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e ·o

· au

c~ntre,

auffi bien que ceux de l'eTiipfe, 1oais avec •

ette différence que c'efl en-dehors de la courbe.

On peuc s'iníl:ruire des principales propriétés des

ftRions coniqiUs,

dans

1'application

d~.

l'Algebre

·Géométrie,

par M.-Gtúfnée: ceux qtu voudront les

-·apprendre plus ·en détail' auront rccours

l'ouvrá–

~ge

de M. le marquis

l'Hopital , qui

pour tirre ,

-~raité

analytique des fiEl•or.s comquu:

enfin o

trou–

Vera les propriétés des

fiElions coniqms

traitées fort

·au len<> daos l'ouvrage

in-folio

de M. de la Hire ,

-quj a

·p

our

~itre,

.r;aiones co_nica ín novern Libros dif

~ributre ;

ma1s les demoníl:rat1ons en font pour la plu–

-part tres-longues, & pleines d'tme fynrhefe difficile

embarraffée. Enfin M. de la Chapelle, de la fo–

ciété royale de Londres, vient de publier fur cette

matiere u n traité iníl:ruélif

affez court, approu–

vé par l'académie royale des Sciences.

Les

fiElions coniques,

en y comprenant le c<:ercle,

·compofent

tout

le fyíl:eme des lignes du fecond or–

dre ou courbes du premier genre, la ligne droite

·étant appellée

ligm

du premier ordre. Ces lignes du

fecond ordre ou combes du premier genre, font

..:elles ·dans l'équation defquelles les ind: rerminées

x ,

y ,

montent au fecond degré. Ainfi pour repréfen·

-ter en général toutes les

Jefliolls co!liques

il faut

-prendre une équation dans la quelle

x,y,

montent

'<!U

(econd degre ,

qui foit la.plus compofée qui fe

puiffe; c'efi-a-dire qui contienne, ourre les quarrés

-x

x &y y,

1°

le plan

y ,

2°

un terme qui renfer–

'lne

lineaire, 3° un terme qui contienneylineaire,

enfin u n terme tout confia nt. Ainli l'équation gé–

'llérale des

fiElions coniques

(era

y +p xy + hxx + ex + a=o.

+ 'IY

.Cela p0fé, voici comment on peut réduire cette

é quation

repréfenter quelqu'une des

fiflions coni–

,ryues

en particulier.

Soit

y +

pzx

={,

on aura

t { -

x x -

Equation qu'on peut

changer en celle-ci

{{+ A

x x

B x

C=o.

On verra facilement

que les nouvelles coordonnés de la courbe font {,

une autre ligne

qui eíl: en rapport donné avec

deforte qu'on peut fuppofer

x= m u ;

ainfi l'équation

p our les coordonnées {,

Cera

{ {

+D u u + Fu+ G= o.

Or ,

1°

D =o ,

la courbe efi une parabole:

2°

efl négatif, la courbe efi une ellipfe;

elle

fera un cercle , fi

= -

que l'a ngle des coor–

données

foit d!'oit: 3° fi

eíl: pofitif, la cour–

b e fera une hyperbole. Au refie il artivera quelque–

fois que la courbe (era imaginaire, lorfque la valeur

de { en

Cera imaginaire.

C'efi ainfi qu'on pourroit parvenir a donner un

'traité vraiment analytique

desfi flions coniques;

c'eíl:–

a-dire ou les propriérés de ces courbes feroient dé–

duites immédiatement de leur équation générale,

non pas comme dans l'ouvrage de M. le marquis

de l'Hopital, de leur defcriprion fur un plan. M.

l'abbé de Gua a fai t fur ce fujet de fort bonnes ré–

flexions dans

Con

ouvrage intitulé,

uj'agts dtl'analyfi

de D <fiarus

trace le plan d'un pareil trairé.

M. le marquis de I'Hopiral, apres avoir donné

dans

~';s,

rrois premiers li vres de fon ouvrage les

pro.pneres de chacune des

fiñions coniques

en parti–

culier.', a. confacré le quarrieme livre

expofer les

propnetes qu, leur fonr communes

roures: par

exemple ' que

l OU!CS

les Ordonnées

Un meme dia–

metre foienr coupécs en deux également par ce dia–

metre, que les tangentes aux deux exrrémirés d'une

meme ordonnée abom!lfent au m' me point du dia–

¡nerre ,

&c.

CO N

f:e's anciens avoicnr confidéré d'abord les

ftélioll.l

comques

dans le cone ol1 elles font nées;

la mcil–

leure maniere de traiter ces combes fcroit pcur- ·tre

le~ env~fager

d'abord dans le cone,

d'y

cher hc.r

leur equat1on,

de les tranfporter enlnitc fur le

plan pour

t~ouver

plus facilcmenr par le moyen de

cette équauon leurs aurres propriétés ; c'dl e que

M. de la Chapelle s'efi propofé de faire dans l'ou–

vrage dont nous avons parlé.

Quelques auteurs , non contcns de démontrcr les

propriétés des

fiflions coniqms

fur le plan ont

11 •

core cherché le moyen de démontrer ce>

pr~prit!rt!s

en conlidérant les

ftilions co11iques

dans le

~one

m :

me. AinC.

le marquis de l'Hopiral

conlacrc! le

fixieme livre de fon ouvrage

taire voir commcnr

:etrouv~

dans le

folid~

les memes propriétés des

fiñ•ons comqt,.s

démontrees fur le plan: ti a rcmpli

cer objer avec beaucoup de clarté

de fimpli iré.

D ans cet article nous avons envilagé les

ftéLo11s

coniques

de la maniere qui demande le moins

ap–

pret, mais qui n'efi pem-erre pas la plus naturelle:

la méthode que nous avons fui

e convenoir mieux

a un ouvrage rel que celui-ci;

celle que not¡s pro–

pofons conviendroit mieux aun ouvrage en forme

Ú1r les

[<flions coniques. Voy•{

arriclu

CouttDE,

-LI EU,

STRUCTI ON,

6·c.

Pour démonrrer les propriérés des

fiaions coniques

dans le cone, il efi bon de prouver d'abord que tome

fiflion conique

efi une courbe

u fecond ordre , c'efi–

a-clire oh les inconnues ne forment pas une équa–

tion plus haute que le fecond degr.!.

cla fe peut

•

prouver tn!s-aifément par

A\gebre, en imaginant

un cercle qui ferve de hafe

ce conc, en faifant les

ordonnées de la

fiilion

CO!Jiqru

parallcles

celles

c\U

cercle ,

en formant des

rriangle~

femblables qui

ayent pour fommer commun celui du cone,

pour

bafes les ordonnées paralleles ,

&c.

Nous ne faifons

qu'indiquer la mérhode: les leéleurs intelligens la

trouveront fa ns peine;

les autres peuvenr avoir

recours

la théorie des

otnbres

dans

l'ouvra~e

M. l'abbé de Gua , c¡ui a pour

ritre ,ufagtsdc l'analy–

fi de D efiarus,

&c.

Cela bien démontré , il efi '\tiftble que la feflion

d'un cone par un plan qui le traverfe entieremcnt ,

ne peut erre qu 'une ellipfe ou un ccrcle

c.ar

certe

feélion renrre en elle-meme,

ne fa urott

err

e par

conféquent ni hyperbole ni parabole; de.

p~us,

{oA

équation ne monte qu'au fecond degre, amí1 el/ene

peur erre que cercle ou ellipfe. Mai.s on n'a pas rrop

bien démontré danS que! cas Ja feé\100 en

cercle

ou une ellipfe.

1°.

Elle efi un cercle, lorfqu'elle efi parallelc

la bafe du cone.

2°.

Elle efi encore un cercle, lorfqu'elle forme

une feaion fous-contraire,

lorfqu'elle en de plus

perpendiculaire au rriangle paffant par l'axc du co–

ne'

perpcndiculaire lui-.meme

la bafe; cela en

démontré dans plufieurs livres.

Y oy<{

Sovs-CON–

TRAIRE.

3 o. 11 eíl: aifé de conclure de la

démo~nrauon

u·

on donne d'oPdinairc de cene propoC.uon,

qu on

peur voir, fi J'on veut, dans le

traiti desfif!ions co–

niqucs

de M. de la Chapelle, que route

~ea1on.

per–

pendiculaire au rriangle par l'axe,

q~t

ne fatt .pas

une feé\ion fous-conrraire , efi une ellipfe. Ma15

la feé\ion n'efi pas perpendiculaire

ce rriangle '·

•!

devienr un peu plus difficile de le démontrcr. Votcl

commenr iJ faut s'y prendre.

En premier lieu,

dans cetre hyperbole

laftaíon

conique

paffe par une aurre hgne

qu~

celle que t? r?'e

la Ceaion fous-contraire avec le mangle par

axe ,

il efi aifé de voir que le produit des tcgmcns de deux

lignes rirées dans le plan de fa courbe ne fcra paJ

égal de part

d' urre;

qu'atnfi la courb n'e