1000000032

ASY

fuit que

augmentalH

l'in6ni,

diminu~

3Ulft

¡'in6ni : mals la dillance des paralleles

Jx,

cette

courbe fera toúJours au moins de

np,

op, &c.

par conCéquent ne fera

p.ts

plus perire qu'aucune gran–

deur donnée .

Voyez

o LE.

Le mor

afymptote

compofé de

privatif, de

v."

.Ve<,

& de ....,,,.1,,,

j c tombe,

c'eCl-a-dire qui n'eCl pas

eo-incidenr, ou qui ne renconrre poinr. Quelques au–

teurs larins ont nommé les

afymptotcs, line",

;,.taéf~.

Certains géomerres diClinguent plufieurs efpeces d'a–

{ymptotes;

en a, G:loo ces auteurs, de

dr,;tes,

&ourb<s,

&c. lls dilhibuent les courbes en

,oncave!, con–

'tIexcs,

&c.

ils propofen! un il)Clrumenr pour les tra–

eer toures: le mot d'

afymptote

tout court ne défigne

qu'une

a!ylnp,ot.

droire :

L'afylnptotc

fe définit encore ptus exaétemem une

ti–

gne droite, qui éranr indéfinimcnr prolollg¿e, s'appro–

che continuellemenr d'UllC courbe ou

d',me portion de

t:01trbe

auffi prolongée indéfinimem, de maniere que fa

dirlance .¡\ cene courbe ou portion de courbe ne devient

jamais zéro abColu, mais peut roujours etre trouvée plus

perite qu'aucune grandeur donnée.

Je dis ,

l'.

d'une courbe ou .d'une partion de courbe,

afin que la d66nirion convienno, ram aux courbes fer–

penranres qu'aux aurres .

Car la lignc

(figure

~o.

3. )

ne peur erre

confidérée comme

I'afymptotc

de la courbc. ferpeman–

" o

r s,

que quand cette courbe a pns un cours

réglé relativemeot

elle, c'eCl·a-dire un cours par le–

quel elle a été roujours en s'en approchaar.

Je dis,

2'.

que la dil1ance de

l'afymptot.

a la cour–

be peur tolljours erre rrouvée moindre qu'aucune gran–

deur donnée; car fans celte condirion, la définition con–

viendroit

I'afj'mplote

& a Ces pualleles. Or une dé–

tinirion oc doir convenir qu'ii la choCe définie.

On dit quelquefois que deux courbes Com

afymptotu

J'une

I'autre, lorCqu'indéfiniment prolongées elles vont

.:n s'approcham continnellement, Cans pouvoir ja.mais Ce

rencomrer. Ain fi deux paraboles de meme paramerre,

<tui

~m p~ur

axe une méme ligne droite , font

afympto–

res

I une a I'autre .

Entre. les

cou~bcs

du Cecond degré, c'eíl-o-dire

'e.otr.~

Jes feétloos con.ques,

n'y

que l'hyperbole qUI aJt

des

afympeotes.

Toutes les courbes du troirieme ordre onr toujours

quelques branches in6nies, mais ces branches in6nies

o'om pas tOÍlJours des

tlfymptoter;

rémoins

les

parabo–

ks cubiques, & ceHes que M . Newron a nomm6es

paraboles divergente! du troifieme ordre.

Quant

~ux

courbes du quatrjeme, il

en a une in6niré, qui noo–

feulement n'out pas quatre

afymptote!,

mais qui n'en

ont point du tour, & qui n' onr

pa~

méme lIe bran–

ches infinies, comme l'ellipCe de M , Caffini.V. C o

R–

BE, BRANCHE, ELLIPSE,&C.

La conchoYde, la cjlfoYde, & la logarithmique, qu'

on ne mer poillr au nombre des courbes géométriques,

On!

chacune une

afymptote,. Voyez

C o

U R

BE.

afymptote

de la coocho"'de eCl rrcs-propre pour don–

Der des norions claires de la nature des

afymptoteJ

général. Soit

( Planche de l'Analyfe, figure

l.)

M M

A M

une porrion de concho"lde,

le poIe de certe

courbe , &

B R

une ligne droire uu-dela de laquelle les

parries

Q.1W, EA, QM,

&c. des droires tirées du po–

COut roures 'égates .enrr'elles . Cela pofé , la droj–

Cera

I'afymp'tot.

de la courbe. Car la perpen–

diculaire

étant 'plus courre que

MO,

M.R

plus

courre que

Q.,

&c. il s'enfuir que la droite

B O

en s'approchant continueUemem de la courbe

M M A M;

de Corre que la diClance

M R

va toujours en diminuant,

peUt erre auffi petite qu'on voudra, Cans cependanr

ctre jamais abColumeot nulle.

Voy.

I SI

B 1

LIT E' ,

]NFINI, &c.

Voyez

a'tjJi

CO.NCHOtDE.

On trace de la maniere Cuivante les

afymptot(.s

l'hyp.erbole. Soir

(Planche de!

fea.

coni'l' fig.

],O. )

u–

ne droire

rirée par le

Commet A

de I'hyperbole,

parallele aux ordonnées

& égale

l',xe conju–

gué

d.;

en forre que la partie

A E

roit ,6&ale a la moi–

tié de cet axe, & I'aurre parrie

D.A

égale a l'autre moj–

tié·. Les deux lignes tirées du een tre

de I'hyperbole

par les poims

favoir

Ceroru

les

afymptotes

de cetre courbe.

réful re de tout ce que nous avons dit juCqu'ici,

qu'nne

courb~

peut avoir dal1s cerrains cas pour

afy,m–

ptote

une dr01re , & dans d'aurres cas une courbe. Tou–

tes les courbes qui om des branches infinies ont roÍl–

jo~rs

I'une ou l'autre de ces

afylnptotu,

&' quelque–

fOls toures le. deux;

I'afymptote.

el1 droite, quand la

Tome

ASY

brr,nche int!nie eCl hyperbolique ;

I'afymptote

en courbe,

lorfque la branche infinie eH parabol ique,

alors l'a–

fymptote

courbe eCl une parabole d'nn degré plus ou

m0111S élevé. Ainli la théorie des

afymptotu

des cour–

bes dépend de eelIe de leurs branches infinies .

¡laye;;,

BRASCHE.

Une courbe géométrique ne peur avoir plus

d'afym–

ptot.s

droites qu'il n'y a d'unirés dans I'expofant de fOil

ordre.

Voyez

Srirling,

EnZlm. lin.

ord. prop . vj.

coro

I'lntrodu¿¡ion

/'analyfe des lignes courb<s ,

par

M .

Cramer,

page

344.

arto

147.

Ce dernier ouvrage

conriem une exceIlente théorie des

afymptous

des cour–

bes géomérriqucs & de leurs branches,

chapo v;ij.

Si l'hyperbale

G M R ,fig.

12.

eCl une des courbes

dont la nature exprimée par I'équarion aux

afymptote~

foit renfermée dans l'équarion générale

x'"

y"';"

a..... ·;

tirez la droite

P M,

par-tout oa vous voudrez , paral–

lele a l'

afymptote

achcve7,

parallélogramme

Ce parallélogramme fera

I'efpace hyperboli–

que

P MG B,

terminé par

ligne

P M,

par I'hyper–

bole indétinimeñr continuée vers

& par la partie

P B

I'afymptot.

indé6niment prolongée du meme cÓté,

cOtume

m-n

eCl a

Ainli 10rCqlle

Cera plus grand

que

lO-,

l'eCpace nyperbolique Cera quarrable. Si

comme dans l'hyperbole ordinaire, le paraIlélogramme

Cera

l'cfpace hyperb.olique comme l.éro eCl

c'eCl·a-dire que cer efpace fera infioi relativemenr au

parallélogrnmme,

par conCé'luent non quarrable. En–

fin fi

eCl moindre que", le parallélogramme Cera

I'e(pace hyperbolique comme un nombre négarif:l un

nombre pofirif, I'efpace

P M G B

Cera in6ni,

l'eCpa–

fera quarrable .

¡loyez

la fin du cinquie–

me livre

des f.(1ions con;'fues

de M . le marquis de

I'HÓpiral.

Vay.

""/li

un mlmoire de

Varignon im–

primé en 170í , parmi ceux de l'académie royale des

Sciences,

qui a pour tirre

R I{I.xiol1J

frtr

les efpaces

plus '1"'ixzfinis de

M. Wallis . Ce dernier géomerre pré–

tendoir que l'eCpace

111

P G

éram au parall¿logram–

comme un nombre politif

un nombre n':garif,

I'efpace

JWP GB

é\oit plus qu'infini. M . Varignon cel,–

fure cerre expreffion, qni n'eCl pas Cans doute rrop

exa–

éte. Ce qu'on peut aITllrer

~vec cer~irude,

c'eCl que l'cC–

pace

PM G

efl un eCpace plus grand qu'aucun eCpa–

ce fini,

par conféque¡jt qu'il eCl infini .

Pour le prouver,

pour

rendr~

la démonClrarion

p.lus limpie, faiCons

nous aurons I'équario\l

x" y.

- ;;.

(Voyez

X P O S A N T ) •

Done

éléq¡~n\ d~

l'aire

P iYIGB

dx,

--;.+

dOllt ¡'inrégrale

(vo,yn

11I

T E'

G R AL)

eCl--=-–

-';+

pour comp\éter

o lorfque

complete

en -

cette inté&rale ,

faut

qu'~lle

Coit

o ; d'ou

s'enfuit que

1'1Qtégra~e

-'[?

o •

Done,

I'~

< ""'

on a

: égal

une

qualltité

pofiti.,

-;-

ve. Ain!i

l'intégral~

fe réduit

___ qui répreCente

-;;

I'efpace

P M;

d.'ou. I'on voit

qu~

cet eCpace eCl

ti–

ni rant que

eCl tini, & que quand

devient infini,

l'eCpace devient infini auffi . Donc I'efpace total renfer–

mé par la courbe

Ces deux

afymptotes ,

eCl infini; &

comme l'efpace

~cl

tini, il s'enfuit que I'ef–

pace reClanr

P MG B

éCl inlini.

1\'],

a que

I'hyp~rbole ordinair~

oU. les efpaces

P M GB, E

P M,

foiem rous deux in6nis; dans rou–

tes les aurres hyperboles I'un des efpaces eCl intini,

l'autre fini; l'eCplce infini eCl

PM G B

daos le c.s de

n ,

& dans le ca. de

:;>

c'eCl

Mai~

il faut ob(erver de plus que dans le cas <le

I'ef–

pace in6ni

MG B

eCl plus gran<l en quelque manie–

qu~

celui de l'hyperbole ordinaire, quoique l'un

/lr;

I'aurre eCraces foienr rous deux in6nis; c'eCl-U fans

d.ou–

te ce qui a donné lIeu au terme

plt/S '1u'infini

de M ,

Wallis . Pour éclaircir cerre queflion, fuppoCons

.{lO

P M

c'!c

jmaginous par le poim,

un,e

Aaaaa

ay-