1000000034

765 / 796

CON
let qui [uive toujours celte regle, ce í!ylet dc!crira' la
courbe appellée hyperbole.
Les points H IX 1 Cont appellés lés foye". Le point
e qui divife en deux parties égales I'imervalle 1 H eí!
le centre. Le poin! D qui cí! celui ou tombe le point
B , lorfque la regle IT tornbe Cur la ligne 1 H, eí! le
fomrnet de I' hyperbole. ~a droite O K double de D (: ,
eí! l'axe tranfverfe, la figure S K L égale femblable a
B D T, que l'on décriroit de la me¡ne maniere .n at–
tachant la regle en H, au lieu de I'attacher en 1, fe~
roit I'hyperbole oppofée ¡¡ la premiere .
Le rapporc qui eí! entre la diflance de~ poin¡s H <l¡.
l. & la dilférence du til a la regle, efl ce qui cara~
ªérife !,eCpece de l'hyperbole .
11 Y a une autre maniere de décrire I'hyperbole, qui
rend plus faciJe la démonflration de la plu.part de Ces
propriátés . Voici cette méthode. .
LL & MM (jig. 17.) étant deux droites quelcon–
ques dOllnées de pofition qui Ce coupent en un 'poillt
e, & & o d e un parallélogramme donné, /i on trace
une eourbe c D h qui ait eelte propriété qu' en m enant
de ehacun des points e les paralleles".4, & c& ~ LL
~ M M, le parallélogramme fe d e foit égal au paral–
lélogramme D & e d, eette courbe Cera une hyperbole .
L~ eourbe égale & Cemblable a eette eourbe que I'on
Meriroit de la Iperne maniere dans I'angle oppoCé 'des
)igncs M M, 1, L, Ceroit I' hyperboll! oppofée.
Les deUN hyperboles que I'on déqiroit avec le me–
PIe parallélogramme entre les deux autres angles qui
(ont. les eomplélTlens ii deul¡ droits des deux premiers ,
1i:r~lent les deu~ courbes appellées les hype~boles &o,?j"–
$"e" aux premlcres. Vqyez C o N J U·G U E •
Le point e ou les deux drQites M 111, L r.., fe ren–
eontrem , eí! le centre de toutes ces hyperboles"
Toute ligne palTant par k cemre, & tertninée aux
deux hy?erboles pppofées, eí! un diametre de ces hy–
perboks. Toutes les droites menées parallelement a la
tangente au fommet d~ ce diametre & terminées par
I'hyperbole, Cont des ordonnées á ce diametr~; & les
parties correfpondantes du prolongemen¡ de ce di3me–
tre, leCqueJles fon< ,erminée. par le fommet de ce dia–
m etre & par les ordoonées, Cune les abfcilTes.
Un diametre quelconque de deux hyperboles oppo–
fdes', a pour diametre conjugué eelui des hyperboles con–
juguécs , qui a été meoé paralleletT\en¡ ~u. orqonnées
du pr~mier.
L e paJOt)1etrc d'un diametre que loonque, eí! la troi–
fieme proportionnelle ~ ce di'metre & ¡¡ fon eonlugué.
L es ligncs L L , M M Cont appellées les aJymptotes,
tan¡ des hyperboles oppofées que des eoojuguécs. 1/0-
yee A S y M PT O TE.
ProprittéJ dé /' hyperbol• . 1". Les ordonñées a un
diametre quelconque font toéjours eoupées eo ~eux par:
ties égales par ce diametre .
20. L es ordonnées a I'axe fone les reules qui foient
perpendieulaires á leur diametre; les autres Cont d'au–
tant plus obliques, que le diametre eí! plus éearté de
J'ate' & en eomparant deux hyperboles de dilférentes
efpee~s les di.metres qui feront a meme diflance de
l'axe, ~uront des ordonnées d'au!am plus obliques , que
}~ dilférenee d~ I'angle L e M a Con eomplément fera
plus grande .
30. Le quarré d'une ordonoée a un diametre quel–
conque eí! au quarré d'une autre ordonoée queleonque
au méme djametre, comme le produit de l'abCeiOe eor–
reCpondan,e a eelte p~.cmiere ordonnée par .Ia rOIl~me ?e
celte abfciíJe & du a'~ll1etre, eí! au prodult de I abfclf–
fe correfpondante A la feeonde ordonn~e, la fom–
me de cene abfcilTe & du diametre.
40. L e parametre de I'axe tr~nfverCe eí! égal aI'or–
donn6e qui parre par le fo)'er.
f~. L e quarré d'une demi-ordonílée 11 un diametre efl
plus grand que le reébngle . de l'abfcilT~ correCpondan–
te par le parametre de ce dl~metre. C eí! de ce! e~ces , appellé en Grec
';...p,.. ~ , qu'efl venu le norn de
rbyptrbole. .
60 . Si d'un point quelconque B (jig. !6.) on tlfe
deux Iignes B H, B I aux foyers , Icm dllférenc~ Cera
égale au gr~n~ axe; e,e qui fuit úidemment de la pre–
m iere deCctlptlon de I hyperbole.
70 . Si on diviCe en deuI parties égales I'-angle H B 1,
compris les deux lignes qui vont d"1I1 point quelcon–
que aux foyers, la rigoe de bitreé\io.n fera t~ngen\e iI
l'hyperbole en B .
80. Les lignes droites L L, M M (jig. J7.) dans
lefquelles Cont renfermées les dcux hyperboles oppoCées
& leurs conjllguées, Cont aCymptotes de ces quatre hf-
CON 727
perboles, e'eí!-~-dire qu'clles en approchem eontinuel–
lement fans j,m;\is le5 renCOlllr"r, mais qu' elle, pel)–
vem en apptoch<r de plus prcs que d'une dillance dOll–
née, ti petite qu'oo l¡l fuppofe.
9°. L'ouverture de l'angle que Copt I~s aCymptotes
de deux hyperboles oppoC~es, caraétérife I'elpece de eet–
,e hyperbole . L orfque eet angle etl droit l' hypcrbole
s'appelle iqui/Qtore, a canCe que fon axt' (¡alfil tran{–
'lIer[um ) & fon parametre ( latH.r reOum) font égau"
~tme eUK. Cette hyperbole eU 11 I'égard dcs 3utre> , ce
que le e<rele efl ¡¡ I'égard des ellipfes. Si par exem–
pie fur .le . meme axe, en " ariant l'aIe conjugué , on
eonflrult d,lférentes hYl'erboles , les ordonnée, de ces dif–
férentes hyperboles qúi auront les memes abfciíles, reront
á I'ordonnée eorreCpond.nte de l' hypcrbole équil.tere,
eomme l'axe conjugué efl • l'axe tranCverfe.
lO? S i par le fommet d'un diametre quelconque on
tire une tangente a l' hyperbole , l' iutervalle re\ranehé
fur eelte tangente par les afymptotes, eí! toilJours ,,–
gill au diametre conjugué .
11°. Si par un point quelconque m de l' hyperbole
(jig. 29.) on tire :\ volonté des lignes K m H , rm R
qui rencontrent les deux aCymptotes , on aura M R =
1>' r, HE = m X: ce qui foumit une matiere bien lIm–
pie de déerire une hyperbole, dont les aCymptotes e Q,
e T foient données, & qui palTc par un poine donne
m: ear menant par nz une ligne quelcooque K mfl ,
& prenant H E ,;=, m K., le point E fera ¡¡ I'hyperl¡dle .
On trouvera de m~me un autre point M de l' hyperbo–
le , "ea menant une autre ligne nI" R, & preoant M R
= m r; &, ainlí des autres.
12°. Si Cur I'une des aCymptotes OM (jig. ' 7. ) I'on
prend les parties e l, el 1, el [ 1, e I V, e V, &e.
qui Coiem en progreffion gtométrique, & qu'on mene
par les points el, e 11, e [11, (: I V, les parallcles
l i, 112, ll1 3, 1 174, /1), f¡.e. ¡¡ l'aUtre al'ymprote,
les eCpaees 1 2, 11 3 , 1 I 14 , 1/1 f, /16, &c. fero.n l
tous égaux. D'ou il fu it que Ii l'on prend les portIe,
el, e JI , e 111 , &c. fu ivant I'ordre des nombres ua–
turels, les eCpaees 1:>;, 11 3, 11[4, &e. repréCeoteront
les logarithmes de ces nombres.
D e roUtes les propriér6 des [cOionJ conil{ueJ on peut
conc1ure: )0. que ces cOQrbes fOllt toutes c nfemble un
Cyneme de figures régulieres, tellemeot liées les unes
a~x autres, que ehacune' peut dans le paOage ~ l'in6-
m, changer d'efpece & deveoir Cuceeffivement de to~tes les autres: L e cerele, par exemple, eo chang eant
in6nimene peu le plao coupant, devient une elJiple ;
& l'ellipCe en reculant fon centre ii I'intini, devient u–
ne parabole, don t la polillon étam enfuite Utl peu ehan–
gée , ell~ devient la premiere hyperbole; toutcs ces hy–
"erboles vont cn Cuite en s'élevant, jufqu'ii fe, eonfon–
dre avec la IíSne droite , qui ell I~ e~té du díoe.
On voit, 2 • que dans le cerele le parametre en dQu–
ble de la diflanee du Commet au foyer ou centre; dans
I le pammetre de tout diametre ell a l'égard de
eettc ditlance dans une raifon qui en entre la double
& la quadruple; dans la parabole eette raifon efl pré–
ciCémeot le quadruple , & dans l' hyperbole la railon
palTe le quadruple .
3°. Que tous les diametres des eeroles & des ellipfes
Ce coupent qu centre I!i( en-dedaos de la eourbe i que
aeux de la parabole COnt touS paralleles entr' eux & a
i'áxc; que ceux de I'hyperbole fe coupent au centre ,
auffi bien que eeux de I'ellipfe , mais avee eette dilfé–
rence que c'efl en-dehors de la eourbc .
Oll peut s'inflruire des principales propriétés des fe–
Oiom (onil{ue!, dans l' applicfllion de l' I1lg,bre ,¡ la
Gt.",;" ie, par M . GuiCn"e: ceux qui voudroJlt les ap–
prendre plus en détail, auront recours a I'.ouvrage d:
M. le marquis de I'H Ilp.ital, qui a pour litre, &ralt.
analyti'{ue deJ [el~iom &oni'fueJ: en~n on trouvera les
propriétés des [tOionJ conigueJ tranées. fort au long
pans l'ouvroge in-folio de M . de . la H ite , .ql1l a po~r
titre, f~lljon(J conicte iSl 110'tUm l,bros diflrihutte ; IDUIS
les démonUrations en Cont pour la plapart tr~s-Iollgues.
& pleines d'uoe CynthcCe difficile & embarra1léc. Enfin
M. de la C hapelle, de la loci.été royale. de. Lond~cs,
vient de pu plier fur cette matlere un tralté Inllru8 ,f &
a(Te. eoun, approu yé par I'académie royale des Scien–
ces.
L es feOio/IJ coni'{ueJ, en y compren. ot le eerele,
eompolent tout le ryll eme des lignes du fecond ordre
ou c.ourbes du premier geore, I:¡, ligne droit '. étolll ap–
pellée lig ne du ' premier ordre. Ces Iígnes du fteond
ordre ou du premier genre, COt1t cell. s dan s
I'é~ua,tion defquelles le i(ldéterminées:~ , y , montent
au
I