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• I
S E
R
cesJuites
n'ayant qu'une apparenee d'inhnité.
2
o.
Que la meme grandeur peut etre exprimée
par di/férentes
{uites,
qu'elle pcut l'etre par
uneJui–
lI:
dont la tamme efr déterminable , & par une autre,
dont on ne !¿mroit trouver la fomme.
La
g
'ométrie n'efr pas fujette, dans l'expre(Úon
des grandeurs,
el
autant de difficultés que l'arithméti–
que : on
y
exprime exaétement en lignes les nom–
bres
irrationnels,&l~on
n'a point befoin cl'y recourir
auxJuites
infinies.
Ainfi l"on fah que la diagonale
d'un ')uarré, dont le coté eít
1,
exprime la
racirte
quarree de
2.
Mais en quelques amres cas, la géo·
métrie elle-meme n'efr pas exempte de ees ineonvé–
niens, paree qu'il ya quelques lignes droires que l'on
ne peut expr imer autrement qlle par une
flúte
inhnie
de lignes plus petites , aont la fomme ne peut etre
cléterminée: de cette efpece (ont les lignes droites
égales
a
des courbes non reétihabres; en cherehant,
par exemple , une ligne droite égale
el
la circonféren–
ce d'un cercle, on trouve que lediametre étant (up–
pofé
1 ,
la ligne cherchée fera
~
-
-j
+
T-
i
-1-
~,
&e.
roye{RECTlFICATION.
Quant
a
l'invention d\me
fuiu infinie,
qui ex?ri,,–
me des qllantités cherehées, Mercator , le premier
Ínventeür de eette méthode, fe fert pour cet effet de
. la divifion.Mais
M.
Newton
&
M.
Léibnitz Ont porté
cetre théorie plus loin; le premier, en trouvant fes
f¡¿ites
par l'extraétion des racines ;
&
le fecond, par
une autre
Juitqiréfuppofée.
Pour trouver,par lemoyen de la divifion,
unefuit~
qui foit l'expreffion d'une quantité cherchée. Suppo–
fons qu'on demande
uneJuia
qui exprime le quotient
de
b
divifé par
a
+
e
,
divifez le dividende par le divi.
1eur, comOle dans l;algebre ordinaire , en continuant
la divifion, jufqu'a"ce que le quotient faífe voir l'or–
rue de la progreffion , OU la loi fuivaat laquelle les
termes vont
a
1
'infini ; obfervam toujours les regles
de la (oufiraétion, de
la
multiplication, de la divi–
fion, par rapport au changemeilt des fignes. Quand
vous aurez pOlliré cette opération jufqu'el un certain
point , vous troitverez qite le quotieI1t efr
~
-
~
b,' b,
J
& ).
1"
e
.
e'
.
+
-;¡- .....
-;;4 ,
c.
a mnfll. .
es quatre ou (lmq ter..:
mes étant ainfi trouvés , vous reconnoltrez facile!!
ment que le quotient confifie en Ulle
Juite.
in6nie de
fraétions. Les numérateurs de ces frailions font le5
puiífances de
e,
dont les expofans font moinures
d'une unité que le norilbre c¡tli' marque la place que
ces
termes occu.pent,
&
les dériomin-ateurs font les
plliífances de
a
,
dOJ;lt les expofans font égaux au
nom~
bl'e qlli ma1rque la place de ces termes :. par exemple,
dans le troifieme terOle, la ,puiffanee de , efr du fe–
cond degré dans le nuOlérateur;
&
la puiirance de
a
efr
du
troifieme degré dans le dénominateur.
Par conféquent
10.
fi
h
==
1
&
a
=
1 ,
en fubítituat1t
ces valeurs ,nous aurons le qu.otient ci;deífus
=
i
- e
+
e
1
-
el,
&c.
el
l'inhni
l
c'efi pourquoi
-~
=
1
-e+
c;2-
el,
&e.
el
l'ióhni.
1
+,
'2.
O.
Donc fi les termes qui font au quotient dé...
croiífent continüellement, la fuite donnera un quo–
tient auffi pres du vrai qu'il efr po{Iible. Par exemple ;
fi
b
=
1 ,
,=
1 ,
a
=
2,
ces valeyrs étant fubfrinlées
dans
laJuite
générale,
&
la
divifion étant faite com':'
me dans
l'
exemple général ci-deirus , on.tronvera
1'=6
= -i- -~+
; - i¡¡
+T.-
i4+
,:8)
&c.
Snp–
pofons maintenant que la
Jérie
ou la
íi
ite s'arréte au
quatrieme terme , la fomme 'de cette
Juile
fera au–
deífolls de la véritable ; mais il ne s'en faudra pas
-h.
Si elle s'arrt:te au fixieme terme, elle fera encore
en-deirous, mais moins que de
-.+s:
c'efr pourquoi
plus on pouífera la
Jérie
ou la
fltite,
plus auffi
o~
prochera de la v'ritable [omme, fans pourta: Jamais
yarriver.
Oe
fa .
inén~C?
maniere, orl trouve qlie
.!.
=
!-.
=
1- -
~
+
-0
~
f,
+
;¡-~ ~
,
6'c.
el
l'infini....
1
=
~
=
~
T
-!6
+
;!¡ -,
-.TI,
&e.
el
l'inhni....
i
=
5-.!......
~+
1
- .t.
*..-.:¡ -
6:
p
&e.
a
l'inhni~
Ce qui
do~;e un~
101 coníl:a.r;te, fúlvaÍJ.t laquelle tomes les fraétions :
d
t
1 .. ,
1
fr l' . ,
,
O? e
nUlT!era~eu~
e . . umte
~ p~uvent
étre expri-
mees par
~esJ'ultes
Inhmes;
cesjuiees
étant toüres des
ptO~reffions
géométriqites;
qi.tidécroiirent eh
tell~
mamere que le nurhérateur efi toi.tjours I'unii:é
eS{;
.que le dénorhinateur qu preinier terme : qui eh ;uffi
l'ex~o~an~.
du lñipport; efr
~oindre
d'úi1e uni.i:é que
le,
de;'1omlO~t~ur
de la- fraétlOnque l'oh
a
propofé de
reduue en
fime .
Si les tenhes dLÍ q\iótient ctoiífcm
COntiIi~eile
me,m , la
férie
s:~loigne d~autant
plus du quotierÍ.t ;
qu eH: efl poufiee
pl~s
10lO; & elle ne pel!,t jamais
deVefilt egale au quonerit,
el
moins qu'on ne limité
.ce quotrent,
&
qu'on ne lui ajollte le dernier
refr~
~vec
fon propre figne. Par exemple, fuppofons
T
=
I
.:..~
;
on trouvera que le quotient
=
1 - 2
+
4
-
~
+
16 - 64
+
128,
&e.
pret1011S le premier terme
J,
11
excede-
~
de
7;
cleux termes,
c'~ít-a-direI
-
1. "
feront plus petits de
1;
trois termes f<;r.Oht trop
O'rand~
de
f;
quatre termes feront trop petits que - de
~
\
o'c.
Si 1'on fllppofe qüe la
Jérie
ou
la.fttiie
fe
3
term in;
au
t~rme
-
8 ;
alors on aura
1'::
1
=
J -
2
+
4
~
8
+
2.f;
mais
1 - 2
+
4 -.:
8
== .::;.
5
c;¡
-2
il :
aihfi
~
_
16
I
~ ~
1 •
:j
J
+2-
-3- 3 -
-f ·
.M.ais? dira-t-oh, qu'e,xpriine done a,lors luje
lJ.
a -
~el11e,
fUlte
!
car par
~a
.?ature de.PopéraiioJi ,
elle
doit
etre egale a la,
qu~ot~te
Oll fra.éttOlil propofé<=:; & ce–
pendant elle
s
en e10lgne contmuellement. Un autetir
nommé
Guido Ubaldusj
dahs (on traité
dt
quadraturd
ci~culi
e,.
hyper~ofa,
a poua:é ce raifonnement plus
10lO,
&
~n
a
tl~e
un.e confequence fon ílnguliere.
~yant pn~
la fUlte
~
=
,~ i
;
&
ayam .
fa.itla.diviiion
11
a trouve au quonent
1 :.... 1
+
1 .:.... I
+
I -" 1
&c~
qu!
a
lbinhni de peut jamais
do~ner
gue
i
~ú
o
~ f~a2
VOtr
1 ,
fi on prend un nombre lnipau de termes;
&
o,
!i
oI1 prend un nombre pairo D'ou cet aUteur
á
conclu que la fraétion
-i-
pouvoit devenir
i
par une
~ert'aine
opération ;,& que o pO\lv<!it etré .a.ufi.l egal
a
'1'.&
~lIe
par c?nfequent la
.cre~tlOn
étoIt
poffible;
pUlfqu avec molOS on pOUVOlt falre plllS:
L'etreur de cet auteltr vehoit de
n'~voir
pas remar–
qué que la ftiite
¡' --'-
1
+
1 - 1 ,
t."'c,
&
en
gé~é.nrí
t -
c
+
e'
-
e
3
&e.
n'exprirrioit poirit éxaéterl,leilt lá
valeur de la
fr~étion
-;-:
¿ •
Car fupp·ofon.s 'lu'on ait
Fouiré le
qi.I.o~ieJilt
de la
di'~i~on
jufqu'a dnq termes;
com~e
la dlvifion ne f: falt )amais e-xaétemerit , il
Y:
a touJbtirS un refie ; fOlt ce refre
r;
&
p~)l;lr
avoir
,le
quotient exaét , il faut , comme dan
s la
divifion
ord~'::
naire; ajouter ce refre
r
divifé par le divifeuT
1
+, .
a
la partie déja trouvée du quotient.
'
Ainfi (uppofons que
laJérie
généraJe foit terminée
el
':""el;onaura
7"';-;-
=
1 -
e
+
6' -
c
3
+
1
:.~
=~c.+,1_':":":-~~:o::
_1_.
Pat
confé~
1
+,
1
+"
qtlent la valéur exaéte de
f
~
'7"
~
í
efr
1
~
1
+
i -
i
+
1
~
1 ;
&
cette valeur fe trotive toujours éga1e
el
f
,& non pas zéro
el
i,
roye{
dans
Íes
M'émoim
. de l'acadJm, de
/7;.5. un écrit de M. Varignon,
oa
cette difficulté efr éclaircie avec heaucoup de (oin.
POUL s'infrruire
a
fond de la matÍere
désJuites,
on
peut cotfulter le traité de
M.
Jacques Eernoulli , in–
titulé
Traaatui de flriebus infinitis
,
eárumqrü Jummd
finitá,
imprimé ¡)'Baíle en
1114,
el
la
(lllte de l'Ad
conjd!andi
du meme auteur; le feptieme livre de
l'Analyfl d¿miJntrú
dti P. Reyneau; l'ouvrage de
NJJ
Newton:> intitulé
Analyfts per aquatloms numero ter–
minonun infinitas;
enfin le traité de
M.
Srirling,
dé
mmatione
feri~rüm;
& celui de
M.
Moivre, qui a
-
"