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:SER

S E R

<tité cherchee ,..on en approchera cependant toujours

.de plus en plus. Les nombres que 1'on vient de tron–

'ver ainíi,

cenx que l'on peut trouver ele la meme

-maniere

l'infini, étant

diipof.és

dans leur ordre na–

·turel, font ce que.l'on appelle une

ferie ,

ou une

Juite

.inflnie:

ainfi

laJúie

±-

--!-G

&e.

continuée a

'l'infini,

exprime.la

valeur de la racine quarree de

2..;

quelquefois

lesJuites

ne procedent pas par des addl- '

tions

des fouíl:raétions alternatives, mais par de

'fimples add.J.tions on par une inhnité de fouíl:raétions.;

-dans tontes les

fuites injinies

dont tous les termes pns

~nfemble

ne ·doivent etre égaux qu'a une grandeur

'bnie , il efi viíible que leurs termes doivent al.ler

loujours en détroiifant; il eíl: bon meme , 'Cl\:ltant

qu'il eíl: poffible , qu'elles foient telles que

l'OIl

.en

puiífe prendre feulement un certain nombre des pre–

miers termes, pour la grandenr cherchée ,

né–

:gliger tout le reíl:e.

de termes de plns en plus grand. Nous croyons

de~

voir faire cette remarque en paífant, pour nxer l'i–

- dée nette du mot de

Jomme

d'une

Juit~.

Revenons

préfént a notre

fuite

.;. ,

¡.

- Mais ce ne font pas feulement les nombres irration–

neIs que l'on peut exprimer en termes rationneIs,par

uesJuites injinies;

les nombres rationnels eux-memes,

{ont fufceptibles d'une femblable expreffion;

par

-exemple, eíl: égal

J!lite

±,

i ,

&c;

mais il

a cette différence , qu'au lien que les nombres irra-

1ionnels ne peuvent etre expri..llés en nombre ration–

neis qne par ces

fuites

, les nombres rationnels n'ont

Fas befoin de cette expreíIion.

Parmi

les/uites infinies ,

en a quelqnes -unes

-dont les termes ne font qu'une {onúne finie; telle

-eíl: la progreíIion géométrique :-,

~ ,

.¡.,

&e.

généraJ. tcutes les progreíIions géométriques décroi{–

lantes: dans

d'autresJuÍles ,

¡es termes font une {om–

me infinie ; telle eíl: la' progreíIion harmonique

±,

, +,

fre. YoyelHARMON IQU E.

Ce n'eíl: pas qu'il

--y

ai.! plus de termes dans la progreíIion harmoniquc,

que dans la géométrique, quoique cette derniere

n'ait point de terme qui ne {oit dans la premiere ,

qu'illui en manque pluíieurs que cette premiere con–

lient; une pareille ditférence rendroit {eulement les

·deux fommes infinies , inégales;

celle de la pro–

greíIion harmonique , {eroít la plus grande: la raiíon

en efr plus profoode ; de la divífibilité de l'étendue

-I'infini ,

i1.

íi.Jit que toute quantité nnie, par exem,

pIe un pié, efr compo{ée pour ainíi dire , de nni

-d'innni : de nni, entant que c'eíl: un pié; d'infini, en–

'tant qu'il contient une innnité de parties , dans lef–

-queHes'il peut etre divifé: íi ces parties infinies {ont

"Conc;ues comme féparées l'une de l'ai.ltre, elles for–

meront uneJuÍle infinie,

néanmoins leur fomme

ne fera qu'un pié: or c'efrce qui arrivedans

laJuite

géométrique

-i ,

&e.décroiífante : car il eíl: évi–

dent que

vous prenez d'abord ;. pié, enCuite

la moitié de ce qui reíl:e, c'eíl:-a-dire

de pié;

puis

-+ ,

ou la moitié du reíl:e , c'eíl:-a-dire,

de pié, vous

·pouvez opérer fans nn, en prenant toujours de nou–

velles moitiés décroiífantes, qui, toutes enfemble

ne font qu'un pié. Quand on dit meme que toutes

ces parties prifes enfemblefont un pié, il ne fautpas

prendre cette expreffion

la rigueur , car elles ne fe–

roient un pié que dans la {uppofition que l'on ellt

pris tous les termes de la

Juite

cela ne fe peut ,

puifque

laJuite

e:fr infinie; milis on peutprendre tant

de termes de

laJuite

qu'on vcut , plus on en pren'–

ara, plus on approchera de la valeur d'un pié,

quoiqu'on n'ait jamais le pié exaétement, on pourra

en approcher auíIi pres qu'on voudra : ainíi cette

fuite

n'a pas proprement un pié pour la fflDme , car

une

Juite injinie

n'a point de {omme proprement dite,

puifque {a fomme variefelon qu'on en prend plus ou

moíns de termes,

qu'on ne peut jamais les prendre

t01.IS

;

miús

ce qu'on appelle la

Jom17le d'une

fuite,

c'efr

lé). li'mite de la fomme de

f~s

différens termes, c'eíl–

~~din':

une quantité dont on approche auíIi pres qu'on '

'y eut, en

prenanttouj~~lrS

daos la

fuite

un n

h.rp

Daos cet exemple nous ne prenons pas {eulement

les parties qui étoient dans le tout , diíl:inguées l'une

de l'autre, mais

110US

prenons tout ce qui

étoit ;

c'eíl: pourquoi ilarrive que leurfomme redonne pré–

cifément le tout ou la quantité entiere ; mais íi nous

prenons la progreíIion géométriqlle

~, ~,

f¡,

&c.

c'eíl:-a-dire,

qu~

nous prenions

d'abo~d

de pié,

que du reíl:e l'on en prenne

~ .

que de ce dernier

reíl:e 1'0n prenne encore

-f;

de pié,

&e.

il eíl: vrai

que nous ne prendrions que ' les parties qui {ont dif.

tinétes l'une de l'autre dans le pié ; mais nous ne pren–

drions pas toutes les parties qui

fom contennes ,

puifqne nous n'y prenons que tous les tiers, qui {ont

plus petits que les moitiés; par conféqnent , tous ces

tiers qui décroiífent, quoiqu'en nombre innni, ne

pourroient faire le tout;

il· eíl: merne démontré

qu'ils ne feroient que la moitié d'uq pié; pareille–

ment tons les quarts, quí décroiífent a l'infini, .ne

donneroient qu'un tÍers pour {omme totaJe,

tons

les centiemes ne feroientqu'ul1 quatre-vi.ngt dix-néu–

vieme ; ainfi, non-{eulement la {omme des termes

d'une

jiúte

géométrique , dont.1es termes décroiífent

l'infini, n'eíl: pas

to~jours

une quantité nnie; elle

peut. meme

etn~

plus petite qu'une qua.ntité finie

quelconque : car nous venons de voir comment on

peut former une

(uite

de quantités qui ne {oient éga–

les qu'a

T' -;\:,

on peut de meme en former

qui ne foient égales qu'a

7; ,

&e.

+O,

..-cio,

...iOG,

&c.

ainíi a 1'innni.

Si une fuite innnie décroiífante exprime des par–

ties qui ne puiífent pas fubíiíl:er dans un tout {épa–

rément les unes des autres ,mais qui {oient telles

que pour exprimer leur valeur , il foit néceífaire de

fuppo{er la meme quantité pri{e pluíieurs fois dans

le meme tout; alors la fomme de ces parties fera plus

grande que le tout fuppofé,

meme pourra etre in–

nniment plus grande, c'eíl:-a-dire, que la fomme fe–

ra innnie , íi la meme quantité eíl: prife une innnité

de fois. Ainíi dans la progreffion harmonique

&e.

fi nous prenons ;' pié ou

pouces , enCuite

pié ou

pouces, il eíl:

évi~ent

que nous ne pouvons

plus prendre

de pié on trois pouces, fans prendre

pouce au-deífus de ce qui reíl:e

dans.le

pié. Puis

done que le tout eíl: déja épuifé par la {omme des.

trois pr

miers termes , l'on ne {auroit plus ajouter

ces tr01s termes les termes {uivans, fans prendre

quelque

~ofe

qui a d fj a été pris;

puifque ces

termes {ont innnis en nombre, il eíl: tres-poíIible que

la meme quantité finie puiífe etre répétée un nom–

bre infini de fois : ce qui readra innnie la {omme de

la fuite.

. N

ous di{ons

poJlible;

car, quoique de deux

Juites

infinies,

l'une puiífe faire une {omme finie,

l'autre

une {omme innnie, il peut fe trouver une

Juite

otIles,

termes nnis ayant

~p.uifé

le tout, les termes {uivans,

qu?iqu'innnis en nombre, ne feront qu'une {omme

time.

De plus iI eíl: néceífaire de faire deux remarques.

fur les

Jéries

en général.

10.

Il Y a quelques

Juites

dans lefquelles, apres un certain nombre de termes,

tous les autres termes, quoiqu'innnis en nombre,

devienneat chacun,

égaux. ~

zéro. Il eíl: évident que

la fomme de

cesJllites

eíl: une fomme nnie,

qu'on

peut ai{ément la trouver. Soit , par exemple, la

fuit~

m a

m. m

111

m. m

5 ,

&e.

il eíl: évident que

on fait , par exemple ,

3 ; cette

fuite

fe termine-

r.a au

•

terme. Car tous les autres devant etre

inl\l–

. -';6(;

par

3 qui eíl:

caufe de

3, ces

ter

. ~

feront

néceífai~em.ent

chacun..égaux

él

zéro