-
ti,
iI
oe devra done plu.s au
cré3nciet au eummencement de I'année [uivante que la
fomme
a;
il fe retrouv era daos le
m~me
cas Oll
iI
é–
toit aval1t le tums Oll ji a ceffé de} payer,
&
¡\
I~
fin
de I'année
'1
+
l '
iI
ne devra au cré;;oder que la (om–
m e
a m,
Mais
li
le débiteur ne paye que la [omme
n
q
q-'
( 1
+
m )
-
a,
(
I
+
m
)
,
laquel\e
eíl
moindre
que "
(In
+
1 )' -
a,
tOUles les fois que
'1
en plus
grand que
1,
comme on le [uppo(e ici; alors le débj·
teur au commcncement de la
'1
+
l'
année
[e
trouve–
r a
redevable d'une [omme plus grande que
a;
&
s'il
veut
en
faire la rente annudle, il devra payer
a
(
1
....
m)
q
X
In
d'intéret chaque année on argent com–
plant. Ainli le cr¿ander recevra une [omme moindre
ou plus grande daos les années qui [uivrom celle du
payement des
arrlrag<J,
felon que le débiteur aura doo–
u é pour le payemelll de ces
arrlrag<J
une [omme plus
ou moins grande.
II
n'en done léle ni daos I'uo ni
dans I'autre cas,
&
tout dépeod de la convention qu'jJ
youdra faire avec le déo:teur,
Aurre quenion qu'on peut falre Cur les
arrlrag<J
dans
le cas d'iutéret compo[é. N ous aVODS vil que le dé-
biteur au commencement de la
'1'
année doit la [om–
m e totale " (
I
+
m )
,-
1 ;
fuppofons qu'il veui\le
s'acquiler au milieu de l'an née fuivante,
&
non pas
a
la
fin , que doit -il payer pour les
arr/rages?
11
en viliblc que pour ré(oudre cene quemon jI [auI
d'abord
(~voir
ce que le ctt!biteur doit au m iJiell de
la
'1
<
année , En premier Heu , le principal ou [omme
totale
ti
(
1
+
m)
q-' étant mu iliplié par
1
+
In,
doit donoer
la
[omme qui fera due i la fin de la
'1'
an–
née ,
favoir
a
(1
+
m)
ou, ce qui revient au mcme,
le débiteur devra a la q'6n de cene annde
a
(
1
+
m
) q-I plus
I'intér~t
de cene [omme, c'en·¡¡-dirc
(J
( 1
+
In )
'-1
X
m,
Daos
le cours
de
I'aunée , il doit
ARR
599
d'abord
ti
(
1
+
m
)
q-
1
qui en le principal; il doit de
plus une ponion de ce principal pour l'inrér2t qui coure
depuis le commeocemem de l'anné.: ceHe portion doie
certainement etre moindre que" (
I
+
m
)
q
-1
X
m,
qUl en I'intérer dll a la 6n
d~
I'année: m, is queIle doit–
elle clre? I3ien des gens s'imaginenr que pour I'iméret
de la demi-année il faut prcndre la m itié de I'inréret
de I'année, e'en-i·dire
(1
(1
+
m)
q
-1
X
~
le tiers de
l'illtér~r
pour le ticrs de I'année,
&
ainfi du rene: mais
ils font dans I'crreur . En ctfet, qu'arrivc-t-il dans le
cas de I'intérct compofé? c'en que le fommes diles an
bour de chaquc anuée
(001
en progrellion géométrique,
comme
il
ea
~i(é
de le voir , Or pourquoj cene loi
n'auroit-elle pas lieu auffi pour les portioos d'années,
comme pour les années entieres?
f a
voue que je ne vois
point queIle en pourroit .,tre la raiCon. L a [omme dile
a
la fin de h '/-
1 '
année
en
a
(
1
+
m
)
9 -, ,
cel...
le qui en d{\e a la fin de la
q'
année en
a
(
I
+
m
) ' ,
celle qui [eroit dúe
a
la fin de la
q
+
l'
feroir
a
(
I
+
m)'·
1;
&
ces trois (ommes Cont dans une pro–
porrion géométrique continue . Donc la
(omme
due an
milieu de la
'1
'
année doit etro moyenne proportionnelIe
géométrique entre les deux [ommes ducs au eommen–
cerneO!
&
a
la fin de cette année, c'ell-a·dire elltre"
( 1
+
m)
q
- 1
&
a
(
1
+
m
) '; done cene fomme [era
ti
( 1
+ In)~-~==a
( 1
+ m)q- I
X
(1
+
m )~ .
Or
eene [omme en moindre que
a
(
1
+
m
) ,-
1
+
a
(
1
+
m
) q
-1
X
'i-qui [eroit dile [uivam l'hypothéfe que
nous combanons .
D e meme s'il ea quenion de ce qui en da au bou!
du tlers de la
'1'
année , on tfOUvera que la [omme
eh erchée en la premicre de deux moyennes proportion-
nel les géomélriques entre
a
(
I
+
m
) q-
1
&
a
(
1
+.
m
) "
c'en· a-dire
a
(
1
+
In)
q-
~;
&
en général
k
étant un nombre quclconque d'années emier, rompu,
ou en parrie emier,
&
en Pl rtie fraétionnaire , on aura
" ( 1
+
m
) "- pour la [omme dile
11
la fin de ce nom–
bre d'années.
D ans l'hYPOlhe[e que
nou~
combanons , on [llppo(e que
I'intér~t
el! reg1rdé comme compo(i! d'llne année
a
I'au–
tre, mais que dans le cr,urs d'une [eule
&
unique année
iJ
ell traité commc intéret fimple; fuppolition bilarre, qu
i
ne peUl clre admire que dans le
C.1S
d'une convenrion
formelle entre le créancier
&
le débiteur . En etfee, dans
cene (uppol1tion le débiteur payeroit plu. qu'il ne doit
rée\lemenr payer , comme nous I'avons vu tout-a-l 'heu–
re . Nous lrair<fons cene matiere plus a f0nd
/¡
I'arei–
fle
1
N T E' R
íl
T,
&
nous efpérons la memc dans tou t
ron jour,
&
Y
joindre plulieurs anlres
rem~rques
cu–
rieufes. Mais comme l'obrervation précédenre peut ctre
utile,
&
alr.'L pen connue, nous avons cru dcvuir la
placer d'avance dans cet anicIe,
Soit done':' la portion d'année écoulée;
iI
en viii-
r
ble , par ce que nons venons de dire, que le créaneier
doit au bout de
cette
portion la Comme tOlale
a
(
1
+
m)
~-
1
+
~
;
&
pour avoir les
arrlragN ,
iI
faudra relran–
cher <le eette [omme ou le principal
a,
ou le principal
a
(1
+
m)
q-
1
ce qui dépend, comme nous I'avons
obfer vé, de la co nvention mutueIle du déb iteur
&
du
créander,
On peut propo(cr une autre que(lion dans le cas de
I'inréret limpIe. Dans ce
c~s
¡¡ y aceIte cOllvcntion,
du moins tacite, entre le créancier
&
le débi leur , que
le principal (eul, lOuché
p~r
le débiteur,
&
pr~lé
par
le créancler, produit chaqúe année
a m
d'intér~t,
&
que
l
'lntér~t ,
( non payé chaque année) en un argent mOr!,
ou un pr!ncipal qui ne produit
~oint d'~nt¿r~t
; ain
~
?ans
le cas ou certe convemion tnclte [erOlt fans rCnnétlOn,
la [omme (Otale due
3
la fin de la
q'
année (eroit ,.
+
a
""l ,
&
les
arrl rages
(eroient
a Y"'I..
M
ai~
Ii
la
conVelltlOIl entre le débiteur
&
le créancler étOlt , par
exemple, que le dé'bitcur
p~yh
to?S les cinq
~ns
I'in–
téret limpIe
$
a m
&
que le déblteur fU t qUll1ze nns
(ans payer, alors' la (oll' me
a
+
$"
In
dile
a
la fin
de
la cinquicme année, en
cegarMe
comme un nou-
veau