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e = e , & A e = a e, alors B =b ~ A B = a b, &
he = B e. Enfin íi dans deux triangles .fphériques
AB= ab, A e=ac ,& B C=bc; donc A feraégal
:z a , B =b & e =e : les démooarations de ces
propriétés font les memes que celles des propriétés
femblables qui fe rencontrent dans les triangtes plans;
car les propoíitions [ur l'égalité des triang1es ¡;eaili–
goes s'etendent atous les alltreS, &c.pourvu queleHrs
catésfoienrfemblables. Voye{ TRIANGLE .fphérique
ifoceLe.
2 0. Dansun triangle A B e ~ jig. " . les angles a13
haCe B & e font égaux; & íi dans un triangle fphéri–
que les angles B & e a la bafe B e font égaux, le
triangle ea ifofcele. '
3Q. Dans tour triangle fphériqut chaque caté eíl:
moindre qu'un demi-cercle; deux catés quelcon–
ques pris enfemble font plus grands que le troiíieme;
tous les trois catés pris enfemble font moindres que
la circonférence d'un grand cercle, le plus grandca–
té e11 toujours oppofé au pltl;S grand angle ~ & le
moindre caté au moindre angle.
4°. Si dans un triangle fphérique B.A e, jig. '3 ,
deux cat 's A B & B e pris enfemble font égaux a un
demi-cercle, la bafe A e étant continuée en D , 1'an–
gle externe BCD fera égal al'angle interne oppofé
B Ae.
Si deux catés pris enfemble font moindres ou plus
grands qU'UIl demi-cerc1e, l'angle externe BCD fera
moindreou plus grand que l'angle interne oppofé A,
& la conver(e de toutes ces propoíitions ea vriúe ;
favoir, íi l'angle BCD ea égal ou plus grand, ou
moinclre que A, les catés A B & B e iont égaux , ou
plus grands-, OH moindres qu'un demi-cerc1e. .
. 50 . Si dans un triangle .fpherique A B e ~ jig. 12.
deux catés A B & B e fonr égaux a un demi-cerc1e ~
les angles él la bafe A & e font égaux a deux angles
droits;íi les cotés fontplus grands qu'un demi-cercle,
les angles font plus grands que deux droits ; & íiles
cotés font moindres , les angles font moiqdres, & ré–
ciproquement.
, 6 Q. Dans tout triangle fphérique chaque angle eíl:
moindre que deux droits; & les trois enfemble font
moindres que fix angles droits, & plus grands que
deux.
.' 7°. Si dans un triangle .fphérique B A e, les catés
'A B & .(J e font des quarts de cercle, l~s angles ala
hafe B & e feront des angles droits; íi l'angle A
compris entre les catés A B & A e eíl: un angle droir,
B e [era Ufl quart de cercle; íi A eíl: un angle obtllS ,
B e [era plus grand qu'un quart de cercle; & s'il eíl:
aigu , Be fera moindre , & réciproquement.
. 8°. Si dans un triangle.fphérique reaangle, le coté
B C, fig 14. adjacent a. l'angle droit B , eíl: un quart
de cercle, l'angle A fera un angle droit ; íi B E ea
plus grand qu'un quart de cercle , l'angle A fera' ob–
tus ; & íi B D eíl: moindre qu'un quart de cercle ,
l'angle A fera aigu, & réciproqu~ment.
9°' Si dans un triangle fphérique reaangle chaque
coté eíl: plus grand ou plus petit qu'un quart de cer–
de, l'hypothénufe {era moindre qu'un quart de cer-
de , & récipr0quement. ,
10°. Si dans un trianglefphérique.A B C,jig. d. rec–
tangle feulemenr en B , un coté e B eíl: plus grand
qu'un quart de cercle, & l'autre coté A B moindre ,
l'hypothénufe A B fera plus grande qu'un quait de
cercle, & réciproque.ment.
11°. Sidansun triangleJPhériqueobliquangleA Be,
fig. ,6. les deux angles ala bafe A & B , {ont obtus ou
aigus , la perpendiculaire e D qu'oñ laiífera tomber
du troifieme angle efur le coté oppo{e A B, tombera
dans le'triangle ; íi l'un d'eux A efi obtus , & l'autre
B aigu, la perpendiclllaire tombera hors du triangle.
12°. Si dans un trianglefphdrique A Betous les aa–
gles A, B , & e font aigu~, les cotés font chacun
SPH 455
moiildres qU'Ufl. quart de cerde. Ainíi, fi dans un
tri~ngle fphérique obliqll~ngle un coté ea plus grane!
qu un quart de cercle., 11 ya un angle obtus íilV-oir
celui qui eíl: oppofé él ce caté. '
130 . Si dans un trianglefphérique A eB deux an–
gles A & B {ont obtus ~ & le troiiieme e ~igu les
catés A e & e B QPpofés aux catés obtus Con; plus
grands gu'Ul'l qu~rt de cercle; ainíi íi les deux catés
font momclres "l.u un quart de c-ercle , les deux angles
font aigus.
14°. Si dans un triangle.fphériquetous les ca~s font
plus grands qu'un quart de cercle , ou-bien s 'il yen a
deux plus grands , & un GIui foit égal a un quart de
cercle , tous les angles font obtuso
A 1,50
• Si dan~ un trianpleJp/¡ériqlle obliquangle deux
cotes {ont momdres qu un quart de cercle & le troi–
fieme plus grand, l'aagle oppo{é au plus'grand fera
obtus & les autres aigus. Wo/f & elzamhers.
Sur la réfolution des triangles .fphériques, voye{
TRIANGLE.
Les propri.étés des triangles.fplzériquesfont démon–
trées avec beaucoup d'élégance & de fimplicité dans
un petit traité qui eíl: imprimé él la fin de l'introduélio
ad veram Aflrono17liam , de M.Keill. M. Deparcieux,
de l'académie royale desSciences de París & de celle
de Berlin, a donné au public en 1741 , un traité de
Trigonométrie .fplzérique , in-4°. imprimé a París chez
Guérin ; 1'auteur démontre. dans cet ouvrage les pro–
priétés des triangles fplzériquef, en regarda nt leurs
angle!i comme les angles formés par les plans qui re
coupent au centre de la [phere, & les cotés des
triangles fphériqu,es comme les angles que forment
enrr'elles les lignes tirées du centre de la [phere aux
, extrémités du triangle ; c'ea· a· dire qu'il fubaitue
aux triangles {fhériques des pyramides qui ont Ieur
fommet au centre de la fphe_re. L'académie royale des
Sciences ayant fait examiner cet ouvrage par des com–
miifaires qu'elle nomma a cet effet, a jugé que
quoique l'idée de M. Déparcieux ne {oit pas abfolU'–
ment nouveUe, & qtr'elle l'ait obligé de charger qtHil–
ques-unes de fes démoníl:rations d'un aífez O'rand dé–
tail, elle lLii avoit donnémoyen d'en éclairgir & d'en
fimplifier un plus grane;! nombre d'autres , & que cet
ouvra~e ne pouvoit manquer d'etre fort utile. (O)
L'aitronomiefphériqlle efi la partie d€ l'Aíl:wno–
mie qui coníidere 1'Ilnivers dans l'état oll1'reill'a~
per<;:oit. Voye{ ASTRONOMIE. I
L'aíl:ronomie .fphérique comprend tous les phéno–
menes & lesapparences des cieux& des corps.célef–
tes, telles que nOlls les appercevons, faos en cher–
cher les raifons & la théorie. En qlloi elle ea diain–
guée d'avec 1'Ilfironomie théorique, qui coníidere
la íl:ruaure réelle de l'univ.ers , & les caufes de fes
phénomenes.
Dans l'aíl:ronomie fplzérique on conc¡oit le monde
comme une furface .fphérique concave, au centre de
laquelle eíl: la terre , autour de laquelle le monde vi–
íible,tourne avec les étoiles & les planetes, qUl font
regardées comme attachées a fa circonférence; &
c'ea fur cette fuppoíition qu'on détermine tous lelO
autres phénomenes.
L'aíl:ronomie théor\que nous apprend par les loís
de l'optiqlle , &c. acorriger ces appan~nces, & él ré–
duire le tout a un fyíl:eme plus exaa.
eompas fplzérique ~ voye{ COMPASo
Géométrie .fphérique eft la doéhin~ de la fp'here &
partic~11ierement des cercles qui font décrirs [ur fa
furface , avec la méthode de les trace.r un plan,
&. d'en mefurer les arcs & les angles quand on les a
tracés.
La Trigonométrie fphériqu.e eíl: l'art de ré{oudre les
trianales fplzériques , c'eíl:-a-dire , trois chofes éra nt
donn¿es dans un triangle fphérique, trouver tout le
reíl:e ; par exemple , deux cotés & un angle étant