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GEO

des coacbés par le cnlcul

imégral : par conféquent ce

uniré conriendra les regles du calcul différenriel

in–

régral , au- moins celles qui peuvent érre uriles pour a–

bréger un rrairé des íeaions coniques . Quelques géo–

merres íe récrieronr ptot ·erre ici íur l'emploi que naos

voulaos faire de ces calcu ls daos une mariere ou l'on

peur s'en palier ; rnais ·noos

les renvoyerons

ce que

nous avons dit íur ce Íojet

au mot

EL L

P sE,

pag.

431.

432.

du tome 1/.

Nuos

avons fai t voir par

des exemples cambien ces calculs íont commodes pour

abréger les démonflrarions

les íolurions,

pour ré–

daire

quelques lignes ce qoi autrernenr occupe1oir des

' 'olumcs . N uus avons d'ailleu rs dooné

mot

F–

F E'R E N T

la rné1aphylique tr es-li mpie

tri:s-lu–

rnineuíe des nouvea<Jx calcu1s;

qoaod on aura bien

expliqué ceue mécaphyfique, aiofi que celle de l'iofioi

géomécrique

(

voyeZ;

1 '

1) , on pourra fe

fervir

des termes

d'infiniment petit

d'infini,

pour abréger

les expreffions

les démonflrations.

rrairaot de l'applirarion de

Algebre aux courbes,

on ne les repréfenre

gu~re

que par l'équarion entre les

coordonnées paralleles; mais il efl encore d'aurres for–

mes, quoique moins Ulitées,

donner

leur équation.

On peut la íuppoíer , par exemple, en¡re les rayoos de

courbe qui partent d' un centre,

les abíciaes ou

les ordonnées correfpondante<; comme auffi entre ces

rayons,

la tangence, le linos ou la

(~cante

de l'ao–

gle qu'ils formetlt avec les abíci!fes ou les ordonnées;

oo en voit des exemples

mot

L L 1 P sE .

Tootes

ces éqoations daos

les courbes géomérriques fant

nies

algébriq ues; mais

il en efl quelquefois qui fe

préfentent ou qui peuveot fe préíen1er íous une

forme

ditférentielle; ce

íout ce!les, par exemple , dans leí–

que! les un des membrcs eil la difli!rentielle de

angle

formé par le rayan

l'abícitle,

l'aurre efl une difle–

reor ielle de quelque fonét ico de l'abíciffe ou do rayen,

rédua·ble

un are de cercle. Par exemple, fi j'avois cet-

-d.v

te équarion

¡/~

étant

angle entre le

rayan

l'abíd(fe,

le rayen ,

la valeur do ra–

yoo quand

=o, il efl évident que la eourbe efl géo·

J';:

mérrique. Car

efl

la différentielle d' un

:tng!e dont le COIÍnUS efi

(e tayoo

(

t•OJ.

O·

S);

done~

coGnus

;

or,

on nornme "

les abíci!fes

<>rdonnées reétangles , on aura

x x; x

+ y y

;

cofio us

C'efl pourquoi l'équatioo dilféreorielle

¡/,_M

.].J

d•

f~/::.=.===,

qui parolt oe pouvoir

~rre

intégrée

que par des ares de cercle, donnera J'éqoation en co–

ordonnées reétangles

,¡

u u

y y

-.¡

• • ...

Y 7

qui

efl l'équatian d'oo cerle doot les coordonoées oor leur

origine a la circonférence.

en efl de méme de plu–

fieurs autres cas femb lables.

Ces fortes d' équations méritent qu' on en fa (fe une

mentioo eipre!re dsus la

Glomltri<

tranícendante, d'au–

tant qu'elles font eres otiles daos la lhéoric des

t raj•–

floira

oo courbes décrites par des projeétiles ,

voyez

R A

1 RE ,

par conféqucnt daos la théorie

des orbit<S des planetes ,

voy.

L L 1 P sE,

E P LE R

(

/oi d<),

LA N E T E ,

R 8 1 TE •

1/oy<Z;

nu./fi

dAn¡

mém. dr

acadEmie deJ Scienca pour

an–

née

1710.

11n mimoire

M .

Bernoulli fur c:e dernier

fujet.

Les feaions coniques aehevées, on pa!fera aux cour–

b~s

d'un genre fupérieur ; on donoera d'abord la théo–

rre des points mulriples , des poinrs d' inBexion, des

points de

rebrool!emen t

de ferpentement .

1/oyez

O 1 N T M U L T 1 P L E ,

N F L E X 1

o·

N ,

E B R O O S·

M E N T,

E R pE

rE M E N r,

&e.

Ces 1héories

font foodées en partie fur le caleul algébt'ique fimple ,

en partíe

preíque en emier [or

le calcul différen–

tiel; ce n'efl pas que ce deroier calcul y íoit abfolu–

men: nécetfaire; mais , quoi qu' oo en puilfe dire ,

abrege

facilite extremement tome cette théorie. Oo

n'oubliera pas la théorie fi belle

fimple des déve–

loppéei

des caulliques •

Voye:r.

¡ •v

Lo P PE'E ,

GEO

559

CAUSTI~UE,

ÜSCUL A TEUR,

&c.

Nous

nli

pouv ons

nous oe faí lons qu'iodiquer ici ces dilférens

objets '· don t plolieurs ont Mjii éré traités

d~ns

l'Ency–

clopédte ,

le< aotres le íeroor

leur< artlcles parti–

culiers.

1/oy<z.

TANGEN TE,

1J\1V M,

&c. On

entrera enfuite daos le détail des courbes des ditférens

ordres, doot on donnera les clafles, les eípeces,

le¡

propriétés principales .

f/oyr2:.

O URDE .

égard

de la quadrature

de la r<étification de ces íortes de

courbes,

meme de la reétifi calioo des feétions co–

niqnes , oo In remettra

Gicmltrie Jttblime.

i\u refl e , en traitant les courbes géométriques , on

pourra s' étendre un peu plus particuli.rement fur

les

plus eonnues , C!lmme le

folium

de Defcartes, la

con–

<hoide ,

cif!o•d•,

&c.

Voyo:. ca moti.

Les coorbcs méchaniques íuivroot les géométriques.

O o traitera d' abord des courbes

ponentielles , qui

íont comrne une eípece moyenne entre les courbes géo–

mérciques

les mérhaniq ues .

1/oya:.

N E N–

1EL.

Enfui1e, apri:s a'•oir donné les príncipes géné–

raux de

la connruétiun des courbes rnéchaniques, au

rnoyen de leur éqoa tion différentielle

de la quadra·

tu re des coorbes (

'VO)'<Z

CON

S T R U C 1' 1 O N),

On en·

trera daos le détail des principales,

des plus connues,

de la

!pira/e,

de la

r¡uadratrice,

de la

C)•cloid<,

de la

trocho1de,

&c.

1/oyez

e<r

mot1.

Telles íont a-peu-pri:s les mntieres que doit conle–

nir un uaité de

Gtomltrie

r.ranfcendante; oous ne

f3i~

fons que les indiquer,

que marquer , pour ainri dire,

les rnaífes principales . On géornerre inrelligcnt íaura

trouver de lui- méme,

l'aide des différens articlcs

de ce diaionnaire, les parties qui doivent compofer

chaconé de ces rna!fes .

Giomltrie fublim<.

Apres le plan que nous avons

tracé pour la

Giomltri<

traoícendaote, on voir que le

calco! dilférentiel

fes uíages y íont preíqu'épuifés;

ne refle plus

Glomltrie Jt•blime

que

le calcul

io tégral,

íon application

la quadratore

la rc–

étificslion des courbes. Ce caleul ftra done la matie–

re principale

preíque unique ?e la

G_lométri<[rtbli–

'"'. Sur la maniere dont oo dott le trauer,

voyez

N–

Tt(GRAL.

N ous terminerons cet arlicle par quelques réficxions

générales. O

,.Q ""

mot

P P L

A T

des ob–

ferva rions íur l"u íage de l'analyíe

de la

íynthcfe en

Giomltri<.

On noos a fair fur cet anicle quelques que–

flions qui donneront lieu aux remarques/ fuivantes.

0 •

L e calcul algébriqoe ne doit point étre appliqué

aux propolitions de la

giomitrie

élérntntaire, par la

raiíon qu"il oe faot employer ce calco! que p<>ur

fa–

ciliter les démonrtrations,

qu'il

e paroi1 pas y avoir

daos

gEomitri<

élémentaire aocune démonllrarion

qui puillc

récllemen t Erre

facilir~e

par ce calco! •

Nous excep1ons néanrnoins de cene regle la íolotioo

des problemes du íecond degré par le moyeo de la li–

gne droite

do cerclc ( íuppofé qu'on veuille regar–

der ces probli:mcs comme appartenant

giométrie

élérnenraire,

non comme le paffage

giomttri<>

élémenraire

la tranfcendame); car le calco! algébri–

que fimplifie extremernenr la folution des quert ions

ce genre,

il abrege meme les démonf!rations. Pour

s'en convaincre, il fuffira de jeuer les

yeu~

íur quel–

ques-uns des prob lemes du íecond degré qu• fonr ré–

folus daos

l'applicatio" de

11/gebn

la Géomltrie

Guiínée. Apres avoir mis un probleme en équa–

tion, l'ao1eor tire de cerrc équation la conflruét·oo né–

cellaire pour ía1isfaire

l'équatioo crouvée;

eoíoite

il démootre fynrhétiquement

la maniere des an–

ciens, que la connruétion qu'il a ernplayée réfou t en

etfet le probleme . Or la plCtparr de ces démonllrations

íynthétiques font aflez compliquées

fort inutiles ,

ce n'efl pour exercet l'cíprit; car

íuffit de faire •.oir

que la conflruétion larisfait

In íolucion de l'équauon

fioale , pour prouver- qu'elle donne la lolotion do pro–

bleme.

2°.

Nous croyons qu'il eil ridicule de démontrer par

la fyorheíe ce qui peut erre trairé plus fimpl•!nent

plo< facilern ent par !"analyfe, c0mme les propnétés des

courbes

leurs tangentes, leurs points d•infiexioo , leurs

aíymp1o'res

leurs braoches, leur reétification ,

leur

quadratore .' L es propriétés de la ípirale que

les plus

grands mathémaliciens ont eu lan t de peine

fui>rc

daos Archimede, peuvent aUJOurd·hui fe Mmonrrer d'un

trait de plume. N 'y a-t-il done pas en

Géométrie

f-.

fez de chafes

apprendre, af1ez de difficulrés

vain–

cre,

affez

de décooverteS

faire, poor ne pas ofer

lOO–

teS les forces de fon efprit fue les connoilfaaces qu'on

peut