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!les dl'oites B H & B 1 aux foyers , leur fomme fera
égale au grand axe; & 1i l'on divife par la hgne B a
l'angle InH que farrt ces dcux lignes' en ?eUX_Par,–
ties égales., cette ligne na fera perpendtctt!atre a
l'elliple dans le point B.
9°. Un corps décrivant l'elli,pfe D F lC autour du
.foyer H ell: dans fa plus grande dill:ance a ce foyer
H, lorfqu'il ell: en J(; dans Ca p etite, lorfqu'i l
.ell: en D; & dans fes moyennes :ances, lorfqu'il
.efr en F & en E.
10•. De plus, cette moycnne dill:ance FH& EH
.efr égale ala moitié du grand axe.
I 1°. L'aire d'une ellipfe eft a celle ercle cir–
-confcrit D m K, comrne le petit axe l: au grand
.axe. ll en efr de meme de toutes les parties corref–
p ondantes MIK, mi J( de ces memes aires. Cette
propriété Cuit de celle-ci, que chaque demi-ordon–
.née M I de l'ellipfe, efr ala demi-ordonnée m I du
cercle dans la raifon du petit axe au grand. Ce fe–
roit le contraire, íi on comparoit un cercle aune el–
lipfe circonfcrite, c'ell:-a-dire qui auroit pour petit
axe le diameue de ce cercle.
1 :>. 0 • T ous les parallélogrammes décrits autour
des diameues conjugués des ellipfes, font égaux en–
tr'e=.Le parallélogramme a.~ 1' J'(jig.14.) par exem–
ple, ell: égal au parallélogramme •~"B. M. Euler a
étendu cette propriété a d urbes. Voy<{ ü
.prcmier volume de l'hijloire Franfoi.fe de /.'académie de
B ulin, 17+' ·
'3 °. Si la ligne droite B I paífant par l'un des
foyers, fe meut en telle forte que !'aire qu'elle dé–
c rit foit proportionnelle au tems, le mouvemem an–
gulaire de B Hautour de l'autre foyer, lorfq_ue l'e!–
lipfe ne differe pas beaucoup du cercle, ell: tort ap–
prochant d'etre uniforme ou égal. Car dans une el–
lipfe qui differe peu d'un cercle, les feaeurs quel–
conques B l D, FJD, &c. font entr'eux a tres-peu
pres comme les angles correfpondans B H D. Voy<{
Jnfl. ajlron. ¿,M. le Monnier, pag. .Soó. & .fuiv.
D .ji;ri,ption dt la paraboü. Y LK (figure d. feél.
lbniq.) ell: une équerre dont on fait mouvoir labran–
che Y L le long d'une regle fixe Y I; P F ell: un fi!
dont une extrémité ell: attachée en X acette équer–
re, & l'autre en Fa un point fixe F. Si pendant le
mouvement de cette équerre on tend continuelle–
ment le fil par le moyen d'un fry!et P, qui fui ve tolt–
jours !'équerre, le fry!et décrira la courbe appellée
parabole.
La ligne LI efr nommée la dinélria; Fle foyer;
le point T qui diviCe en deux parties égales la per–
pendicu!aire F I a la direarice, efr le {ommet de la
par~bole. La droite T F, prolongée indéfiniment,
l'axe. '
T oute Iigne comme ni parallele al'axe, ell: ap–
pellée un diam<tr<. Les !ignes comme H l terminées
a deux points H, l de l'ellipfe, & menées parallele–
ment a la t angente au fommet d'un diametre, Cont
les ordonnées ace diamerre. Les parties i '1 font les
abfciífes. Le quadruple de la diftance du point i au
point F, ell: le parametre du diameue i": d'ou il
fuit que le quadruple de F T efr le parametre de l'a–
xe, <¡u'on appelle aufli le parametr< d< la parabol<.
. Propriétés dt. la paraboLe. 1°. Les ordonnées a un
diametre quelconque, Cont toujours coupées en deux
part•es égales par ce diameue.
:>.• . Les ordonnées a l'axe lui fon t perpendiculai–
res, ll:' font les feLt!es qui foient perpendiculaires a
leu.r d1amerre; les autres íont d'autant plus obliques
que le diame1re do nt elles fon t les ordonnées efi
plus éloigné de l'axe. '
3°. Le quarré d'une demi- ordonnée que!conque
'i l! ell: éga! au reélangle d~ l'abfciífe correíjJOndan–
re • q , par le parametre dn d1ametre in de ces ordon-
11ées : c'efr de cette égalité qu'eft tiré le nom de la
CO N
parabole, """P"fJ'¡.,~, íignifiant égalitJ ou comparaifon.
4Q· Le parametre de la parabole c'cll:-a-dire le
parameue de l'axe' efr égal a l'ord~nnée al'axe
Jaquel!e paífe par le toyer F & fe termine de par;
& d'autre ala parabole. '
)
0
- La diftance P F d'un point qu que P de la
parabo!e au foyer F, ell: égale a la ance P L dtt
m~me point a la direéhice L 1: cette propriété fuit
évtdemment de la defcription de la courbe.
6°. Lorfque l'abfcilfe ell: égale au parametre la
demi-ordonnée ell: aufli de la mcme longuettr. '
7°. Les quarrés de deux ordonnées au ml!.ne dia–
metre ' qui répondent a deux différens poims de la
parabole' font entre eux dans la meme proportion
que les deux abfciífes de ces ordonnées.
8•. L'angle hin entre la tangente ;, t au point
ue ¡' & le diametre in au meme point' ell:
égal a !'ang!e ti F, que cette tangente fait
vec la ligne i Ftirée au foyer. Ainfi, íi H i l repré–
fente la furface d'un miroir, expofée aux rayons de
lumiere de maniere qu'ils viennent paral!e!ement .\
l'axe , ils feront tous refléchis au p int F , olt ils br!J–
leront par leur réunion: c'ell: ce qui fait qu'on a
nommé ce point le .foyer. f/oye{ MIROIR ARDENT.
9°. La parabole eft une eourbe qui s'étend a l'in–
fini a droite & agauche de fon axe.
J0°. La parabo!e il mefure qu'elle s'éloigne du
fommet , a une direélion plus approchanre du paral–
lelifme it l'axe , & n'y arrive jamais qu'apres un
co s infini.
11 °. Si deux paraboles ont le meme axe & le me–
me fommet' leurs ordonnécs a l'axc répondant aux
memes abfciífes' feront tolljours entr'elles en raifon
Cous-doublée de lems parametres, ainfi que les aires
terminées par ces ordonnées.
12°. La valeur d'un efpacc que!conque i q H, ren–
fermé entre un are de parabole, le diametre i q au
point i, & l'ordonnée H q au point H, eft toujours le
doub!e de l'efpace i h H renfermé entre le meme are
i H, la tan<>ente i h, & le para!le!e hHa i 9; ou ce
·qui revien~au meme, l'efpace i H q ell: toujours les
deux tiers du parallé!ogramme circonfcrit.
1 3•. Si d'un point que!conque H de la parabole,on
mene une tangente H m a cette courbe, la partie i m
comprife entre le point oit cette tangente rencontre
un diametre que!conque & le point i fommet de ce
diarneue' eft toCtjours éga!e a l'abfciífe j 'l, q~i ré–
pond ;) l'ordonnéeqH de ce diametre pour le p01ntH.
14°. T omes les paraboles font Cemblables entre
elles & de la meme efpece, ainíi que les cerdes.
1 ) 0
• Si on fa ir paíler tm diametre par le cóncours
de deux tangentes quelconques , ce diametre divi Ce–
ra _en deux parties égales la lig~e ~ui joint les deu~
pomts de 'conraél: cette propnéte ell: commune a
toures lesfiaion:r coniques.
D ifcription del'li.yperboü. La regle I B T (fig. 16'.)
efr attachée au point fixe I , autour duque! elle a la
liberté de tourner. A !'extrérnité T de cetre regle ell
attaché un fil H B T dont la longueur ell: moindre
que IT ; l'autre bour'de ce fil ell: attach_é aun autre
poinr fixe H , dont la difrance au premter 1 ell: plus
grande que la différence qui efr entre le fil & la re–
gle IT, & plus perite que la longueur de cette re–
gle. Cela pofé, fi pendant que la regle I T tourne
autour du point I on tend continu~llement le lil par
le moyen d'un frylet qui fui ve toíi¡ours cene regle'
ce frylet décrira la courbe appellée liyp.rbolt. .
Les points H &1Cont appellés les.f~m.Lepotnt C
qui divife en deu.x parties égales l'intervalle 1 H ~ll:
le centre. Le point D qui eft celui ou combe le potnt
B lorfque la regle 1 T tombe fur la ligne l H, efi le
fo:nmet de l'hyperbole. La droite D K double de
D C, efi l'axe tranfverfe, la figure S K L ~gaJe & ~em­
blab!e aBDT, que l'on décriroit de la meme maruere