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LOG
dellüs,
&
ils peuvem fe démontrer auiJi par la théorie
de la logarithmiquc qu'on trouvera
a
[on
article.
Nous terminerons celui·cí par une quellíon quí a été
fort agítée ernre
M
M.
LéibnltL
&
Bernoullí. Les
log"·
rithm<S
des quantités
né~arives
font·íls réels ou imagi–
uaires? M. Léibnit7. tenoit pour le fecond, M . Ber–
noulli pour le premier. On peut voir les lettres qu'ils
s'écrivoiont
a
ce fujet ; elles font imprimées daos le
eommt!rdum epiflolicum
de ces den
A
grands hommes,
publié en
1
74f
a
Laufanne. ]'eus autrefois (en 1747
&
r
748) une controverfe par lettres a vec le célebre M .
Euler fut le
m~me
fujet; il fon<enoit l'opinion de M.
Léibnín.,
&
moi celle de M. Bernoulli. Cette contra·
verfe
a
occafioooé uu favant mémoire de M. Euler,
imprimé daos lt: volume de l'académie de Berlín pour
l'aonée
1
749· Depuis ce tems, M. de F
oncene~
a traité
la
mc!me matiere daos le premíer volume des mémoires
de l'académie de Turin,
&
fe déciare pour le fentiment
de
M.
Euler qu'il appuíe de nouvel\es preuves. J'ai com–
pofé fur ce fujet un écrit daos lequel je me déclare au
contrll.ire pour l'opinion de M. Bernoulli. Comme cet
écrit
~ura
probablemenr vu le jour annt la publicarion
du préfent article, je ne l'inferer:1i point ici,
&
je me
contenierai
d'y
renvoyer mes leéteurs, ainfi qu'aux écrits
dom j'ai parlé; ils y trouveront toutes les raifons qu'on
peut apporrer pour
&
conrre les
lor;arithmu
imaginaíres
des quantítés
n~gatives.
]e
me bornerai
á
dire ici.
1~'.
Que li un prend entre deux nombres réels
&
pofitifs,
par exemple
1
&
2,
une moyenne proportionnelle, cene
moyenne proporrionnellt: fera au
IJi
·bien -
v
2
que
+
v
2,
&
qu'ainfi le
logarithme
de
-v2
&
celui de
v
2
fe·
ront le
m~me,
favoir log. ..;..
;¡.
0
•
Que fi daos l'équa–
tion
y = c"
&
le logarithmique
(Voy.
LOGARITHMIQUE
1
r
-
&
ExPoNEN'I'rEL) on fair
x=-;-,
on aura
y=c
•
=
.C::
y
e,
&
qu'ainfi le logarithmique aura des ordonnées né·
Jiativcs
&
pofitives, en re! nombre qu'on vondra
a
!'in·
tlni; d'oií
il
s'en[uit que les
lo,l(arithmu
de
ces
ordon–
nées feront les
me
mes, c'efl-a-dire des quantités réelles.
3°. A
ces raifons ajoute7. celle qui fe tire de la qua·
drarurc de l'hyperbole entre fes afymptotes , que
M.
Bernoulli a donnée le premier,
&
que j'ai forti6ée par
de nouvelles preuves; ajoute:r. en fin beaucoup d'autres
raifons que l'oa peut lirc dans
11100 1nén1oire,
ainfi que
mes n!ponfes aux ohjetlions de
M M.
Euler
&
de F<>n·
cenex
~
&
on fera,je erais, convaincu que les
logarithmes
des nombres négarifs
peuvcnt i<r<
réels. }t: <lis
peuv•"t
itr~,
&
non pas
font;
c'erl
qu~en
effet on peut preodre
re! fyllcme de
logarithmn
qui rendra irnaginaires les
logari<hmes
des nombres négatifs . Por exemple, M. En·
ler prouve tres-bien que fi on exprime les
logaritbmes
por des ares de cercle imaginaires, le
logarithme
de- t
fera imaginaire; mais au fond tour fyflerne de
logarith·
mes
efl arbitraire en foi; tout dépend de la premiere
.fuppofition qu'on a faite. On dit, par exemple, que le
logarithme
de l'unité cfl=o,
&
que les
logarithmu
des
fraél:ions font oégarifs. Tout cela n'efl qu'une fuppo–
lition; car on pourroit prendre une te\le progreffion arirh–
métique q·ue le
loga•·ithme
de !'uniré ne flit pas égal
a
o,
&
que les
logarithmu
des fraélions fulfent des quan–
tités réelles
&
pofirives.
11
y
a,
bien lieu de craindre que
toute cene difpute fur les
logarithr4~S
in1aginaires , ne
foir qu'une difpute de mots,
&
n'ait été
li
agirée que
fame de s'entendre. Ce n'efl pas le premier exemple de
dirpute de mors eti Géom\!trie.
Voyez
CONTJNGENCE
&
FoRces vrvEs.
MM. Gregori, Mercator, Newton, Halley, Cotes,
Taylor
J.
&c. oc(
donné ditférentes méthode¡ pour la
c on(\ruction des tables des
logarithmes,
que l'on
peur
voir daos les
Tranfaélions philofophú¡ucs. f/oyez
fur·tour
un mtmoire de M. Ha!ley daos les
Tranf"él. phi{of. de
IÓ9S'·
n°.
>.t6. Saos eotrer ici daos ce dérai\, nous don–
nerons une méthode aífc1. fimple pc,Hlr calculer les
lo·
garithmeJ.
Nous fuppoferom d'abord (
voyez l'artidt!'
LoGA·
RrTMrQUE) que la fourangente de la lngarirhmiqu<;! foir •
égale a l'ordonnée que l'on prend pour l'unilé. nous
prendrom une ordonuée
1
-u
qui foit plus perite que
l'unité,
&
noos aurons, en ooml]lOOt l'abfciífe
d
x,
l'é-
quatíon
dx=-
,".:_,.,
comme
il
réfulte de l'article
ci–
té · d'ou
il
s'enfuit encare que ;; ell: égal au
logarith.
de'
t-u,
&
qu'3infi le
logarithme
dt:
[-u
efl égal
a
l'inrégrale de_...:!::_ . Or faifant la divifion fuivant les
•-~
1
---r
regles ordinaires, ou fuppofant
-;-...::;=
r-
u
,
oo trou-
LOG
)II
ve
(voye:;,.
Dtvrsro:s, BtNOME, EXPOSANT, SERrE,
SurTE,
&c.)
que
_..:!..!:_=-du-rtdu-t/ d u_:.
,_,.
•
3
u.
d:u'
&c.
dont
l'intégrale
en
-1/.
__ .._-
_}!___
4
•
3
7·
&c.
a l'inlini;
&
cette férie cll: convergente, paree
que les numérateurs
&
les déoomioateurs vont toújours
en dimínuanr, car
u
ell plus petit que 1' unité.
Voyez
FRACTION.
On aura done, eu prenant un certain nom–
bre de termes de cette Cuite, la valeuc approchée du
lo–
garithme
de
1
-tJ;
or connoiífant le
logarithm<
de la
fraél: ion
1
-u,
on conno1rra le
logarjthme
du nombre
emier qui efl troilieme proportionnel
a
cette fiaélion
&
a
J'unité; car ce
Jogarithme
ell le meme, mais priS
:lVCC
un ligne pofitif. Par exemple, fi on veot avoir le
log,.–
,.;thme
du nombre ro, on cherchera cdui de la fra-
él:ion
~
=
r -
..Z..,
aiufi
u=
2.!'...
Done le
logarithm<
J9 10
9
JO 81
•
729 Jf)
•
•
de
10
ell -
10 -
-;oo
-:¡o
00
&c.
&
amfi de fuae;
&
cette quantité prife avec le ligne
+,
ell le
logarithme
de ro.
Tout cela
ell
vrai dans l'hypothefe que la foutangen–
te de la logarithmique foit =
r ;
m~is
fi on vouloit que
le
lo.~arithme
de ro fllt
1,
par exemple,
a
u lieu d'erre
égal
a
la férie précédente, alors tous les
logarithmes
des autres nombres dt:vroient
ét~
multipliés par le rap–
por~
dt: !'uniré
a
cette férie.
Voyez
Lo G
A
R
l
T H
M 1•
QUE. (0 )
.
LOGI\RITHMIQUE,
[.f.
(Giomt!trie.)
courbe
qui tire
ce
nom de fes propriétés
&
de fes
ufa~es
daos
la conflruél:ion des logarirhmes
&
daos l'explication de
leur théorie.
Si l'on divife la ligne droite
A X
(PI.
d'
An~lyfe,
(ig.
37·)
en un nombre égal de porties,
&
que par les
po!ms
A, P,
p,
de divilíon, on tire des l!gncs ton–
tes paralleles entr'elles
&
continuellt:ment proportion–
nclles, les extrémirés
N, M,
m,
&c. de ces dcrnicres
lignes, formeront la
li~ne
courbe appellée
lor;arithmique,
de Corte que les abrciffes
A P, A
p,
font ici les loga–
rithmes des ordonnées
P M,
p
m,
&e. pi\LCque ces ab–
fc iífes font en progreiJion aritbmérique pendant que les
ordonnés Ion¡ en progreúion géométrique. Done fi
A P
=x,
Ap=u,
PM=y,
pm=z,
&
qu'on nomme
ly
&
lz
les logarirnmes de
y
&
de
z,
on aura
x=ly,
u=lz,
&
par conféquent
~=
1
17
•
"
..
Propriltls
dr
{a logarithmiqru.
Daos une courbe quel-
4•
conque, fi on nomme
f
la
foutangeme, on
a -
f
=
-
dy.
Voyez
SouTANGENTE. Or daos la
logarithmi-
Y
que,
fi on prend
dx
conftanr, c'efl-3-dire les abfciífes
en progrefllon arithmérique, dont la cjifférence foir
d
x,
les ordonnées feront en progreffion géométrique,
&
par
conféquent les différences de ces ordonnées
(voy.
PRo–
GRESSJON GÉOMFTIUQUE) f<ront entr'(:lles COIJlme les
ordonnées; done •; fera conflant, d'oií
J.;
fera con–
llant; done !J\Hfque ( hyp.)
,l
x
ell conllant,
f
le fera
aulli; done la fomangente de la
logarithmrqt~c
ell con–
llame; j'appelle cene foutangente
a.
2.
0
•
Si on fait a=t, onauradx=_.
7
;
dont l'inté-
Y
grale ell:
x
= log.
y;
&
fi on fuppoCe un nombre
e,
te!
que fon logarithme, foit = r, on aura
x
tog.
r
= log.
).',
&
par conféquent log. '" = log.
y
&
y
=
<" .
Voy.
LoGAIUTHME. C'ell-la ce qu' on appelle
repaffer
du
logarith>neJ aux norrs.bres,
c'eCl-3.-dirc::: d'une équation
lo–
garithmiquc
X=
/y,
a
llOC
équatiOD finic; exponentielle
y=<"
.
V•ycz
ExPONRNTIEL .
3°.
Nous avons expliqué au mot Ex·PoNI!:NT IEL ce
que (igntfie cene équation
Y.=
'"
appliquée a la
loga–
rithmiquc.
En générat, fi daos une m eme
togariehmi·
que
on prend quarre ordonnées qui foient en proportion
géomérfique; l'abrcille renfermée entre les deux premie–
res [era égale a l'ab('cíffe renfermée entre les dcux au–
tres,
&
le rapport de cene abCcitfe
a
la fouungente Cera
le logarithme du rapport des deux ordonnées. C'efl une
•
..
X
Jy
,
X
(
7
)
fulle de l'éc¡uatlon
-;;=-;-
qut donne -;;= log.
¿
,
en fuppofant quc¡=b, lorfqoe
x=o.
4°. Si on pren pour 1' unité daos la
logarithmiq11e
l'a¡-donnée qui
ell.
égate
a
la foutangenre, on trouverll
que l'abfciffe q1.1i répond. au nombre
10 (
c'efl-a-dire
a
l'ordonnéc qui fewit éga\e
ii.
dix fois celle qu'on" priCe
pour \'uniré) on troovcra, dis·Je, que cette abCcilfe ou
le logarithme de ro ell égal
a
2.,
302S'8s09 (
voy<z
Lo -
GA-