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E Q~U
J'ai publié quelques recherches fur ce fujet
dans le tome Y des Mémoires de t'académie de Turin.
(O)
ÉQUATIONS aux différencesfinies. Taylor paroit
etre le premier géometre qui ait coníidéré les diffé–
rences fi.nies. M. Euler ~ fait fur cet objet un grand
nombre de belles & utlles recherches dans fes Infli–
tu.tions de .calcul différemiel; mais il s'efi occupé
fur-tout d'appliquer aux fuítes infinies ou indéfi.nies
la théorie de ces dift'rences, ou réciproquement:
En effet, íi on appelle X une fonétion quelconque
de x, & X' ce qu'elle devient en mettant ponr x,
x + A x ( A efi ici le figne de .la différentiation
comme d pour les équations ordinaires) ; on a éga-
lement X' == X+ A X, & X' == X+ : ~ .6. x +
3
~Axz +
2dx 2 1.2. • •• • •
En effet , fi on cherche avoir X' en X, en or–
donnant la férie par rapport a A X , il efi aifé de V OÍr
qu'on peut prendre ~Y pour le premier terme de
c ette valeur, puifqu'en faifant ~ .6. x =o, X' devient
X l le fecond rerme multiplié par AX doit etre égal
' d . d x· .c. ·r 11. a ce que ev1ent ~' en y 1auant A x =o, c'en-
a-dire ·a. ~: ; le troifieme multiplié par deux efi
égal a ~~~2 , en faifant .6. X=: O' C'efr-a·dÍre, qu'il efi
JdX & . fi d ii .
-;:;¡-;-;--, am t e Uite.
Ce théorem~ dont j'ai déja faít ufage a 1'article
APPROXIMATION, dans ce Suppl. efi dü a M. d'A–
lembert.
Si l'on a A X égal une fonél:ion de x, on a~ra en- .
core, par le moyen de cette expreffion, X en x par ,
une férie infi.nie. En effet, puifque A X connu , que
"'a elle .A== d X A X + - A X 2. + d 3 X
J PP dx - 2.3.dxJ
~- . . X ó x.l. dX
A x 3 , u-c. J'aurat .6. x d x - -=-;-- ---¡-;-
3
• X ddX dX
- -- -d:z. &c. mettant pour -d- L:::.. x fa valeur A
2. 3 X X
ddX ddX - -d-, A x &c. pour -d-A x fa valeur d A-
2 x:z. 2 x
J.d
3
X A x 2. &c. j'aurai X en férie de A & de fes
2 Xz
différences.
Jeme propofe dans la fuite de cet article de traüer
le$ équations aux différences fi.nies d'une maniere
générale & direB:e. On trouvera aux articles Possr–
BLES, MAXIMUM, LINÉAIRES, ce qui regarde leurs
équations de condition , ou de maximum, & la folu–
ti_9n des équations linéaires. J'ai montré a 1'article
.1\ PPR OXIMATION, vers la fin , que leur folution
approchée. dépendoit toujours d'équations linéaires,
. & je me bornerai ici a donner une théorie générale
des équations aux différences fi.nies des (onél:ions qui
peuvent entrer dans leurs intégrales, & de lama–
niere de les trouver rigoureufement autant qu'elles
font poffibles par la méthode des coéfficiens indé–
terminés.
Soit Z, une fonB:ion de x ,y, {, qu'on mette dans
Z au lieu de x, x+ .6. x au lieu de y,y+ .6. y au lieu
de{, {+A {, & qu'on appelle Z' ce que devient {;
alors on aura Z ' = Z + A Z & L:::.. Z = Z 1 - Z.
Si on a une fonél:ion de x, y,{' A x, A y, .6. {, A '-y,
A 2 { ·,&c. A x étant fuppofé conftant, on mettFa dans
cette fonétion Q , x +A x, au lieu de x, y + A y
pour y , { + A { pour { , A y + A 2 y pour A y , .6. {
+A2.z. pour A z, A 2y+A Jy pourA2y,A2{+
A 3 { pour A 2{, & ainfi de fuite , & appellant Q 1 ce
que devient alors Q, on aura Q' =Q +A Q A Q
=Q'- Q.
Soit Z = lx; on aura Z 1 = l x + A x& .6. Z
l x+ ó. x Ax = x+Ax-lx::;l-=lr+-.. ~ X
Q .U 837
SoitZ=:eax,Z'=eax+a x=ea xea ·~:donc
.6_ z =:e e a .~X - 1) e ax; done . X étant COnflant
A z =o toutes les fois que e a X= [.
Soit Z = e a x :z. + b x +e Z 1 = e a x 2 + b' x + e' & z 1
+ A Z' = Z" ==ea x ~ ;-b u x ..... e lorfque X eíl:
fuppofé co~fiant. '
On trouvera de meme que foit Z une fon8 10 n de
e.a x, & e~ x= 1, Z 1 == Z, pourvu que cette fonc–
~Ion .ne (Olt paS telle que p0Uf aVOlf e a X - J =:0,
1l faille prendre a A x ==o, ce qui arriveroit íi z
I
==le a x , ou (e ax) ~, ou contenoit de pareilles
ax ax aó.x
fonB:ions. Soit enfin Z =eNe z 1 =eNe :e ;
done fi e a "eíl: un nombre entier, la. comparaifon
de ces deux équations peur faire évanouir cette tranf–
cendante ' de meme la comparaifon de 3 '4' f~c.
bx
équatiOnS femblables' difpafOltfe ¡¡:a X e ~
2 b X
e a X e ' &c.
Si mainrenant on veut réfoudre le probleme fui–
vanr , trouver l'intégrale fans diff~rences variables
d'l~n~ équation a_ux di~érenc~s finies, on y parviendra
a 1 aide des obfervatwns fmvantes. '
1°. La propofée eíl: produite par la comparaifon
des équations Z ==o-, Z =o,_. 2. Z =o,~ ·n Z ==o.
2 °. 11 n'y a point de fonétion tranfcendante de {,
& y dont la différerice ne le foít, ou n'en comienne
une nouvelle.
3°. x étant une variable dont la différence D. x
efi confiante , au lieu d' me arbitraire fans variable ,
on aura une fonB:ion arbitraire de e ax, a étant tel
queea~x=I.
4o. Une fe ule différentiation pourra, par la com..
paraifon entre la différentielle & l'intégrale , faire
évanouir un terme e P x, p étant quelconque, & la
fonB:ion arbitraire fera le coefficient de ce terme.
Deux différentielles fucceffives , comparées avec
leur intégrale, peuvent faire évanouir un terme
e a x :z. + b x , a & b étant quelconques & de plus un
terme e b' x, b 1 étant donné en a & b, & ainíi de
fuite. La comparaifon de l'intégrale avec la différen-
ax
tielle peut faire auffi difparoitre e N e , & la com–
paraifon de l'imégrale avec deux diffi' rentielles fuc–
bx
ceffives' faire difparoitre e ax e ' & a·iníi de fuiteo
5°. Quoique la propofée ne contienne pas -l x,
cependant l'intégrale de l'ordre immédiatement in–
féri eur, peut contenir x, paree que la différentielle
a · 11 a. x exa e peut contentr un terme conuant a =~
dont l'intégrale eíl: ~ •
X
6°. Si dansun produit Fx. Fx- óx. Fx-
D. l b d x nx ,,
2 x .•. e nom re es termes erant a; ou --.; ; n etant
un nombre entier, on fait x=x+ x, ce produit ne
change pas de forme & efi feulement multiplié par
F x + A x, ou par F x + A x . F x + 2 A x • ... F x
+ n A x; done fi on l'appelle X, on aura X -+x X
==Fx+Ax, x+ D. x, Fx+ 2 ~x ... en nombre
déterminé & , done une feule différentiation peut
faire difparo n nombre déterminé de ces pro–
duits multipliés ou divifés les uns par les autres , en
meme tems qu'une exponentielle & une fonB:ion ar–
bitraire, & de méme deux différentiations peuvent
faire difparoitre une fonB:ion
~-----2 3
F x, F x-A x, F x - 2 A x , &c.
7°. Si la propofée contient des radicaux dans fon
intégrale immédiatement inférieure , eñ différentiant
la propoíi' e, on aura une équation qu~ a_ura deux _in·
tégrales rationnelles de l'ordre immed1atement m–
férieur.
i 0 • Le nombre des arbitraires efl: égal a l'expofant