1000000032

ARI

a I'_urtsnt bien de I'apparehee 'Iu'il5 avoient

quelque moyen fem blable pour réfoudre au moillS les

queRions numériques; par

e~emple,

les queltions qui

ont été appel1ées

'{,,,jIion; de Diophante. Voyo:,

.P R A N

TE.

Voyez a".J1i

P P L I C A T

ION

de ¡'/lnalyfe

la Glomltr;e .

Selon M. I'abbé de Gua, dalls fon excel1ente

hiftoi–

ce de 1'/llgebr; ,

dont on trouve la plus grande partie

I'are.

AL G

E B

R E de ce D iéliollnaire . Théon parott

2voir cm que Platou elt l'il1vcnteur de l'AnalyCc;

Pappus nous apprend que Diophante

d'autres auteurs

3nciens s'y émient principalement appliqués , comme

Euclide, Apollonius , Ariltée , Eratolthene ,

Pap–

pus lui-meme. Mais nous ignoroDs en quoi confiltoit

préciCémem leur 1\ nalyfe,

en quoi elle pouvoit dif–

férer de la nÓtre ou lui relfembler . M . de Male.ieu,

dans fes

IUmcn; de Glomltrie ,

prétend qu'il elt mo–

ralernent impomble qu'Archimede foit arrivé

la plll–

part de fes belles découvertes géométrigues , fans le fe–

cours de quelque chofe d'éqUlvalem

¡¡

notre Analyfe;

mais tout cela n'elt qu'une conjeélure;

il feroit bien

fingulier qu'il n'en reltar pas au moins quelque veítige

dans

qu~lqU'¡~ll

des ouvrages dcs andens

géornet~es .

M .

de I HÓpltal, ou plutÓt M . de Fomenelle, qUl

cít

L'auteur de la préface des

infinitnen! peti&;,

obferve qu'

apparcllce que

M .

PaCcal elt arrivé

force de

tete

fans Analyfe, aux belles découvertes qui com–

pofent fon

traité de la ro"lette .

imprimé fous le nom

d'Etonvi/le.

Pourquoi n'en feroit-il pas de

m~me

d' Ar–

chimede

des anciens

NOllS n'avons encore parlé que de I'ufage de I'AI–

gebre pour la réfolution des queflions numériques; mais

ce que nous venons de dire de l'Analyfe .des anciens ,

DOUS cor.duit naturellement

parler de I'ufage de l'

g ebre dans la Géométrie; cet ufage con(jfle principa–

rement

:'i

réfoudre les problcmes géométriques par l' AI–

gebre, comme on réfout les problc mes numériques,

c;'efl-a-dire

donner des Iloms algébriques aux lignes

c<?noues

inconnues;

apres avoir énoncé la que–

filon algébriquemcnt,

ca1culer de la meme maniere

que

on réfol voit un probleme numérique. Ce qu'on

appell_~

en Algcbrf;'

¿'{tt.ation d'ten. courhe,

n' elt qu'un

probleme géomémque rndérerminé, dollt tous les pnints

<le la courbe donnent la fo lution;

ainfi du refle . D aus

!'application de l' Algebre

la Géométrie, les Ilgnes con–

DUes ou données fol1t repréfenlée par des lemes de I'al–

phabet, comme les nombres connus ou donnés dans les

quenions oumériques: mais

faut obferver que les 'Iettres

qui

repréfen~ent

des lignes dans la

folut~on

d'un problC\–

-me géométnque ne pourrolent pas tO\ljours étre expri–

mées par

de~ no~bres .

Je fuppofe, par exemple, que

dans la [olutron d un probleme de Géométrie on ait

deux Iignes connues, dont I'une que

j'appeller~i

" foir

le cÓté d'nn quarré,

I'autre que je nommerai

Coit

diagonale de ce rnéme

~lIarré;

je dis que fi on affi–

gne une valeur Ilumérique

fera impoffible d'af–

iigner une valeur numérique

parce que la diago–

Dale d'un qnarré

fon cÓté font il1cornrnenfurables .

INcoMMENSUR:ABLE, DIAGONALE, HVPOTENU–

SE,

&c.

Ainfi les calculs algébriques appliqués

Géométrie ont un avamage , en ce que les caraéleres

qui expriment les lignes données peuvent marquer des

quantités commenfurables ou incommenCurables; au Iieu

que dans les probl emes numériques, les caraéleres qui

repréfentent les nombres donnés ne peuvent repréfen.

ter que des nombres commenfnrables.

elt vrai que

le uombre inconnu qu'on cherche, peut etre repréfenté

par une expremon

al~ébrique

qui défigne un incomrnen–

furable; mais alors c elt une marque que ce nombre in–

connu

cherché n'exilte point, que la queftion ne peut

etre réfolue qu'i peu pres,

non exaélement ; au lieu

que dans I'ápplication de l' AIgebre

la Géométrie, on

p~ut

too.jonrs affigner par une conltruél:ion géométriqne •

la grandeur exaél:e de la ligne inconnue, quand

m~me

t'expremon qui défiglle cette ligne ferait incommcnfura–

ble , On peut meme fouvent affigner la valeur de cette

Jigne , quoiqu'on ne puilfe pas en dohner I'expreffion al–

gébrique, foit commenfi.uable, Coit incommenCurable;

c'elt ce quí arrive dans le cas irréduélible du troifieme

degré.

Voyez

C A

SIR R

E'D U

C T

LE.

n des plus grand's avantages qU'Oll a tirés de I'ap–

plication de l'AIgebre

la G éom6lde, efl: le calcul dif–

féremiel ; on en rrouvera I'idée au

milI

F F

E' R E

!o/–

r EL. avec une notien exaéle de la nature de ce cal–

cul. Le c,alcul dífféremrel a produit I'integral .

CA L–

CUL

I NTE'G RAL.

D'y

a point de Géometre tant foit peu habile. qui

ARI

575

!le eonnoi{!'e aujourd'hui pl us ou moins I'llfage inli ni de

ces deux calculs dans la Géomélrie lranfcendante.

M. N ewton nous a donné fur l' Algebre un excel–

lent ouvrage , qu'il a intitulé

Arith¡netica univerJal;;_

11 Y

traite des regles de cette fcience,

de fon appli–

cation

¡¡

la Géométrie.

II Y

dOlll1e plufieurs méthodes

nouvelles, qui om été commcntées pour la plupart par

M .

s'Gravefande dans un petit ouvrage tres-ulile au¡:

commen ~ans,

intitulé

Elem<nla algebrd!,

par M . C lai–

rant dans fes éléll)ens d'Al gebre .

V o)'ez

,¡

I'artid.

A L–

G En R E les noms de plufieurs nutres auteurs qui ont

rmiré

cene fcience. N ous croyons que l'ouvrage de

M. s'G ravefande, celui du

Lamy, la

Science dr¿

calml

R eyneau, l'

A nal)'f. démontrle

du meme

autcur ,

1'/llgebr.

de Saunderfon publ iée en anglois,

font en ce genre les ouvrages dom les jeunes gens peu–

vent le plus profiter; quoique dans plufieurs de ces trai–

tés,'

peut· etre dans tous, il refle bien des chofes

defirer. Sur la maniere d'appliquer l'

AI~ebre

la Géo–

métrie, c'efl-a-dire d" réduire en équatloll les quefl ions

géométriques; nous ne connoilfons ricn de meil1eur ni

de plus lumineux que les regles données par M , New–

ton,

82.

fui". de fon Ariehmlti'{lIe "n¡verfe lle,

é–

didon de Leyde

1732,

juf'lu''¡ la page

96.

elles font

trop précieufes pour etre abregées,

trop longues pour

~tre

inC¿rées ici dans leur enrier; ainfi nous y renvoyoos

nous leéleurs; nous dirons feulement qu'elles peuvcnt fe

réduire

ces deux regles .

P"emie" regle .

Un problerne géométrique étant pro–

poCé (

on pourroir en dire autant d'un probleme nu–

mériq ue ) compare. enfemble les quamités connues

I!:i.

inconnues que renfcrme ce proble me ;

Cans

~illinguer

les connues d'avec les inconnues , examinez comment

tontes ces quantités dépendent les unes dcs

autre~ ;

quelles font celles qui étant conllues feroient conooi–

tre les autres , en procédam par une méthode fymhétj.

que.

Second. regle.

Parmi ces quantités qui feroient con–

noltre les autres,

que je nomme pour cette raifoo

jj7lthlti'{lIe,

cherche. cel1es qni feroiem connoitre le,

antres le plus facilement,

qui pourroient t!tre trou–

vées le plus difficilement, fi on ne les fuppofoit point

connues;

re~arde.

ces quantités comme celles que

vous deve. tralter de connues .

C'elt la-delfus qu'elt fondée la regle des Géometres,

qui difent que pour réfondre un probleme géomérrique

algébriquement, il fant le fuppofer réfolu; en effet, pour

réfoudre ce probleme

fau t fe repréCemer mutes les li–

gnes , tant connues qu'inconnues , comme des quamités

qu'on a devant les veux,

qui dépendent toutes les

unes des autres, enforte que les connues

les incon–

nues puilfem réciproquement

leur tour etre trai–

tées, fi Pon vent, d'inconnues

de connues . Mais en

veilii alfe. fur cette matiere, dans un Ou vrage ou I'on

ne doit en expofer que les principes géoérauI.

Voye:;

ApPLtCATION .

( O)

.. ARITHME'

TIQ.UE

POLITIQ UE , c'elt cellc

dont les operations ont pour but des recherches utiles

l'art de gouverner les peuples , telles que celles du nom–

bre des nommes qui habitent un pays; de la quamité

de nourriture qu'ils doivent confommer; du travai! qu'

i1s peuvent faire ; du tems qu'ils om

vivre; de la fer–

til ilé des terres; de la fréquence des naufrages,

&c.

cont;oit aifément que ces découver¡es

beaucoup d'au–

tres de la

m~me

oature, étant acquifes par des calculs

fondés fur quelques expériences bien conltatées, un mi–

niltre habile en tireroit une foule de conféquences

poue

la perfeélion de l'agriculture, pour le commerce tant

imérieur qu'extérieur, pour les colonies, pour les cours

I'emploi de I'argem,

&c.

Mais fouvem les miniltres

(j e n'ai garde de parler fans exception) croyem n'avoie

pas befoin de palfer par des combinaifons

des fuites

d'opérations arilhmétiques

plufieurs s'ima¡¡inent etre

doüés d'un gralld génie natutel , qui les dilpenfe d'unc

marche

lente

fi pénible, fans compter que la na–

ture des affaires ne permet ni ne demande prefque ja–

mais la précifion géométrique , Cependant

la nature

des affaires la demandoit

la permeHoit, je ne doute

poitlt qu'on ne parvint

fe convaincre que le mondo

polifique, auffi bien que le monde phyfique , peut fe ré–

gler a beaucoup d'é'gards par l?oids, nombre,

me–

[ure.

chevalier Petty, AnSlois , elt le

p~emier

qui ail

pubhé des elfais fous ce tIIre. Le prctnler elt fur la

multiplication dn genre humain; fur I'accroilfemem de

la ville de Londres fes

degr~s ,

fes périodes. fes cau- ,.

fes

fes fuites .

fecond.

ur les maifons, les habi.

tans,