1000000034

764 / 796

,
726 CON
au'\ ordonnécs d'un dianletn:; , di fon diamett"c CDHjlJtrtl;
cutio la troi~ieme proportionntlle :i un diametre qud–
co nque, & ii ron diametre conjugué , dI le parametrc
de ce diametre que \conque . I/oy. e E N T RE, F o y E R ,
A XE, DIA .ME T RE, &c.
P roprileis de I'cllipfe. ¡0. Le~ ordoonécs d'uo dia–
metre quelcanque [ont ¡outes coupées eo deux parties é–
goles por ce diametre .
2° . L es ordoonées des ases ou di.metres principaux
font perpendicn laires a ces axes . les ordonnées au¡¡
.UtreS diametres leur rom obliques. D ans les ellip[es de
diiféreotes e[peces , plus les ordonoées ront obliques furo
leur diametre a <'gale dillance de I'axe , plus les a¡¡es
diiferem I'un de I'autre . Dans la meme ellip[e plus les
o rdonnées fcrom obliques fur leurs diametres, plus ces
diametres ferom <'cartés des axes.
3°. 1I n'y a que deuK diametres cenjugués qui [oien!
égaux entr'euK; & ces diametres' MG, I/T, [ont tels
que I'angle FCM=FC 1/. .
4°. L 'angle obtus I/ C M, des deux dbmetres conju–
gués égaux, ell le plus grand de tous les angles obtus
que forment cmr'cux les diametres conjugués de la m e!–
me ellipfe; c'dl le comraite pour I'angle oigu I/C B.
)0. L es lignes 1" P & ,B étam des demi-ordonnées a
' un diametre quelconque M G , le quarré de 1" P ell au
q uarré de , B , comme le reéhngle M I" XI" G ell .u re–
aangle M, X. G. Cette propriété ell démonirée par
M M. de l'I-lÓpital, GuiCnée , &c.
6°. Le paramette du gralld .xe qui [uivam la défi –
n ition précédemc doit etre la troiJieme pfoportionnelle
.• ux deux .xes , ell auffi égal a l'ordonnée MI (jig .
~ 3· ), qui paffe p~r le foyer l .
. 7°. Le quarré d'une demi-ordonnée quelconque P (L
a un diametre JlIl G (jig. 14.) ell moindre que le pro–
duir de l'abfciO" 1W 1" par le parametre de ce diametre.
C'ell ce qui a donné le nom á I'ellip[e, ¡' '''fi" ugni–
nan! déf""e.
8°. Si d'un point quelconque B (jig. 13.) on tire les
droites B H & B 1 aux foyers, leur Comme rera égalc
3U grand axe ; & li I'on diviCe par la ligne B a I'angle
lB H q'ue fom ces deux lignes , en deux parties é¡;a–
les, celte ligne B a fera perpendicnlaire ¡¡ l'cl\ ipC~ dans
le point B .
9°. Un corps décrivant l' ellipCe D I: K autour du
foyer H, ell daos fa plus grande diflan ce a ce foyer
H , lorCqu' il ell en K; dans fa plus petite, lorCqu' il
ell en D; & dans [es moyennes d¡¡¡ances , lorfqu'¡¡ cll
en F &, en E.
10°. De plus, eette moyenne dillance F Ji & EH
ell égale a la moj¡ié du grand axe.
Llo . L'aire d'une ellipfe ell a ce lle du eerele cir–
con[erit D m K, c" mme le petit axe ell nu grand axe.
11 en ell de meme de toutes les parties eorreCpondan–
tes M 1K, m i K de ces memes aires. Cette propriété
fu it de celle-ci, que chaque demi-ordonnée M 1 de I'el–
Jipfe , efl a la demi-ordonnée m I du cerele dans la rai–
lon du pedt axe au grand . Ce Ceroit le , colltraire, ti
on comparoir un cerele " une eltip[e circonCerirc, c'ell–
,,-dire qui auroit pour petit axe le diamerre de ce cer–
c1e .
12°. T o us les parallélogrammes décrits autou l' des
diametres conjugués des ellipCes, font égaul emr'eux .
L e parallélogramme ..(A" s (jig. 14.) par ex. mple. ,
ell égol au parall élogramme .~. 9. M. Eu)er a érendu
cette propriéré :. d'autres courpes. l/o)'. le premier '/Jo- .
¡"me de /' hifloire Franfoife de l' nca"émie de B erlin ,
174j'·
13°. Si la ligne droite B l pa(fam par l'un des fo–
yers , fe meut en telle Corte que l'aire qu' elle décrit
foit proponionnelle au tems, le mouvemenr angulaire de
B H amour de I'autre foyer, 10rCque I'ellipfe ne di¡fe–
re pas beaucoup du cerde , ell fOrt approehatlt d' etre
uniforme ou égal. Car nne cllipCc qui difiere peu
d'un eerele, les Ccélcurs que\conques B ID , F 1 D , &e.
font entr'cuN 3 tres-pelt pres comme les ~ngles COrre–
fpondans B H D . I/o)'<z Inft. aftro". de M . le Mon–
nier, Pfl$' j 06. & fui'/J.
Defmption de l•• parabole. r I.. K (jigICre Ij'. fea.
ron;q.) ell· une équerre don t on -fair mouvoir la bran–
che r L le. long d' une regle fixe r 1; P F ell un fil
dont une extrémité ell atrachée en X :\ cette équerre ,
&. I'amre en F a un point fixe F. Si pendan¡ le mou–
vement de cette équerre o n tend cootinuellement le fi 1
par le moyen d'un (l ylet P, qui ruive toOjours I'équer–
re, le l1ylet Merira la cDurbe appellée parabole .
La Iigne L l ell nommée la dil'earice; F le foyer;
le poim T qui diviCe cn deux parties égales la perpeo-
CON
diculaire F 1 a la direélrice , ell le [ommet de la ps–
rabole. La droite T F, prolongée indétinimen t, I'axe .
Tome liglle comme 11 i parallde á I'axc , eU appel–
lée un diametrc. Les lignes comme H I term inées :.
dcux poinrs H, I de I'ell ipfe, & menées ~ara!lelemenr
a la tangente au [ommet d'un diam<tre, [o nt les or–
données a ce diametre. L es parties ; q [001 Ics abfcif–
Ces. Le quadruple de la dillance du . point i' au poiot
F, ell le parametre du diametre in: d'otl iI fuir que le
quadruple de FT en le parametr< de I'axe, qu'on ap–
pelle auffi le p.rametre de la parabole.
Propriétis de la p~rabo/e . 1u. L es ordonnées a un
dinmetre que\conque, COOl toltJours coupées en deux
pardes égales par ce diametre.
20 . L es ordonnées a I'axe lui fOil! perpcndiculaires ,
& fom les feules qui Coiem perpendiculair.s A leur dia–
metre; les autres [ont d' autant plus obliques, que le
diametre dont elles fom les ordonnées , ell plus éloigné
de I'axe.
3": -'te quarré d'unc demi-or.donnée que\conque q /,
ell égal au reaangle de l' abfel(fe correCpondante ; '1
par le parametre du diametre in de ces ordonnées: c'ed
de ccue é$alité qu' ell ¡iré le nom de la par.abo1é ,
<cnl.p~{&oA~ , hgnifiam Iga/lté OH comparaifon.
4° . Le parametre de la parabale, c'.ell-a-dire le pa–
rametre de I'axe, ell égal i\ I'ordonnée ií I'axe, laquelle
parTe par le foyer F, & fe termine de part & d'autre a
la parabole .
So. L a dillanee P F d'un point quelconque P de la
parabole au foye r F, ell él'ale a la diOan~e P L du
m eme poim it la direélrice tI: cette propriété 'fuit é–
videmmem ,de la deCcription de la combe.
6<>. LorCque l'abCcifi'e cll égale nu parametre, la de-
mi-orcionnée ell auffi de la ml'me longueur . .
7°. Les quarrés de deu K ordonnées au mi'me diame–
tre, qui réponden t il deuN différel1s points de la para–
bote, fOil! emre cux dalls la meme proponion que les
d~ux abfci(fes de ces ordonnées.
8°. L'angle hi n entre la tangente he au poiO! quel–
~onque j, ~ ,le dinmerre ; 11 3U rneme poior, en roil–
Jours égal a 1angle ti F, que certe tangente f.~it avcc
la Jigne i F tirée au foyer . Ainfi, (j R i I repréCenre
la furfnce d'un n1icoir, expofée nu! rayol1s de In miere
de maniere qu'i1s viennent parbllelelneut 3 lt axe ils fc–
roO! tans refléchis au point F, on i1s bri\leront par leur
réunion: c'ell ce qui fait qu'on a nommé ce point le
f oyer. Vo)'ez M 1 ROl R A R D E N T • •
9°. La parabole ell une courbe qui s'étend a l'infini
a droite & :\ gauche d.e ron axe.
10°. La parabole a me[ure qu'elle s'éloigne du Com–
met, a une direélion plus approchame du paralleli[me
a l'axe, & n'y .rrive jamais qU'apres un cours intini .
110. Si deux paraboles om le meme axe & le me–
me Coromet, leurs ordonnées ii I'axe réponqam aux me–
mes abCcitfes, feront toltjours entr'elles en "iCoo fous–
doubJ<'e de leurs parametres, ainti que les aires termi-
nées par ces ordonnées. .
n O. L a valeu;' d' un eCpace que\cooqne i'lJi, ren–
ferm é emre un arc de parabole , le diametre i'l l1U poillt
i, & 1'ordonnEe H 'l au point Ji, ell taajours le dou–
ble de l'eCpace I h H renfermé emre- le mcme arc ; H,
la tangente i h , & le parallcle h H ii ir; ou Ce qui
reviel1l au meme , l'eCpaee i H 'l d! toOjours les duux
tiers du parall élogrammc circonferit .
13°. Si d'un point quelconque H de la parabole , on
mene une tangente H m a ceue courbe , la panie i m
compriCe entre le poin r oll cecte tangente renCOntre un
diametre quel conque & le point i fommet de ce dia–
metre, ell to(lJours égale a l'abCcille i'l, qui répolld:i
l'ordonné q H de ce diametre pour le poim Ji .
14° . Toutes les parabol es Com Cemblables entre elles
& de la memc eCpece, ain u que' les cereles.
1,° . Si on fait paffer un diametre par le cpncours
de deux tangentes quelconques , ce diametre divifera en
deux parties égales la ligne q ui joint les deox poin ts
de COntna: cette propriété ell commune :i toutes les
{ellionJ ,o'Jiqll~J.
DeJCJ'iption de I'hyperbole. L a regle 1 B T (jig. 16.)
ell attachée au point tixe 1, autaur duquel elle a la li–
berté de taumer. A l' extrémité T de ceue regle en
auaché un 61 H B T, dont la longueur ell moindre
que IT; I'aulre bout de ce fil ell auaché :l un autre
poim fi xe H, dom la dillance au premier 1 ell plus gran–
de que la différence qui ell entre re lil & la regle I T ,
&. plus petite que la longueur de cette regle. Cela po–
fé , ti pendant que la regle IT tourne autOur du point
I on tend cominueltemeO! le 61 par le moyen d'un fly.
let