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FRA
(
+ )
Si les déonminateurs des
fralliom
ont un dívi–
feor commuu, ,on peut fimplifier l'opératioo eo cette
forte: Soil
~
&
'..!..
qu'íl faot réduíre
a
meme dénomi-
:
l.
z;
natinn, les dénominateurs
g
e
&
g
k
ayant pour divifeur
comrnuo
g,
JC
multiplie le haut
&
le bas de la pre–
mie
re
par
k
feulemeot,
&
le haut
&
le bas de
la
fc-
úl
& "•·•h".&<f'
conde par
e
eu ement,
1
a1
M
¡ti ·
( + )
Aínfi, 6 j'avois
&
&
!;,
ii
réduire
a
me me déno–
mmatioo, ¡e prendrois d'abord le plus grand commuo
divif<or
8
de
16
&
de 24 (
voyez
D
1
v
1
S
E
u R) ;
en-
fa ite 1'écmois
l=
....L,
&
l.= - 1-
enfu itc je multi·
16
8 •
1
'-4
8 • 3
plierois
le haut
&
le bas de la premiere
frallion
par
3,
&
le haur
&
le bas de la feconde par
2,
&
j'au-
rois
l==~
=2.
&
!..=~
=
1
2
·
&
ainfi
16
ti
\ .(.
1(
,;$
4J ,
24
8
M
3
Jot
l.
48
)
des aurres.
D11
calml
d<J
fralliom .
Ce qui a été dit (
n°.
IX.)
nous mee en droic de foppofer que les quancicés !ur ter–
quelles
il
(era quel1ion d'opérer , ne contienncot que des
frat!iom.
XIII.
A ddition .
Les
frallions
propofées étant préa–
Jablrti)ent rédoitcs
a
la m
eme
dénornination, faite
S
la
íomm
des numérateurs,
&
écrivez au-de1Tous le dé·
nommateur commun.
~+=-+l=" ..,_I 6+J8 =~6=:1.
1
3
4
'14
'14
11
XlV.
s,,.¡¡rat!ioll.
Apres avoir réduit
flparlment
les deux quantités propoíées en une feo le
frallion,
don–
nez
aux
deux
frallions
réfohantes un dénominateor
comtnuo,
&
écrivcl-lt fous la d!fféreoce des numéra–
teors .
!
+
!- ..'..-
.:. ;::3..!. -~=
t86-140
=
46
='l.
4
S
2.
3
20
6
1
:z.o
11.0
6o
( + )
On voit par cette opération que lorfqu'il s'agit
d'additionoer
&
de íoufiraire des
fralliom,
on peut les
r éduirc
~
la meme
d~nominatiou
par la premiere regle
générale, fans s'embarraffer
fi
les dénominateurs ont un
commun diviíeur'
00
non ;
il
fuffira de réduire
a
la
plus fimple expreffion la
f raflion
unique qui íera le ré–
fultat de la deroiere opération. En effet qu'on ait, par
~
a
b
'
f
.
.
d'"'
eKemple,
a
a¡outer:; avec
il:.•
on peot écme
m
!u
e·
a b A;.,+ rft
re mmcnt
----¡;-¡¡:-
,
apres avoir rédoit au meme dé-
nominateor par
In feconde regle, ou en réduiíant au
rn~me
déoominateur par la prcmiere regle
ahg<_
+-
•IJ•
gg • t
., ,,.+c{t
.
=----¡;¡:--- ,
eo rédUICaru
&
divifant le haut
&.
le bas
par
g.
XV.
M,Jtiplication
&
divifion.
Nommant premie–
re
frallioll
celle qui repréfence le multiplicande ou le
dividende,
&
feconde
frallion
celle qui repré fente le
multiplicateur ou le diviíeur , moltipliez terme- a-terrne
la premiere
frallion
par la feconde , dircéte s' il s' agit
de molliplication,
&
reuverfée s'il s'agit de divifion.
Le produit de
¡.X
-J
el1 :
~
.
L
•
d
•
.
'fi
e
J1
•
d
•
d
e
quotJent
e-¡
diVI
e
par -;¡
e
-¡X-¡;
=
T7,
Pour le démontrer , fo it
.¡.
=
p, d'ou
a=
b
p;
&
~
=
'1,
d'ou
e=
d
'1· ..
ll
faut faire voir qu e
~;=
Ad
p
p
r¡,
&
que
¡-,
=
9
.
Or, que daos le premier mernbre de ces deux der·
nieres égalités, au lieu de
a
&
de e,
011
fubfiitue leurs
vnleurs
b
p
&
d
r¡ , oo aura
.
.
.
.
.
•
.
.
.
{
•
5
hp d 9
h d
d une part
e
--¡;-¡¡-
=
p
'1
X
r-;¡
=
p
r¡
.
de 1' autre
S
¡¡ddp
-
f.
X
1:..!..
-
l.
<
9-9
bd-9'
XVI.
Si, pour la divifion on a préféré le renverfe·
f!leOt de
la
fra/lion
qoi repréfente \e divifeur
a
[a pra·
uque ufitée de multiplier en croix , qui au fond
el!
la
meme chofe; c'el1 que la reate préfentée fous ce poio t
de Vtle rend plus
íen fibleme~ll
raiíon d' une efpece de
parad~>:<te
qui a cn\1rume de frnpper les
commen~ans
.
11
arn••e.fouvem dnns la rnultiplicaticm des
fralliotu
que
le _PrOdUit en plus ¡>1!tit que le multiplicande,
&
au coo–
¡ratrc daos leur divifion, que le quoricnt di plus grand
FRA
2 4-7
que le dívídende ;
&.
cela oe peut maoquer d' arriver
tootes les fois que la
fraélion
qui repréleme le muhi–
plicareur ou le diviíeur el1 plus perite que 1' uniré; car
alors íon numérateur e11 plus petit que roo dénomiua–
tcur. Quand done la
fraélion
rel1e direéle da
m In
mul–
tiplication, c'etl le plus petit terme quo multiplie la pre–
m iere
frat!ion,
tnndis que le plus grand la divife: cet·
te premiere
frallion
doir done erre plus diminuée qu'
aogmentée,
&
devenir plus perite . Quand au cuntrairc
la
fraflion Ce
renverfe dans la divilluu , e' d l
le
plu;
grand terme qui multiplie
la prcmiere
f rallion,
randis
qu~
le plus petit la divife; elle gagoe done plus qu'el–
le ne perd,
&
doit devenir plus grande.
XVII.
Soit7
a
diviíer par
~,
le quotieot fera
7
X
i
=
i
:><:
7
=
T.
Ce qui fait voir que quaod le
dividende
&
le divifeur ont un dénominateur commun,
oo peut négliger celui-ci,
&
prendre pour quocieot des
deux
fraflions
celui-meme de leurs numérateurs.
( +)
On peor voir
au
mot
D
1
v
1
s
1
o
N
des remar–
ques íor la divilion des
fratlioltl
les unes par les au–
u
es, ou des entiers par des
fraflio ns;
on
y
a
ex pliqué
tres-clairemeot
&
a
priori
pourquoi un nombre quelcon–
que divifé par une
frallion
,
donne uo quorieot plus
grand que lui. On a
vQ
aufli
att
mot
ExPOSANr,
1
commcot la
frallion
:fe change en
a-
• .
(+) On a prouvé ""
mot
DIVISEUR
(voyez ce
mot,
&
1'
addition
'/"'
on y
11
faite dans
1'
errata d11
einruieme Volume),
que fi deu1 nombres
a,
b,
n'om
aueun diviíeur commun ,
&
que deox aoues nombres
e,
á,
n'aycnt aucuo divifeur comtnuo enrr'eux, ni
a~
vec les deux prerniers; alors daos le produit
n '
les
frallions
i
,
~
n'auroot aucun divifeur commun. De–
la il s'enfuit que
fi
.¡.
en une
fraflion
réduite
a
fes moin–
dres termes ; ; ; ,
¿
&
en général
~
fera au!TI une
¡3
b"
fratlioH
réduite
a
fes moindres termes. D one u'oe
fra–
llion,
foit pure ,
foir mine , élevée
ii
uoe puiiTance
quelconque, dono
e
co(l¡ours une
fraflion
;
done un
nombre cntier qu i n' a point pour racine quarrée, cu–
bique,
&c.
un nombre en tier, ne fauroit avoir une
fraélion
(
méme m ixte
)
pour raeine ; done la
raeinc
d'uo te! nombre ell incommenfurable.
Voyez
1
N
e
o
M·
MENSURABLI! .
XV 111.
C' el1
a
la rnultiplicalion qu' on doit rappel ·
ler la réduélion des
frallions de fraflion,
&
non
a
la
diviúon , comme au ¡cr coup- d' ceil on pourroit erre
tenté de le croire . Prendre en effet les
~
de
~
, n'el1·
ce pas, ce me íemble , divifer
~
par
~
?
Non,
e'
eít
au cootrairc le multiplier,
&
l'on va en convenir . Si l'oo
n'avoit a prendre que le tiers de
~
, il faudroit
(~<'. V
JI.)
multiplier le déoominateur par
3
pour avoir
f,;
mais c'efi
les
deux tiers
qu'il s'agit de preodre. JI faut done dou–
bler ce qu'oo
a
trouvé, c'el1-
a-
dire (
ibidem)
mullÍ·
plier le numérateur par
2 .
La feconde
frallion
i"
re11e
done
dirtlle
dans l'opération, ce qui (
n°.
XV . )
dé·
termine celle-ci
ii
erre une rnultiplicalioo . D one
~
de
l= ~xL-~-.!..
4
3
4
-
J:t
-l.
•
11 fuit qu' ayaot un nombre quelconque de
fraflions
de frallion,
poun•O que ce qui étoit numérareur refie
numérateur,
&
que ce qui étoit dénominareur relle dé–
oom inareur
1
on peut d'ailleurs tranípofer enrr' elles les
fraélions,
&
échanger leurs termes c?mme on
vo~~ra,
fans que la valeur de la fuire en íoa altérée , po11que
les deox termes de la
frallion
qui 1' exprimera
feront
toOjours formt!s reípeétivemenc des meme> faéteurs.
Les~
3
L es
f
L-es~
5
de
i.
de~ ~
4
5
de
!
de
~
5
3
de
:!..
de
i
3
4
&(.
XIX.