848 / 960
EQU
.i>uis done que les racines imaginaires font toujourg
en nombre pair,
&
que leur nombre efi égal aux
-dégrés de
l'équatÍQn
,
il s'enfuit:
4
°.
Que toute
équation
dont le nombre des
~é·grés efi impair, doit contenir au moins une racme
réelle.
5°.
Que toute
équation
dont le premier
&
le der–
-nier termes , apres avoir.été tra.nfpofés , <;mt
d~s
fi–
'()'nes contraires, conrient au moms une racme reelle.
'Lorfque cela
arrive,
/1.&
que le non;bre de fe.s
di~en
ftons efr pair, de meme que celUI des raemes tm–
poffibles, celui des racines réelles doit l'etre pa–
Teillement.
6°. Que fi l'on divife une
équation
par l'inconnue,
moins une de fes racines, on la réduira
a
une di–
menúon plus has ; comme toute
équar.ion
contient
aurant de racines qu'elle a de dégrés , il s'enfuit
encore :
·
7°.
Que retranchant le nombre des racines·ima–
:ginaires de celui de fes racines , je veux: dire, du
Romhre de fes dimenfions, le refiant fera celui des
racines réelles.
8°.
Apres avoir trouvé, par le moyen des regles,
les racines réelles , faites la quantité inconnue
x
égale
a
chacune : tranfpofez les termes d'un coté:
mulripliez les
équation.s
les unes par les atttres ,
&
divifez
l'équation
propofée par le produit qui en
réfultera. Faires le quotient égal
~
zero ,
&
vous
aur_ez une
équation
qui renfermera ton tes les racines
impoffibles, fans en avoir aucune de réellé.
On
trouve ra enfuite les racines impoffibles par la mé–
thode qu'enfeigne
M.
de Bougainville dans fon
Traité
du Calcul intégral
,
dans le cinqnieme
&
fixieme
chapitre de fon introduélion. C'eílla meilleure que
je connoiífe.
Elle confiíle
a
partager
l'équation
donnée en deux
autres du rneme nombre de dimenfions ' mais qui ne
·contiennent que des racines réelles , que vous trou–
verez par le moyen des regles, ou autrement au
moyen de quoi , vous aurez toutes les racines im–
poffibles de votre
équation.
Comme peu de gens connoiífent cette méthode ,
il
convient de la donner ici.
L'auteur commence par donner
la
aémonfiration
des dettX propofitions fuivantes.
.
Prop.
1.
Lorfqu'une quantité efr égale
a
zero,
&
compofée de pluúeurs termes , dont quelques-uns
font réels ,
&
les autres multipliés par
V-
1 ,
la
fomme
de
tous les termes réels efi égale
a
zero ; &
celle de tous ceux qui font multipliés par
V-
1 ,
égale pareillement
a
zero. C'efi le foixante-neu–
vieme article de fon
lntroduaion.
Prop.
2..
Lorfqu'une
équation
ne contient que des
racines imaginaires , on peut toujours fuppofer la
quantité inconnue égale
a
m +n
V
-
I '
dans laquelle
m
&
n
font des quantités réelles. C'efr le htútieme
.article de la rneme introdué.1ion.
Par conféquent , pour trouver les racines d'une
équation
telle que celle dont
il
s'agit' il faut mettre
a
la place de chaque incocnue,
x;
par exemple,
m
+
n
V--:-
1 ,
& l'on aura une nouvelle
équation
qui
contiendra les termes réels & les termes multipliés
par
V-
1,
dont le premier & le dernier font égaux
a
zero par la propofition
1.
Faites-le done, & vous
aurez deux
équations
dont il vous fera facile de dé:.
couvrirles deux quantitésm&n, dememe que .celle
oe
X
,
qui par la deuxÍeme propofitÍOn efi: égale
a
m
+n
V-I.
' Voici un exemple qui ferc,t comprendre ce que
j'ai dit dans la premiere partie de cet article. Sup–
pofez que les tacines réelles, découvertes par le
moyen des regles dont j'ai parlé , foient
a
,
h
-
e
~
&c. Faites
x ==a, x
==
b, x =+e
,
&c. Tranfpofez
· les termes,
&
vous aurez
x
-
a
=
o ,
x
-
b
=
o ,
EQU
x
+
e
=
o,
&c.
Multipliez ces dernieres
équations
les unes
p~r
les autres, divifez
l'lquaúon
donnée par
leur produit ,
&
procédez comme j'ai
dir
ci-deífus.
9°~
Le plus grand coefficient négatif d'une
équa–
tion
quelconque , confidéré comme pofitif,
&
an–
gmente de l'unité , excede toujours la plus grande
racine pofitive de
l'
équation.
Par conféquent,
10°.
Si en place de la quantité inconnue
x
de
l'équation,
vous mettez _le coefficient, pris comme
"pofitif
&
augmenté
d~
l'unité, moins
x,
tomes les
racines deviendront pofitives. Dans ce cas
vous
n'aurez beíoin que des regles 9e
la
figure'
,
lont les
centres font
a
leurs extremit 'S ,
&
elles VOUS fuffi–
ront pour tous les cas poffibles; car vous devez
avoir obfervé que les centres de celles de la deuxie–
me figure font autrement difpofés.
1 1°.
Si apres avoir rendu toutes les racines de
votre
équation
pofitive, vous voulez vous év iter la
peine de tranfporter la regle
M M
a
la droite de
R R;
ce qui efi fujet
~
quelque inconvenient
~
je veux
dire,
íi
vous voulez que toutes les racines de votre •
équation
fe rrouvent entre
O
&
T,
ou entre zero
&
l'unité, au lieu de la quantité inconnue
x
de la der.o
niere
équation,
mettez
;~ ,
rnultipliée par le plus grand
coefficient négatif, confidéré comme pofitif & au–
gmenté de l'unité. Par exemple >file plus grand coeffi–
cient négatif de
1'
équation
efr-
9,
inettez
I O
X
a
Ja
place de chaque
x,
& vous aurez une nonvelle
équ·ation,
dont toutes les racines fe trouveronr fur
la
ligne
O T,
fans qn'il foit befoin de la prolonger,
car elles feront moindres que l'unité , je veux dire,
que
·D C
ou
O T;
mais apres avoir ainfi trouvé les
racines , il faut les multiplier par le coefficient
au.–
gmenté de l'unité, c'efi-a-dire,
dans
l'exemple
ci~
deífus , par
1
o , paree qu'ayant mis
1
o
x
pour
x
•
on rend chaque racine dix fois plus p·etite qu'elle
n'étoir.
Ces propofitions font rec; tes de tous les algébrif-
tes , -& n 'onr. pas
b~foin
d'etre ·démontrées.
.
Voici la defcription cl'une machine pou
régfer
le
mouvement d·es ·regles dont j'ai p!rlé : elle n'ell:
que pour les
éqztations
du deuxieme dé<1ré ; mais
on peut également l'employer pour
t~ures
les
au
tres.
·
A
B
C:
D ,figure 4,
eíl un chaffis de fer o
u
d'acier,
compofé de quatre barres de fer aífemblées par leurs
extremités, qui forment
up
parall élogramme reétan–
gle de douze pouces de long fur huit de large , amr
quatre coins duquel font des appllis
E F, G H, I K,
&
L M,
fur lefquels il porte. Sur le coté
A,
ef! un
coulant
N,
qu'on peut arreter avec une vis clans
tel endroit qu'on veut,
&
furlequella traverfe
N O
tourne fur fon centre. Son atltre extr·emiré tient par
le moyen d'une vis avec fon écroue
a
:la
traverfe
p
Q
'
qui efi pareillement arretée fur le chaffis ame
endroits
P
&
Q,
mais de maniere qu'.on peut l'ap–
prócher ou l'éloigner a volonté de l'extremité
A.
Cette traverfe eíl repréfentée par la ligne
R R
de la
premiere figure. Les quatre appuis
E F, GH ,/K,
LM,
portent quatre traverfans
ST, V X
&
Y Z,
fur la premiere defquels efi une boete coulante
o,
qui fer-r de centre a
u
traverfant
a
b.
Le fecond
&
le
troifieme , favoir
U X
&
Y Z,
font pareillement
garnis de deux noix contantes
e
&
f,
qu'on 3rrete
o-ltl'on veur par le moyen d'une vis ,
&
auxquelles
la foie
efeíl:
attachée. f..es troistraverfans
ST,
UX~
A,
ou plntot
la
lign e tracée fur ce]ui d'en haut re–
préfente la ligne
S S
de
lafigure
1
,
&
la
foie
ef,
la.
bafe
z z
de la meme figure.
g
h
i
k
efi un atltre parall élogramme environ deux
fois plus long que le premier' done les cotés
gk
&
h
i,
coulent dans des fupports attachés par des vis
au chaffis
A BCD
,
dont troi
font marqués par les
lettres
t,
m
,
n
,
&
ont des dents triangulaires par-