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I'on réduít toutes le-s forces a un cetta ombre
de ñlets femblable~ & égaux entr'eux, par la
faculté qt•'ils om g~ fe raccourcir, compofent la
force meme. Ainfi, lorfq1;1~ le corps eft en équilibre,
~1 faut que les 1jlets de toures les forces qui agiífent
fur luí , foient da[Js leur pJus grande. c,ontraél:ion,
fOnfor,mémept a l'axiom.e ci-deífus. Car , s?i:ls
voient entqre f~ cp.ntratler, ils le feroient,
corps ne feroit pas en équilibre. íi le corps
·eft en équilibre, la cont¡aétion de les filets efr
la plus grande , ou ils q.'en fauroient recevoir, au–
~uqe' ou ce qui revi~nt a~l meme' la íomme de
toute-s les fqrces follicitaA.tes efi la phts petite.
Telle efi done la regle générale, pour trouver
quel deit etre l'état des corps follicités par des forces
quel~onques ~ pourvu qu'elles ne varient point fui-
. vant la d}ílance , añn ·qq'ils foient entr'eux en équi–
ti.bre. Suivant cette regle , on ·confidérera chaque
force a part' 0,11 prendra fur fa direél:ion un point
iixe , & on multipliera la force par la dift,ál\Ce de ce
point au lieu de l'a,pplication de la force ,. ou par la
<iifiance qu'il y a de ce point au .corps fur lequel
elle agit. On aífembl~ra enfuite tous ces produits;
& la íomme qui en réfultera, fera un minimum dans
le cas d,'équilibre. Et réciproquement oq pourra dé–
aermioer par la méthode des plus grands & des plus
. petits , l'état d'iquilibre , lorfque les forces font
confiantes , ou que la quantité N, qui a exprimé
jufqu'ici la force , ne dépend point de la quantité x
qtii a été confidérée comme la variable.
La forée de la gravité eft de ce genre , car {a
variation eft infenfible ade petites difiaoces de la
terre. Si done on coníidere un corps A B, jig. :7,
dont les parties M ne font follicitées a fe mouvoir
que par l'aél:ion de la gravité, fuivant la diretlion
verticale M P, & que l'on preone a volonté fur
cette ligne un point fixe P, qui foit dans l'horizon–
tale N N; on fera la difiance M P = x; & nom·
mant la maffe de la particule M, d M, ce d M
expr~mera en meme tems le poids de la particule
M, ou la force avec laqnelle elle efi follicitée a fe
mouvoir fuivant M P: done x d M efi dans ce cas
le produit qu'il faut mettre a la place de N X ' pour
cette particule ; & partant la fomme de tous les
x d M qui réfultent de tous les élémens du corps,
{era la plus petite, lorfque le corps fe trouvera
en équilibre. Mais on fai.t que 1~ fomm.e de tous les
x d M exprime le pr~dmt du p01ds en~t~r du co~ps,
par la di~ance de fon ce~ltre de gravtte a la meme
ligne honzontale N N. S1 done on. fuppofe que ~
{oit le centre de ce corps , le prodult M X GH, qm
e& égal a la fomme de tOUS les X d M' fera un
mínimum en cas d'équitibre. D'oit l'on voit que les
corps pefans ne fauroient etre en équilibre, a moins
que leur centre de gravité ne foit auffi bas qu'il efi
poffible. ·
La démonílration que l'on vient de donner du
príncipe de l'équilibre, fuppote que l'aétion des forces
{ur les corps ne varie point' a quelque difiance
qu'elles en {oient. Car íi les forces ne font pas conf–
tantes, il faudra fuppofer le nombre des ñlets va–
riable pendant qu'ils fe contraétent, puifqu'on les a
envifagés -comme confervant toujours le m&me pou–
voir. Voicú comment i1 f'aut envifager la chofe dans
le cas·oula fotce varie fuivant les difiances. La force
repréfentée par N X; doit etre décompofée en fes
élémens N d .x ; & comme N, qui repréfente le
nombre des filets achaque dillance Px, efi varia}?le,
q1.1'~n (uppofe ce nombre= P, on aura Pdx pour
l?élément de la force : done l'intégrale S P.d x fera
la jufie valeur qui aoit etre mife a la piace de N X'
quand la force eft variable.
Afin de r~pandre un plus grand jour fur ce fujet,
il fant confidérer comment les formules N x, que
. Tom·e JI.
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les forces conftantes donnent, deviennent un míni–
mum. Cela arrive, lorfque leurs différentielles N d x,
prifes enfemble, évanouiífent : mais dans ces diffé..
reptielles, il n'efr plus queíl:ion íi la force N eft
confiante ou non. Done íi la force eft variable ,
& qu'elle foit == P, on aura P d x, au lieu de N d .X,
dont la fomme doit etre é~alée a zéro ; par confé–
quent , la formule qui dev1ent un minimum en cas
d 'équilibre' doit erre compofée de celles·ci S p d X,
.que l'on doit tirer de chacune des forces follicitantes;
~'ot~ l'on voit q1.1e dans le cas des forces confiantes,
ou de P=N' on aura les memes formules N X' pour
rendre un min.imum, que celles que l'on a trouvées
d-deffus·.
Tel efi done le príncipe univerfel qui conviene
a tout érat d'éguilibre. En vertu de ce príncipe, il
f~ut coníidérer féparément chaque force qui folli–
~~~e le corps afe mouvoir: fuppofez que ces forces
fotent=:P Q R, &c. & que les diretlions fuivant
lefquelles elles agiífent fur le corps M ,jig. 8, foient
4 F, B G, C H; prenez avolonté fur ces direél:ions
les points fixes F, G, H; & rrommant A F x, B Gy,
CHt, 011 aura pour l'état d'équilibre SPdx+SQdy+
S Rdz +&c. qui doit etre un mínimum. Pour la com–
modité du calcul, il convient de placer les points
ñxes F, G, H, daos de certains endroits plutot
qu'ailleurs : ainíi daos le eas des forces centrales que
l'on exprime par de certaines fonél:ions de la difiance
a leurs centres de forces' il faut placer ces points
dans les cenrres memes. Alors P, Q, R, &c. pou–
vant erre exprimés par ces quantités eL xn' (6yn' l'{n,
&c. l'expreffion dont l'on devra faire up minimum,
{¡ <L {3 ,. &
era, ~xn+ 1 + ~ yn + 1 + --;;¡:¡-zn+t+ c.·
& cela s'obfervera daos tous les cas femblables.
Comme la force P fournit daos tous les calculs
une quantité pareille a celle-ci S p d X' íi on nomme
effort l'intégfale de cette quantité réfultant de la
force P, on pourra renfermer le príncipe général
d'équilibre dans cette regle bien fimple:
La fomme de tous les f.jforts que des forces font fur
un corps, doit etre un mínimum pour que ce corps foit
en équilibre.
Lorfque le corps dont on cherche l'état d' iquilibre;
efi flexible ou meme fluide, il en faut coníidérer tous
les élémens féparément' de meme que les forces
qui les follicitenr, pour en tirer d'abord tou$ les
efforts que chaque élément foutient. Enfuite on
trouvera par le calcul inrégral la fomme de tous
ces efforts, ou l'effort total que le corps éprouve,
de laquelle on fera un min.imum, qui indiquera alors
les conditions requifes p-Óur que le c;orps foit en
équilibre.
Il faut remarquer_qu'il n'eíl: pas néceífaire d'in_.
troduire daos le calcul de 1' équilibre , les forces qui_
ahachent le corps a quelque objet ñxe' ou qui le
tiennent arreté. Ainíi, íi on veut trouver par cette
métliode la courbure d'une chaine {ufpendue , on
ne fGra pas attention ~ l'effort que fouffrent les
dous auxquels la ehaine efi fufpendue; & lorfqu'il
eft queilion de l'équilibre d'un fluide renfermé daos
un vaiífeau, il n'efr pas néceífaire de coníidérer les
forces avec lefquelles le fluide preífe le vaiífeau. U
fuffira, dans l'un & l'autre cas, de confidérer les
feules forces de la gravité, pour en déterminer l'état
d'iquilibre. La raifon de cette difiinél:ion efi aifée a
comprendre, par la maniere d'envifager l'aétion des
forces, {avoir, dans la contraaion des ñlets. -Ainfi ,
s'il y a des forces auxquelles le corps ne fauroit
ob.éir ' comme celles qui le tiennent a quelque objet
immobile , elles n'entreront point dans le calcul ,
mais feulement celles qui peuvent imprimer quel–
que mouvement au corps: on en prendra les efforts,
comme on l'a déja dit, & faifant des fommes un
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