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dea'vus , depu~ g jufqu'a d, & depuis h jufqufa <J,
lefquelles s'engrainent avec celles de deux roues s
& t de mcme diametre, dont l'axe p r eíl: foutenu
dans de~x endroits, favoir u, & un autre qu'on ne
peut VOir dans la figure. Ces dent.s ferveJI!t a régler
le _mou vem~nt des tr~verfans g k & h i , lorfqn'on
falt mouv01r la machme ; au moyen de quor, les
harres nx _&yz, qui coulent dans deux pieces r &
:1. font tOUJOurs paralleles. Elles font repréfenrées
par la ligne M M de la premiere fioure. Celle de
d~íf?us n;c. eíl: garnie d'une pointe 3 ~ dont l'extr@–
mite fupeneure paífe dans la rainure de lá barre 4,
5 , & l'inférieure par celle de l'alidade N O. Sur la
b~rre ~e deífus y {, eíl: attachée une pointe p-erpen–
d~culatre 6' 7' dont on peut oter la pointe pour y
mettre un crayon; cette pointe repréfente le point s
& la premiere 3, le point r de la premiere figure.
Sur la barre 4, 5 eíl: unboulon rivé 8, qui eíl: placé
dire8ement au-deífus de la rainure de la barre P Q,
& qui repréfente te, le point a de la pr€miere figure.
Les deux traverfans 9, 10 & 1 I, & 12, coulent dans
les fupporrs 13 , 14, 1 5 & 16 , font garnis de dents
triangulaires , qui engrainent avec celles des roues
17 & I 8 , dont l'axe eíl: marqué par les nombte9 19 ,
2.0. Ces roues reglent le mouvement des barres~ &
font que celle qui efr marquée par les chiffres 4, 5 ,
fe meut toujours parallélement ; elle eíl: repréfentée
par la ligne la de la premiete figure. Les coulans e,
f, e, N & R, étant arretés avec des vis dans les
en_droits convenables, felon les coefficiens de l'équa-
tion, ainíi qu'on le verra dans l'article fuivant, en
avanc;rant ou reculant la barre g h, on fera mouvoir
la machine, & la pointe 6, 7 ,- décrira une cou be
qui fera le Iieu de l'équation. Les endroirs oü elle
paífera fous la foie ef, acompter de la ligne ponc–
tuée, qui efr marquée fur la traverfe U X, indi–
fJUer-a les racines réelles ; & le nombre de fois qu'elle
approchera & s'éloignera de la meme foie {ans paf–
fer deífous, rnarquera celui des racines imaginai·
res. Au-deífus des montans E F, G H, 1 K & L M,
font de pe tites pieces :". I , 2 2 & 2 3 , qui empechent
les barres qui coulent deífous de fortir de leurs pla–
ces. Voici maintenant la maniere de reél:ifier la ma–
chine pour une équation donnée.
Arretez les noix e,f, auxquelles la foie e·fi atta–
c.hée a égales diílances des foutiens E F & L M;
avancez en(uite la noix e, qui porte l'extremité de
la barre ah, deforte qu'elle foit plus éloignée du
foutien E F, que-l'endroit ~11. vous a~ez arreté la
noix e, d'un nombre de dtv1fions pnfes fur une
échelle de parties égales , égal au terme connu de
r équation' s'íl eft poíitif' & plus pres s'íl eíl: négatif;
& arretez-la dans cet endroit. Faites enfujte couler
la noix N, qni porte la barre NO, l'éloignant ou
Papprochant du foutien _E_F, plu~ que ne l'e~ la
noix e, d'un nombre de div1íions pnfes fur la meme
échelle égal au coefficient de l'équation, je veux di–
re, celui oh la quantité inconn ue n'a qu\me dimen..,
fion; plus loin íi le coefficient efr pofitif, & plus pres
s'il eíl: négatif. Faites enfuite couler la noix R, qui
fixe l'autre extremité de la barre NO, jufqu'a ce
qu'elle foit plu~ éloignée__ d'une lig?e tirée d~ ~ou­
tien E F aq foutten LM., Je veux d1re, du cote D
du chaffis, que la noix N, d'autant de diviíions que
le coefficient du terme de l'équation, ou l'inconnue
a deux dimenfions l'indique' plus loin s'il eíl: pofi–
tif, & plus pres s'il efr négatif. Pour cet effet , on
aoü graduer le coté A du chaffis , les barres S T,
U X, Y Z & le traverfant P Q, a commencer du
front D. Ces gradations fonr marquées différemment
fur la machine ' mais d'une maniere moins commo–
de. Si l'on obferve les endroirs o\1 la pointe , ou le
crayon 6, 7, coupe la foie ef, a commencer de la
11gne ponauée marquée fur la traverfe U ({; ~
Tome 11,
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qu'on ies mefure fur une échelle , fur laqttelte A dif~
tan e~ ~u trav;rfan! P.~, prife depuis une ligne tirée
d~t ~mheu de 1 extre~ue A de E Fa GH repréfente l'u•
mte ( on peut en vo1r la raifon dans la démonílration
ci-deífus, ou IJ_ e ou O T ,figure 1 , qui marque la dif–
t;m~e ,de cette hgne P Q _de la bar~e A, efr prife poul"
lnmte. ), on aura les racmes que l on cherche. Si l'on
ote la foie ef, & qu'on mette un carton fur la ma–
chine , {ur le deux traverfaos fup ' rieurs U X &
Y Z, apres avoir tracé deífus une ligne qui repré–
fe~te la foie ef, & mis un crayon en place de la
POI!lte 7; ce dernier décrira une courbe, qui avec
la hgne droite donr je viens de parler, confrruira
l'équation donnée. Plus les coefficiens feront grands
( on peut les augmenter autant qu'on veut fans
chaoger les racines, en les multipliant par tel nom–
bre qu'on voudra.) , plus les angles, que la com·be
& la ligne formeront, feront grands; ce qui eft avan–
tageux dans la coníl:ru8ion des équations. Comme il
paroit par la dérrionfiration précédente, qu'en au..
gmentant les barres de cette machine, on peut l'em"'
ployer généralement pour toutes les équations de
quelque d~gré q_t:t'elles puiífent ecre ' on peut l'ap–
peller, a)Ufie htre, un conflr~t~.éfeur univerfel d'équa•
tío~ . ( P)
EQUATIONS DÉTERMINÉES. ( Algebre~ ) Je me
bornerai dans cet article a expofer ce qui a été fait
jufqu'ici fur la foJ.urion générale des équations, dont
on n'a point parlé dans le Diélionnaire raifonné des
Sciences, &c. paree que lorfque 1' articl~ ÉQUA–
TION fut imprimé , les analiíl:es ne s'étoient pas en–
core occupés de cet obj et , comme ils l'ont fait
depuis.
Le premier qttl ait fait que1ques pas dans cette re-·
cherche , ~ft le célebre Tchirfnaus, géometre Alle–
mand, a qui l'on doit la découverte des cauftiqueso.
Il propofa une méthode pour faire difparoitre autant
de termes qu'on voudroit d'une équation propofée
.ear le moyen d'une fubilitution; & il trouva que fi
l'on vouloit la réduire a deux termes' le premier &
le dernier, & faire difparoitre les intermédiaires ,
on feroit dépendre la folution de la propoJ~' e, de
celle d'une é1 uation Yn +A== o, n étant le d 'gré de
la, p~opofée, & A dépendant d'une équation du
degre n- 1 , n- 2 •••• 2. 1.
M. Euler & M. Be1.out, l'un dans le tome Xl
des Mémoires de Petersbourg; l'autre dans les M t!moi–
res de l' Académie des Seiences, pour l'année 1765;
ont pris une autre méthode. lis ont fuppofé que la
racine d'une équation du dégré n, étoit de la for-
n n
me v A + v B . .. le nombre des A, B, &c. étant
n-i; & ils ont trouvé que l'on avoit A par une
équation auffi du dégré n- I ~ n- 2 , n- 3 ... 2 . I.
La folution d'une équation du 5e d ' gré fe trou..
voit done réduite a celle d'une équation du vingt–
quatrieme. Et quoique ( f/oye'{ les R eaherclzes da
M. de la Grange & de M. de Vandermondfl, fur cet
objet. ) cette équation foit réduaible aune du íixie;¡,
me, l'éqrtation du cinquieme dégré n'efi pasrabaiífée
par ce moyen ; & celle du fixieme le feroit encore
moins.
Il reíl:e done ici deux objets a confidérer' l'un lét•
poffibilité de parvenir a cet abaiffement ' auquel
les équations femblent s'y refufer; l'autre les moyens
de rendre praticables les calculs immenfes o\t cette
m 'thode générale doít néceífairement conduire.
MM. \Varing & \Vandermonde fe font occupés
avec beaucoup de fucces du fecond objet. On fait
que le fecond terme d'une équation efi égal a la
[o mme des racines; le troifieme a celle de leurs pro–
duits deux a deux ; & ainíi de fuite. On fait auffi que
ces foñ8ions qui font connues , puifqu'elles font les
coefficiens de la propofée étant données, on pe1.1t en
N N n n n ii