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CON
-en attachant la regle en
H,
au lieu de l'attacher en
I,
feroit l'hyperbole oppofée
a
la premiere.
Le rapport gui eíl: entre la diíl:ance des points
H
&
l
,
& la dilfercnce du lil
a
la regle, eíl: ce qui ca–
raélérife l'efpece de l'hyperbole.
Il
y a une autre maniere de décrire l'hyperbole,
qui rend plus facile la démoníl:ration de la plltpart de
fes propriétés. Voici cette méthode.
LL
&
M M
( fig.
'7·)
émnt deux droites qucl–
~onques
donnécs de pofition qui fe coupent en un
poi nt
e,
&
e
D de
un parallélogramme donné,
fi
on trace une courbe
e
D
¡,
qui ait cette propriété
qu'en menant de chacun de fes points
e
les paralle–
les
ed ,
&
ec
aL
L
&
M M,
le parallélograme
e e
de
foit égal au parallélogramme
De
e
d,
cette courbe
fera 'une hyperbole.
La courbe égale & femhlable
a
cette courbe que
-l'on décriroit de la meme maniere dans l'angle op–
pofé des lignes
M M, L L,
feroit l'hyperbole oppo–
fée.
Les deux hyperboles que l'on décriroit avec le
meme parallélogramme entre les deux autres angles
qui font les complémens
a
deux droits des deux pre–
miers , feroient les deux courbes appellées les
hyper–
boús conjuguées
aux premieres.
Voy<{
CoNJUGUÉ.
Le point
e
Ottles deux droites
M M, L L,
fe ren–
contrent , eíl: le centre de toutes ces hyperboles.
T oute ligne paiTant par le centre, & terminée aux
-deux hy perboles oppofées, eíl: un diametre de ces
nyperboles.T outes les droites menées parallelement
a
la tangente au fommet de ce diametre & terminées
par l'hyperbole, font des ordonnées
a
ce diametre; & •
les parties correfpondantes du prolongement de ce
diametre, lefquelles font terminees par le fommet de
ce diametre & par les ordonnées, font les ahfciiTes.
Un diametre quelconque de deux hyperboles op–
pofées, a pour diametre conjugué celui des hyper–
boles conjuguées, qui a été mené parallelement aux
ordonnées du premier.
Le parametre d'un diametre quelconque , eíl: la
troifieme proportionnelle
a
ce diametre &
a
fon
conjugué.
Les lignes
L L, M M
font appellées les
aJYmpto–
tes ,
tant des hyperboles oppofées que des conju–
guées .
.Voy<{
ASYMPTOTE.
Propriétés de l'hyperbote.
1°.
Les ordonnées
a
un
-diametre que!conque font toujours coupées en deux
parties égales par ce diametre.
:>.
0
•
Les ordonnées
a
l'axe font les feules qui foient
perpendiculaires
a
leur diametre;les autres lont d'au–
t ant plus obliques , que le diametre eíl: plus écarté
de l'axe; & en comparant deux hyperboles de dilfé–
r entes efpeces , les diametres qui feront il meme di
f.
tance de l'axe, auront des ordonnées d'atttant plus
obliques, que la dilférence de l'angle
LeM
a
fon
complément fera plus grande.
3°.
Le quarré d'une ordonnée
a
un diametre quel–
conque eíl: au quarré d'une autre ordonnée quelcon–
que au meme diametre' comme le produit de l'abf–
cüfe correfpondante
a
cette premiere ordonnée par
la fomrne de cette abfciíre & du diamefre,eíl: au pro–
duit de l'abfciiTe correfpondante
a
la feconde ordon–
née, par la fomme de cette abfciíre & du diametre.
4
o.
Le paramerre de l'axe tranfverfe eíl: égal
a
l'ordonnée qui paiTe par le foyer.
5o.
Le quarré d 'une demi-ordonnée
a
un diamerre
eíl: plus grand que le reétangle de l'abfciiTe corref–
pondante par le parametre de ce diametre. C'eíl: de
cet exces , appellé en Grec
J11tpCo~~ ,
qu'eíl: venu le
nom de
!'hyperbole.
.
6°. Si d'un point quelconque
B (fi¡;.
z6".) on ttre
deux lignes
B H , B l
aux foyers , leur ddférence
fera égale au grand axe; ce qui fuit évidemment de
la premiere de!cription de l'hyperbole.
CQ N
7°.
Si on divife en de_ux parties égales l'angle
H B 1 ,
compfls les deux hgn_es qui vont d'un pomt
quelconque aux foyers, la hgne de biifeél:ion fcra
tangente
a
l'hyperbole en
B.
8•.
Les lignes droites
LL, M M
( fig.
' 7·)
dans
lefquellcs font renfermées les deux hyperboles op–
pofées & leurs
conjugu~es,
fon t afymptotes de ces
quatre hypcrboles , c'eíl:-a-dire qu'elles en appro–
chent continuellement fans jamais les rencontrer
mais <jlt'elles peuvent en approcher de plus pres
qu~
d'une diíl:ance donnéc, fi petite qu'on la fuppofe.
9°. L'ouverrure de l'angle que font les afympto–
tes de dcux hyperboles oppofées , caraélérife l'ef–
pece de cette hyperbole. Lorfque cet angle ell droit,
l'hyperbole s'appelle
équilaure'
a
caufe que fon axe
(
latus tranfverfum)
& fon parametre (
latus reélum)
font égaux entre eux. Cene hyperbole eíl:
a
I'éganl
des
a
mres, ce que le cercle eíl: ill'égard des ellipfes.
Si
par
exemple fu r le
meme
axe, en variant l'axe
conjugué , on coníl:ruir différentes hyperboles , les
ordonnées de ces dilférenres hyperbolcs qui auront
les
m~mes
abfcilfes ' feront
a
l'ordonnée correfpon–
dante de l'hyperbole éqHilatere, comme l'axe con–
jugué eíl:
¡\
l'axe tranfverfe.
ro
0 •
Si par le fommer d'un diametre quelconque
on tire une tangente
a
l'hyperbole' l'intervalle re–
tranché fur cette tangente par les afymptotes , eíl:
toujours égal au diamerre conjugué.
11 ° .
Si par un point que!conque
m
de l'hyperbole
( fig.
29.)
on tire
a
volonté des lignes
K
m
H
rm
R
qui rencontrent les deux afymptotes , on au:a
M R
=m r, H E= m
K :
ce qui fournit une maniere bien
fimple de décrire une hyperbole, dont les
afymptote~
e
Q,
e
T
foient données, & qui paíre par un point
donné
m:
car menan! par
rn
une ligne que]cOn<jllC
K
m.H ,
&
prenant
H E=
m
1(,
le point
E
fera
a
l'hyperboJe. On trouvera de meme un autre point
M
de l'hyperbole, en menant une autre ligne
rm
R,
& prenant
M R
=m r;
& ainfi des autres.
1:2.
0
•
Si fur !'une des afymptotes
O#
(ji¡;.
' 7· )
l'on prend les parties
e I ,
C
I I, e l 1I, e IV, e
V,
&c. qui foient en progreIlion géométrique, & qu'or'l
mene par les points
e
1 , C1
I, e
111 ,
e Ir,
les
paralleles
l
i,
1 l
2,
l l 1
3 ,
1 Y
4,
Y
5 ,
&c.
i\
l'au–
tre afymptote , les efpaces
1:2. , 11 3, l I I
4,
I
Y5;
r
6 ,
&c. feront tous égaux. D 'ott il fuit que
fi
l'ort
prend les parties
e l, e I l, e JI l,
&c. fu ivant
l'ordre des nombres naturels , les efpaces
1
:2.,
1 l J ,
I I I
4,
&c. repréfenteront les Iogarirhmes de ces
nombres.
D e toutes les propriétés des
fiélions coniques
on
peut conclure:
1°.
que ces courbes font tomes en-–
femble un fyíl:eme de figures régulieres , tellement
liées les unes aux autres , que chacune peut daos le
paiTage
a
l'inlioi' changer d'efpecc & devenir fuc–
cel.!ivement de toutes les autres. Le cercle , par
exemple, en changeant inlinim7nt peu le plan cou–
pant, deviene une ellipfe; & l'elhpfe en reculant fon
centre il l'inlini , devient une parabole , dont la po·
firion étant enfuite un peu changée, elle devient la
premiere hXperbole : toutes ces hyperboles vont en–
fui te en s'elevanr, jufqu'a fe confondre avec la li–
gne droitc ' qui eíl: le coté du cone.
On voit,
:>.
0 •
que dans le cercle le parametre eft
double de la dillance du fommet au foyer ou cen–
tre; dans l'ellipfe, le paramerre de tout diametre
eíl:
a
l'égard
de
cette dillaoce dans une raifon qu.i
cíl: entre la double & la quadruple ; daos la para–
boJe cette raifon eíl: précifément le quadruple, &
dans l'hyperbole la raifon paiTe le quadruple.
3°.
Que rous les dtametres des cercles & des el–
lipfes fe coupent au centre & en-dedans de la cour–
be; que ccux de la parabole lont rous para lleles en–
tr'cux
&
a
l'axe; que ceux de l'hyperbole fe coupent