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LIE
done donnée une équatiol) indéterminée, dotJt te
¡;,,.
:Coir du fecond dcgré,
&
qu'on demande de décrire la
feélion coniquc qui en ell le
lie11;
il faodra commen–
cer par con!'id.!rer une parabolc, une ellipie
&
une hy–
perbole
quelcon<¡u~
en
la rapporram
a
des droitcs ou
des coordonnées, telles que l'éqo:l.tion quien ex primera
h
nature, fe trouve étre par la la plus compotée
&
la plus
générale qu'il foir poffible. Ces équatioos les plus gé–
nérales,
OU
ces formules des rrois
feét:ionS COf)iqueS
&
de leurs fubdivi!ioos étanJ décm¡vertes,
&
en
~yal)t
exa–
:miné les
caraa~res
, il Cera aifé <le conclure
a
laqaclle
d'el)tr'elles fe r::Jpportera l'dqoation
propon~·e,
c'ell-a-díre
qyelle feélion cooique cette mi!me équation aura po<1r
/ieu.
!1
ne s'a.gira
plus aprCs cela que de cornparer tous
les termes de l'éq!latiol) propoféc avec ccu< de l'éqga–
ríon générale du
Jiu!,
auquel on aura
~r9uv~
que
ceue
~quation
fe rapporre, cela dérermlnera les coefficiens de
cette équariQn géoéra)e, ou
ce
quj e!t la me!me chofe,
les droites qui cj<.>ivcot étre données <le proporriol)
&
de
Jtrandeur pour décrire le
lieu;
&
ees coeffi.cieos ou ces
<!rojres étaot Ul)e fois <létermHlées on <lécrira facilement
le
¡;,",
par les moyens que les
~rait~s
des feélions co–
niques fournillent.
P;¡r exemple que
A P,
x,
P M,
y
foicnt deux drol–
tes inconoue•
&
v¡uiabl¡:s
(jjg.
34·);
&
que
m,
p,
r,
f,
íbiem <les droites donnée•; fur la ltgne
A P,
preQez la
portíqo
A B
=
m,
&
tirez
BE
= ,. ,
A D
=
r;
&
pa·r le
point
A,
rirez
A¡;:,=
•,
&
par te pqint
D,
la ligne in–
déénie
DG
parallele
a
AE;
fur
DG,
prenez
De=s,
&
pren<¡nt
e
G
pqur diametre, les ordonnées paralleles
ii
P M,
&
la ligne
e
11--:-
p
pour paramerrc, décrivez
la parabole
e
1'4,
&
elle ferq. le
¡;,,.
de
la
formule gé–
p~rale
futvante.
Y Y
-
2
,,.
X
Y
+ : :
X X
=
Q.
+~.X
..
_f_!
X
..
+
rr
+p.s.
par fi d'uq de fes points quelconques
M,
on tire t'ordon.
née
P M,
les triangles
A B E, A P
'F,
ferom fem btables
15!:
par conféquent
'
A B (m): AE(•).; AF(x) : AFou
De;=~&
A
n
(~);
!3
E
(n)
::A
P
(x):
P
F=
~:
,
&
par confé–
<JUent
G
Mou
PM-PF- FG
-Y-~
-r,&eG
ou
D G- D
e=
~
-
S.
Mais par
la
nature <le 1 pa-
J
-
.
.
r~bole
GM
=e G
X
eH;
&
cette dern!ere équatfon
er
"Vteodra la formule générale elle-méme
fi on
y
fublli–
tue
a
la place des droites qui fonr empl:,yées
leurs va-
leurs
marqu~es
ci-detTus.
·
'
Cette équation e!t la plus
~énérale
qui puill'e appar–
teoir
ii
la parab'?le, puifqu'elle renferme
1°.
le qnarré
de chacuoe des mcoonues
x,
y;
:.
0 •
le pro<luit
x
y
de
l'une
p~r
l'autre;
3°.
les inconnnes
linéaJres:
x
y
&
un
terme tout con!tant. Uoe équation <ju fecond degré
0~
les
Índ~termÍltée~
X,
Y,
fc trOQVeOt melées, jle
fau~
rott conteqtr. un plus grau4 nombre de termes.
Par le pomr
ti
xe
/1,
tirez la droite lndéfi'!ie
A
Q,
(fig.
35"·)
par'!_llele
a
PM;
prenez
AB=m,
mez
BE
= "
p~rallele
a
A P,
&
par tes points <léterminés
A E,
la
~ro•.te
A E.=
•;
fur
A P,
prenet.
A D
=
r,
tirez
la
~rottc
tndéfinte
D G,
parallete
il
A E,
&
prene1.
h
por~
ttPn
De='.
Enén pret¡ant pour diametre
e G,
&
fup–
pofant
~es ordonnée~
paralleles
a
A P,
&
pour paramc–
tre la hgne
C:
H=.P,
<lécrivez une parabule
e M;
cene
parabolc ferott te
/reu
<le
cett~
fecon<!e équation Oti
for~
JDUie.
~..
.
..
"
X X
--;;y
X
+ ;;;;;
y
Y
= •
•
+p.s.
ftr
fi
d'u~
point quelconqQe .
M
on tire la droite
M
Q
parallele a
A P,
on aura
AB
(m) :
A E
(•)::
AQ
oq
:Pllf(y): A
Fou
DG
=
•:
&
AB
(m):
BE(")::
J
LIE
1'10
(y); QF=';:&
par conféqueotGIIIOilQ_M–
QF-FG=
x-
7!-
r;
&
eG
ou
D G-D e=
':.
-
s:
&
ainfi par la
proprié~é
<ls> )a parabote; you•
trouvcret. l!llCQre la feconde des équations généroles ou
des formules prc!cé<lentes;
&
vous vous y prendrc>. de
la
m~me
forre, pour trouver tes équ;urons go:!néntles ou
les formules des aurres feélions coniques.
Si on demande mait}tenam eje déqire la parabole qai
doit erre le
¡¡.,_
de l'équatÍOQ ÍUÍYl¡Ote, que OOUS fup–
pof~rons
<lonnée
y y
-
2
a
y-
b
x
+
~
$
=
o
,
com–
me
y y
[e
trouvc ici
fans fraélion, de meme que <!,ns
notre premiere
formule, il
.vaudra
tr.ieux comparer la
P.ropofée
:¡vcc
cette premiere formol<'
q~J'avec
l'autre ;
&
d'abord P!lif.¡ue le reaal)gle
X
y
ne fe troltVe polnt
dans la proppfée, ou qu'il peut
v·
~tre
cenfé multi¡:.lié
par
o,
nous eo
con~lurons
que la frl!-élion •...
~
dolt
~tre
=
o,
lY
p1r conféquent auffi qu'on
doir
avoir
,
,
ou
BE;
=o;
de f<>rte que les poinrs
B, E,
doivent l!tre
co-incidens, ou que la droite
A E
doit tomber for
/1
B
&
luí
~tre
égale, c'eR-i·dire que
m=~:
<létrt)iíant done
pans la forl]lule tous les termes atfeélés de ;
ou
dt:: " ,
&
ÍubQitUant par·tOUt
m
a
la place de
e,
elle .(e chao•
gera
e
o
y y
-
2
r
y
-
p
x
+
r r
+
p
s=o,
&
cumparant
encore les re;-mcs correfpond ns-
:>.
r
y,&.-
:~.
..y,–
px&-h.'('_,cnfin
rr+p.s,&ce,
nousauronsr=a,.
J>=b,
&
en Cubllituant ces
val~urs
dans la derniere équa-
J.ion de ,:omp.araifon,
aa+b~ =e~,
ou Pien
s=
•e-;
~
qui par conféqueot Cera \lOe quantité négative,
fi
a
etl
plus gra!Jd que
e,
comme nous le fuppofons ici
ll ne
ferviroit de riel) <le comporer les deux premiers tenl\e s,
p;¡rce q!l'éta!Jt les mémes des deux ci'>tés, favoir
y y,
cettc comparaifon ne pourroit rien faire découvrir
.
Or
Jes valeurs de
m,,, r,
p,
s,
ayant
écl!
~infi
trou–
vées, on conOrutra f:¡cilemcnt le
li~u c:h~rché
par tes
moyens qui nous pnt (ervi
a
la conllrttaion de la for–
mule
&
d" )a maniere fuivante , comme
B E
(
n)
elt
=•
(fig.
36.)
!>e
flue les Eoints
B, E,
coinci<lent, ou qu"
4
E
tombe fur
A
p
.l..
il
faodra par cette raifon tirer <!u
point
A
la droite
A
u
(r)
paro.llele
;l
P M
&
=,.,
&
la
droire
D G
parallele
3
4
P. ••
dam )aquelle VO\Ii marque-
re?. 1:¡ droire
De
(s)
=
~·
6
~, laqu~lle
doit
~tre
prife
an-delil de !'origine, <!sns un fens oppofé
il
D G
ou
A P,
paree qul! la f'raélion
~T~
ell l)égªrive par la Cuppofi·
tioo. Enfu!te regardant
De
comme diametre, prenant
des or<lonnées parallele> 3
P M,
&
la droite
e
H
(
p)
=
b
pour paramctre; vous décrirc:7. une parabolc, Je dis
qu'elle fera le
lieu
de; l'éqttati<>n doonée. "" il el} en ef–
fcr aifé de Je prouver. Si c'e-nr été le quarré
x x
qui fe
fOt trouvé tout-d'un-coup fans fraélioo dans la propo–
íée,
il
auroit été alors plus naturel de fe fervir de la fe–
tJOnde formule. On voir au relle.. qll'au m'lyen d·une
divifion forr
t:~cile,
on peut délivror des fraélions tel des
deux
'Jllarrés
qg'nn vuudr:l; &
il
faudroit com1nencer
par cette divifion, fi l'on TOyoit qt•e la comparaifoll <les
termes en dllr <levenir plus limpie.
Voitii une idée de la mérhode <le conRruire les
Jü,.x
des équations lorfqu'ils dnlvent etre des feéltons coni–
que•, ou ce qui eil
1:¡
méme chofe, torfque les équa·
tions ne paiThm pas te
[ce
>od aegré : cu on <!oit fentir
que )es
lieNx
i
l'elllpf~ ~
il
t'hyperbote
1
doivent fe dé–
termmer par une métho<le re
mblable'
Mais une pareille équation ét-.nt donnée , au liea de
de¡n~ndcr
cotnme tOU[-3-1'heure, d'en conRruire le
Jit111,
fi on fe comente de demander quelle doit étre l'efpeee
de la fea ion con!que qui en e(t Je
/ieu,
fi c'e(t \llle pa–
raboJe, une ellipfe ou méme un cercle , un hyperbole
équilaterl', ou Qon équ!latere,
il
faudroit pour en juger
commeocer par faire patfer d'un
m~me
c6té tous les
termes <le l'équation, de. fa'i'on qu'it. rectar zero de l'ao·
!re c4té;
&
cela étant fatt, ti pourrott fe préfenter deuJ;
cas différens .
Premier cas; fuppofons que te reélangle
x
y
,
ne fe
trouve point
dans
l'~quation;
alot$
l 0 •
s'il n'y a qu'un
dgs
d~ux
quarrés
y y,
ou
x x,
te
¡;.
11
fera nne parabole.
1.
•
St les deux quarrés
•'y
tronvent ront-ii · Ja .fois
&
avec
le m\?me figne,
le··¡¡,,.
Cera une ellipfe
1
&
en particulier
un cercJe,
lor[q
ue ni Pun ni
l'autre
des
deux quarrés.
n'aura
de
coeffident, ou (
fi
on n'avoit poiut
réduit
J'un
d'eux 8 n'en point avoir), Jorfqu'ils nuront les
m~
mes
coefficieos,
&
que de plus l'aoglc <la coordonnées fer•
droit,