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e(l un are de cercle décrir du fommet, cela fignifi e feu–
lement que li deux angles font égaux , les ares décrirs
de leur fommet & du meme rayon feroot égaux : de
méme, quaud on dit qu'un angle ell: do uble d'un aa–
ere, cela figoifi e fculement que !'are décrit du fornmet
de l'un efi double de !'are décrit du fommer de l'au–
tre: car l'angle n'étant, foivaot fa définition, qu' une
ouvermre limpie , & non pas une éter¡due , 01 ue peut
pns dire proprement & abfiraétion faite de route coufi–
dératiou d'érendue, qu'u11 angle foit doubie d'un :l.Utre;
paree que cela ne fe peut dire que d'une quantité com–
parée a une autre quantiré homogene ' & que l'ouver–
ture de deux ligncs o'ayant poinr de parties , n'en pas
propremen~ une quantité. Q uand on dit de rneme qu'
un angle a la circonfércnce du cercle a pour mefure
la moirié de l'arc compris entre fes eOtés , cela figni–
fie que cet angle en égal a un anglc donr le fommet
teroir au centre, & qui renfermeroit la moitié de cet are;
& ainfi du rene. '
Ces petitcs obíervations nc feront pas "inu tiles pour
donner aux commen~ans des notions dininétes for la
mefure des angles, & pour leur faire fentir, ainCi que
IIOUS l'avons dit au mot E'L E'M E N S 1 que! en levé–
rltable feos qu'on ddit donner a certaines fa~ons de par–
ler abrc!gées dont on fe fert dans ehaque fcience, &
que les inventeurs ont imaginées pour évitcr les eir–
conlocu tions.
La propolition t¡es-fimple fur la mefure des angles
par un are décrit de leur fommet, étant joinre au prin–
cipe de la fuperpofition, peor fervir, fi je ne me trom–
pe, a démomrer toutes les propoGtions qui out rapport
a la Géomltrie ~lémentaire des ligoes. Le príncipe de
la fuperpolition n'en poinr, comme le difent quelques
géometres modero es, un príncipe méchanique & grof–
lier; c'efi un príncipe rígoureux, clair , fimple, & tiré
de la vraie nature de la chofe. Quand on veur démon–
trer , par e.xemple, que de uK rriangles qui ont des ba–
fes égales & les angles a la bafe égaux ' font égaux
en tour , o n employe le principe de fuperpolition avec
Cueces: de l'égalité foppofée des ba(es & des aogles,
o n conclut avec rai(on que ces ba(es & oes angles ap–
pliqués l~s uns fur les autres, coYncideront ; en Cui~e de
la co"lhcidenoe de ces parties , o n conclut évidemment
& par une conféquence nécelfaire, la co"r ncidence du
reGe, & par confóquent l'égalité & la fi militude par–
faite des deoK triangles : aiuli le príncipe de la fu per–
pofition ne con!Hie pas i appliquer groffi~rement une fi–
gure fur une autre, pour en conclure l'égalité des dem<,
comme uo ouvrier applique fon pié fur une longueur
pour la mefurer: mais ce príncipe conC.(\e a. imaginer
une figure rranfportée fur une autre , & a conclure ,
} 0 , de l'égalité ruppofée des parties données' la co–
\"ncidence de ces parties; 2°. de cene co"incidencc, la
coYncideoce du re(\e, & par conféquent l'égaliré rora–
le & la íimilitude parfaire des deux figures. Ot1 pcu t ,
par la meme raifon' employer le priucipe de la ruper–
pofition a prouver que deux figures ne fon t pas les mé–
mes . A u rene, par fuperpotition j'entens id non-!eu–
Jement l'application d' une figure fur une ,amrc, mais
celle d'utle partie, d'uoe figure fur une autre partie de
la meme figure ' a de!Tein de les comparer entre elles;
& cette derniere maniere d'~m ploycr le príncipe de la
fuperpofidon, en d'uo ufage infini & tres-limpie dans
les éJémens de Géométrie. f/ oyez C O N G R U E N C E .
Apres avoir traité de la glométrie des lignes con(idé–
rées par rapport a lcur pofiuon' ¡e erais qu'on doit rrai–
ter de la glomltrie des lignes confidérées quanr au rap–
port qu'eltes peuvent avoir enrr'clles. Elle en toute fon–
dée fur ce théorcme qu'une Jigne parallelc a la bafe d'un
triangle en coupe les cOrés proportionnellement . Pour
cela il fuffit de montrer que fi cene parallele palfe par
le poiut .de milieu d'un des c6tés, elle palTera par le
polnr de milieu de l'aurre; car on fera voir enCuite aifé–
ment que les parties coupées font to(ljours proportion–
ndles , quand la partie eoupée fera commenfurable a
la ligne emjere; & quand elle ne le fera pas , on dé–
montrera la meme propofition par la réduétiou a l'ab:
fmde' en faifant voir que le rapport ne peut erre 111
plus grand , ni plus petit , & qu'ainfi il en égal. Nous
difom par la rUr~tflion J /' ab[ttrde car on ne peut dé–
monrrer que de cen e maniere, & non d'une maniere ?i–
reél:e, In plfipart des propofitions qui regardent les . tn–
commenrurables. L 'idée de I'infini entre au-moins lm–
pliritcment r\ans la notion de ces Cortes de ou3ntirés;
& comme nous n'avons qu'uoe idée négarive de l'infi–
ni, c'en-a-dire que nous ne le concevons , que par la
négation du tini, on ne peut démontrer. direétemeot
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& a priori tout ce qui concerne l'iuñn i mathématique .
1/oy. DE'Mo N STRATION, INFll'l, & I NC OM–
M E N s u RA B LE . Nous ne faifons qu'iodiquer ce gen–
re; de démonfi ration; mais il y eo a taut d' ex emples
dans les ouvrages de Giom€trie, que les mathémati–
cjens tant-foit-pan exercés nous comprendront aifément.
Pour éviter la diffioulté des incommenfurables , on dé–
moorre ordinairement la prupol\tion don r il s'agit , ~n
fuppofant que d~ux rriangles de m lhne haureor !unr en–
tr'cux comme leurs bafes . 1\t.lais cette dornicre prc po-
6 rion elle-m~me ' pour etre démomrée en rigueur. fllp–
pofe qu'on ait parlé des incommenfilrables . D 'aillcurs
elle fuppofe la mefure des lriangles , & par con féquent
la g iométrie des furfaces , qui efi d'un ordre íilpérieor
a la glométrie des lignes . C 'en done s'écarter de la
généalogie naturelle des idées , que de s'y preodre ainCi .
O n dira peut-étre que la confidératioo des incommen–
furables reudra la glomltrie élémemaire plus difficilc ,
cela fe peut ; mais ils entrenr néceiJa~remen t dans cette
géom<trie; il faut y venir t6t ou tard, & le pl fitOr efi
le. mieux , d'autanr plus que la théorie des proportiOilS
des lignes amene namrellement cetre confidération: T oo–
te la théorie des incommenfurables ne demande qu'u–
ne fe ule propofi tion, qui eoncerne les limites des quan–
IÍtés; fa voir que les grandeurs qui font la li mite d'une
m éme grandeur, ou les grandeurs qoi out une méme
limire , (ont égales entr' elles ( voye~ L 1 ~11 T E , Ex–
HA U S T 1 o N , & D t F FE R E >l T t E L ) ; príncipe
d'un ufáge univerfel en Glométrie, & qui par coufé–
queo t doir entrer dans les élémens de cene fcience , &
s'y trouver prcfque des l'entrée.
L a Géomitrie des furfaces fe réduit a leur mefure ;
& ceue mefure en fondée rur un feul príncipe, cel ui
de la mefure du parallélogramme reétangle qu'on fnit
etre le produit de fa hautéur par fa bafe. Nous avons
expliqué a la fin du mot E QuA T 1 o N ce que cela li–
gnitie , & la maniere dont ceue propofirion doir ctre é–
noncée daos des élémens, pour ne lai!Ter dans l'efprit
aucun noage . D e la mefure du parallélogramme reétan–
gle fe tire ~elle ~es autres ~a.rallélogrammes, des
triangles qut en lont la momé , . comme le pr de
la fuperpofition peut le faire voir ; enfin celle de too–
tes les figures planes reétilignes' qui Jpeuvent erre regar–
dées comme com pofées de trian&lcs . A l'égard de la
mefure du cercle, le príncipe imites o u d' exhau–
!lion for vira a la trouver . ll pour cela de fai re
voir que le produit de la cir nve pa~ la moitié
du rayan el1 la limite de !'aire des polygones inícrits
& circonfcríts; & comme !'aire du eercle e(\ auffi é–
videmmenr cette limite, il s'eniuir que. !'aire do c~r­
cle efi le produi1 de la circonférence par la moirié du
rayon, ou du rayan par la moirié de la cirdonférence .
VoJe>;; C 1! ll CL E & Q U A D R A T U R E •
On peut rapprocher la théorie de la proportion des
lignes de la théorie des furfaces par Ge théorhne, que
quand quatre 'lig9es font proporrionnelles, le produir des
extremes en égal a,u produit des moyennes; théoreme
qu'on peut démontrer par la Géométrie fam aucun cal–
cul algébrique ; car le calcul algébrique nc facilite en
ríen les élémens de GEoméerie , & par con íéqucm ne
doit pas y enrrer. Eu rapprochant la théorie des pro–
portions de celle des furfaces , on peut faire \'OÍr com–
ment ces deux théories prifes féparément s'accordent a
démontrcr différen tes propolitions , par cxemple, celle
du quarré de l'hypotbénufe. Ce n•en pas une chofe auffi
inutile qu'on pourroit le penfer, de démonrrer ainli de
différ)!ntes manieres dans des élémens de Géométrie cer–
raines propofitions principales; par ce moyen l'<lprit s'é–
lend & fe fortifie en voyanr de quelle maniere on fait
rentrer les vérités les unes dans les autres .
Dans la glométrie des folides on fuivra la m8me mé–
thode que dans Celle des forfaces' on réduira !OUt a
la mefu re du parallelépipede reétangle; la Ceule. ditlicul–
té fe réduira a proover qu'une pyr>mide > d'un
parallelépipede de m~me baie & de méme . Pnur
cela on fera voir d'abord ce qui efi rr par la
mérhode d'cKhaull:ioo, qu~ les pyramides. de m~me .ba–
fe & de meme hauteur ro n! égales; tnfulle' ce qut fe
peut faire de difleremes manieres, comme on le peut
voir daos divers élémens ,de Géomltrie , on prouvera
qo'une certaine pyranoide déterminé~ eíl le tiers d' Ull
prifme de meme bale & de meme hameur; & il ne
rencra plus de difficnlré. Par ce moyen on aura la me–
fure de tous les folides terminés par des figures planes-
11 ne refiera plus qu'a appliquer a la furface & a la fo–
lidité de la fphere les propofitioos trouvées fur la, me–
fore des furfaces & des folides; c'en dequoi on vien-
dra