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EQU
-rle l'ordre de la propofé e ; mais on ne peut pas lni
"fuppofer en général
n
imégrales algébriques de l'or–
dre
n-
1.
En effet, 0n a d'abord le terme
e
a x
~
qu'une
íeuledifférentiation ne pourroit pas faire difparoitre,
ainfi lorfque l'intégra1e de l'ordre
n-
2
doi-t le con–
tenir, une des intégrales de l'ordre
n-
1
le conte–
nant auffi' fa différentielle exaae contiendra
e
b
1
"
•
D'ailleurs (
~
étant le figne de l'intégration par
rapport aux différences finies ,
&
F
x
déíi,gnant une
fonB:ion donnée <le
x),
l'intégrale de 1'ordre
n-
r
peut contenir
~
F
x
,
&
cette. fomme peut ne pas
etre exprimable
e~. te~mes
fims 'par une fonthon
iinie de
x;
alors
fi
1
mtegrale de
1
ordre
n-
2
con–
~tient ~
F
1
x
,
&
que
F'
x
contienne
~
F
x,
il parolt
impoffible d'avoir denx intégrales de l'ordre
n-
1.
Mais
ft
on peut égaler
;E
F'
X
a
une fonB:ion fitlie de
x
&
F
x
plus une fonB:ion
~
F''
x,
F"
ne contenan1
plus
F
x,
on aura alGrs les deux intégrales,
&
comme
ae telles fonB:ions peuvent ebtrer dans la différen–
tielte exaB:e , fans que
x
foit dans la propofée , on
ne
pour:ra fuppofer qu'on ait
n
intégral_es de Fordre
12-
1
qui puiífent la pr0duil"e fans contenir
x & -e
b'
",
n
bu
e
b
"x
,
6--c.
dans leurs différentielles exaétes, o
u
meme des produits indéfinis.
\
-
9°.
n
fuit de-la qil"il faudra ou fnivre la rnérhode
oes intégrations fucceffives 'ou 'bien' lorfqu'on aura
tme
équation.
intégrate de l'ordre
n-
1
qui -contienne
ax
.x
ou
eP
x,
o
u
un produit indéfini, ou
e N
e
,
-fuppo–
fer une at1tre intégrale du meme ordre contient
x
OU
e
p
X'
QU
la fonB:i00 Í!ldéfinie)
&
de plus
e.
axt+b
1
X
&
une fonB:ion indéfinie qui
(n.O.
6)
peutdifparoitre
par deu.¡X différentiarions,
&
ne devient la propofée
-qu'en mettant
-au
lieu de celles de ces quantités qui
refien~
apres avoir comparé cetre nouvelie .inté–
.gral~
avec fa différentieUe, leurs valeut"s tirées ·de
l'équation -intégrale qu'on a trouvée d'abord,
&
fila
2+-bx
'DOUVelle intégrale <:Ontient
ea~
,
&c.
00
fup–
pofera que
e a x
2
+
b
x, &c.
entre ·auffi dans la ti·o.i–
ileme intégrate ,
&
ai-nfi de fuite-o
9°.
On obfervera
que~
~XA~Z:xAZ-~AxAZ+AXA~Z
=
x
A{ -A
xZ +D.Z.
10°.
Pom: intégrer la fonB:ion en
x
purs, on re–
marquera que la différentiation n'en ayant pu faire
évanouir
ni
radicaux , ni fonB:ions tranfcendantes
tQuteS }es fois qu'elle pourra efre exprimée par un-e
fonél:ion finie , cette fonB:i0n fera une.fraél:ion ra•
tionelle de
x
&
des fonB:ions de
x
contenues dat1s la
différentielle ,
&
on l'aura toujours en férie infinie
par la méthode dont j'ai parlé au commencement
de cet article.
1 1°.
Si
une
équation
propofée contenoit des quan–
tités tranfcen<lantes , alors il faudroit les regarder
comme fonB:ions algébriques de nouvelles variables
&
de lenrs différences , enforte que les regardant
-fous ce point de vuela propofée foit encore poffible.
Quel que foit une
équation
aux d:ifférences finíes,
ces prjncipes fuffiront pour l'intégrer par la méthode
'des coéfficiens indéterminés.
Quant aux intégrales qui échappent
a
cette
mé–
thode, on pent dans différens cas trouver des formes
<Íe fonB:ions qui les repréfentent; mais cette difcuffion '
nous entraineroit trop loin.
Si au lieu de favoir que
A
x
efr confrant, on favoit
"qU'il
eft éga}
a
~,
fonél:Íon de
X
&
y,
il n'y auroit
qu'a éliminer
y,
&
on auroit
x
par une
équatiorz
comme ci-deífus, dont l'intégrale contiendroit une
nouvelle variable
x
1
,y
feroit donné par une
équatiorz
femblable,
&
pour avoir
y
en
x,
il
faudroit élimi–
ner
x'. (o)
ÉQV~TlQN~
f.mxditfüm"s
fihi~s
&_
i!ZjinimeJZt pe-
- -
,
-
-
'
E
Q
U ·
tites.
Je donne c-e noma des
équations
quí
c-on( enncnt
outre les variables
y,
&
x
leurs diffc' rences ficies
&
in–
finiment petites, tellcs que
d
x,
dy~
A
x,
dy,
Al:iy,
d Ay,
d
2
y ....
A
ny,
dA
n-
1
y'
&c.
Aucun géometre
n'a encore coníidéré la théorie de ces
équations.
Voici quelques remarques fondamentales qui pour–
ront conduire
a
une méthode de les réfoudre géné–
ralement.
1°.
La propofée pour un ordre
n
de difli' rences
pourra, ú
Z
en eft l'intégrale complette
&
finie
etre rnife fous la forme
aZ+h dZ+
cAZ+ed2Z
+fdAZ.+gA
2
Z ..
~
+P
Jnz .....
+qAnZ=
O.
Il
fuit de cette forme femblable
a
ceUe des
différen~
ces partielles, que la propofée n'a point ponr inté–
grale néceífaire une
équation
de l'ordre
n-
t,
dont
les différentielles combinées entr'elles produifent la
propofée.
p
2
o.
A
X
étant fuppofé cónfiant' les quantités
e
a
X
p
p
bx
étant un nombre entier , o
u
e
a"
e
!)
e
b
e::.
x
étant
un
nombre entier, font les feules qui fe trouvent
également dans
Z
,
Z
+A
Z, Z
+
d Z,
&
par con- –
féquent
fi
dans la propofée
p
&
q
(
n°
1 )
ne font
pas égaux
a
zero
~
e'
eft-a-dire' ft
la
propofée con–
tient
a
la fois des différences nes :finies
&
infi-
-niment petires
~
l'inté&rale ne contiendra point d'au...
tres tran(cendantes
m
d~autres
arbitraires que des
fonB:ions fans variables'
p
pourra etre égal
a
n"-
+
3
ni
1
2
mais jamais plus grand,
&
femblablement pour les_
p
b
X
·fonélions
ed"
e
p
né
póurra
atre
>
n z
+
3
Tt
-
~~
.
2
3
°.
St
la propofée eft telle que les
équations
A
n
z
::.=o
¿n
Z
=o n'entrent pas dans fa formation,
rnais
feulement les
équations
i\
n.-
m
z
=o
d
n-m
1
z
==o,
&
des
équations
au.x différences, partie finies, par–
tie infininíent petites. Alors on pourra avoir une
intégrale qui contiendra
m
tranfcendantes quelcon•
ques, ou un plus grand nombre de tranfcendantes
en.
x
feulement,
&
tel.! es que l'une étant
V
une autre
!01t
V+
t:>.
r,
&
ainfi de fuite, ce nombre étant tou–
¡ou~s f~cile
a
d~terminer
pour chaque otdre'
&
m,
arbitratres paretlles
a
celles des
équations
aux diffé–
rences finies, c'efi-a-dire, qu'on aura pour inté–
grale une fonB:ion aigébrique des variables
&
de
leurs
diff~rences
infiniment petites, dont les coeffi-
,
"
p
1
Ctens pourront etre
e
a
X
'
&
en genéral des fonél:ions
Q
de
x
données par des
équations
aux différences
:6nies entre
x
&
Q.
_ Voyez fur ce fujet les
Mérnoires
de
l'académie de$
fciences,
année
1771.
'
Voyez auffi
l'anicle
ÉQUATIONS
LINÉAIRES
au
mot
LrNÉAIRES,
dans ce
Supplémerzt,
ou l'on con–
fidere quelques atltres hypothefes d'
équations
an:x
différences finies.
e
o)
~·
ÉQUATIONS
empiriques.
On a nommé ainú des
équations
trouvées indép·endamrnent de toute théo–
rie
&
d'apres les feules obfervations d'une planete,
&
.comme elles repréfenteat avec
~xaB:itude
le
mouvement de cette pianete pendant les révolu–
tions obfervées , on en conclut qu'elles pourront les
repréfenter indéfiniment.
Ainfi 1es
équations
de mars, telles que Kepler
les
détermina lorfqu'il trouvá moyen d'expliquer
les
irrégularités qu'il avoit obfervées dans fon cours,
en
fuppofant que fon orbite étoit elliptique, ces
équa–
t-i.orzs,
dis-je, étoient empiriques. Mais lorfqu'en ap–
pliquant cette loi aux a
u
tres planetes
~
i1
prouva que
leurs orbites étoient auffi des ellipfes, alors leurs
équations-
trouvées d'apres cette hypothefe furent des
équations
données par la théorie,
&
non plus des
éq-uations
empirique¡, Ain!i, une
équation
a
qui on a