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TAN
tangente
d'un cercle, c'eít-a.-dire
d'~tne
ligne, droite
qui touche ttn
c~rcle ~a~s
le eouper, lnterceptee enu;e
deux lignes droltes
tlree~
du centre
e
par les extre–
mités de l'arc
E A .
La ligne
FE
efi la
tangente
de
l'angle
A
e
E
J
eomme auíIi de
1
'angle
A el;
de forte
que deux angles adjacens n 'ont qu'une meme
tan–
~ente
comml1ne.
Co-tangente
ou
tangente du eompl¿ment
,
e'efi la
tan–
gente
d'un are qui efi le
eompléme~t
d'un autre are
a
un quart de eercle.
V~ye{
COMPLE.MENT.
Ainíi la
tangente
de
1
are
A H
ferolt la co·
tangente
de l'are
A E
J
ou la
tangente
du eomplément de l'are
AE.
Trouver la longueur de la
tangente
d'un are quelcon–
que,
lejinus de ['are étant donnl.
Suppofons
I'a~c
A E,
le
ftnus clonné
A D
,
&
la
tangellle
cherehee
E F.
P uifque le ftnttS
~
l,a
tangente
fom perpendiculaires
au
rayon
E
e ,
ee~
hgnes font paralleles entre elles:
ainft le co-ftnus
De
efi au finus
A
D
comme le finus
total eíl:
a
la
tangente
E F.
roye{
SINus.
C'eft pourquoi ayant une table des finus, on con–
frruit facilement une table des
tangeu.tes.
Les
tangentes
artificielles fOnt les logarithmes des
¡angentes
deSares.
Voye{
LOGARITHME.
La ligne des
tangentes
efr une ligne
~ue
1'0n met
ordinairement fur le compas de proportlOn.
Voye{·en
la defcription
&
l'ufage
a
l'article
COMPAS DE ·PRO-
PORTION.
'
Tangente
d'une {eaion eoni.que , eomme d'une
parabole, c'eíl: une ligne droite qui ne touche ou qui
pe rencontre la eourbe qu'en un poiot , fans la cou–
per ou fans entrer dedans.
Voye{
CONIQUE, COUR–
!lE,
&e.
En O'énéral ,
tangente
d'une ligne courbe efr une
ligne droite qui étant prolongée de part & d'autre du
point
011
elle rencontre eette combe, efi telle que
les deux parties
el
droite
&
a
gauche de eette ligne ,
tombent hors de la eourbe ,
&
qu'on ne puiíI'e me–
ner par ce meme point aUCHne ligne droite qui foit
entre la eourbe
&
la
tangente,
&
dont les deux par–
tíes {oient fituées hors de la courbe.
M éthode des tangentes.
C'efi une méthode de dé–
terminer la grandeur
&
la pofition de la ,
tangente
d'une combe quelconque algébrique, en fuppofant
que I'on ait l'équation ql1i exprime la nature de cette
courbe.
Cette méthode renferme un des plus grands ufages
du ealeul différentiel.
Voye{
DIFFÉRENTIEL.
Comm.e elle efi d'un tres-grand fecours en Géo–
rnétrie, elle femble mériter que nous nous y arre- •
tions ici particulierement.
Voye{
SOUTANGENTE.
TrO,uver laJolttangente d'une courbe quelconque algé–
hrique.
Soit la demi-ordonnée
p
m
innniment proehe
d'une atare ord9nnée
P M
(Pi.
anal. fig.
13')'
P
p
[era la différentielle de l'abfeiíl'e;
&
abaitTant la per–
pendieulaire
m
R
=
P
p
,
R
m
fera la différentielle de
1'a
demi-ordonnée. C'efi pourquoi tirant la
tangente
T M,
l'arc innniment petit
M
m
ne différera pas d 'une
lign~,
droite.
Ai~fi
M.m
1!-
fera un triangle reaangle
reéhbgne,
~ppelle
ordmamlment le
triangle différentiel
ou
earaélerifhque de la eoU/-be;
el
caufe que les liO'nes
courbes font diftinguées les unes des alares
p~r
le
rapport variable des cotés de ce triangle.
. Or
el
caufe du paraUélifme des lignes droites
m
R
&
T P
l'angle.
M
m
R
=
~
T P;
ainíi le triangle
~M
m
R
eft femblable au tnangle
T
M
P.
Soit donc
A P
=
x
,
P M
=
y ,
on aura
P
p
=
m
R
=
d
x,
&
R M
=
dy.
Par conféquent
RM .mR:
:PM.PTd
d"
y d "
y.
x ..
y
' -i y-
Préfentetpent
íi
011 {ubfiitue, dans l'expreffion
générale
Yd:
x
de la
fous-tangente
P
T,
la valeur de
d x
priIe de l'équation donnée d'une courbe que1con-
tAN
que, les quantités différentielle s'
I
v~lfl~uir-Qnt
,
&
la valeur de la
fous-tangente
fe ra expnm e en quan–
tités ordinaires; d'ou Ion déduit aifément la d 'ter–
mination de la
tangente;
ce que nous alions 'claircir
par quelques exemples.
l°.
L'équation qui exprime la nature de la para-
bole ordinaire
eíl:
a x
=
Yo'.
d'ou
1'00
tire
~2ydy.
&
dx= ::.z..~
,
4
donc
PT=~'!..!. = :....!.?:~
=
1 )'1
=
1~
=
2
x.
C'efr-
dy
~dy
a
a
a-dire que la
fous-tangente
efi double de l'abfei1fe.
2
0 .
L'équation du cercle efi
==
~-x
1
ax- x x=yy
3°.
L'équatioo d'une ellip{e efi
a
y '
=
a
b
x
-
b
x '
ainfi
2
aydy=a bdx- 2 bxdx.
;;~~
=
dx
P T-
yd "
_
~::.z~
_ '
a
b~ -:.!:..!'~
_
~-=-'~
-
dy
-ab - ~bx-
ab - ,bx
-
4- 1 X
•
Soit
a
ym
+
b xn
+
c yr'xs
+
e
=
o,
ql1i eft
ré~
quation pour un grand nombre de courbes algébri-
que~,
I
maym-'dy+nbxn-'_ dx+scyrxS, ~ '
dx
+
+rcyr-I
xSdy=o~
_____________________
nb xn- I dx+scyr xS - I,dx=_maym-,
dy-
_r eyr-I xSd_y _____________________________
d
x
= _
m
~ym-~'!..L_=!.:y'"_=~~!!2:.
n
h
"n
-
1
+
S
,yr xS
-
1
P
T
_
y
d
x
_ ' -
m
a
ym
-
r
e
y r
x s
-
r
- dy
-
nhx
n- , +s cyr
;.s~
Suppofons , par exemple
y'
-
a
)f
=
o
;.
a10rs,
ea
eomparant avec la formule générale , on a
~m=y'
bxn
=-ax
a=I.m=2
b
=-
a. n=
1
~:t"~
c=o. r=o. s=o
En fubfiituant ces valeurs dans la formule générale
de la
fous-tangente
,
on a la
fous-tangente
de la
para-
bole du premier genre
=
2
y':
a.
,
Suppofant
y'
-
x '
+
a x
y
==
o,
alors on aura
aym=y3; bxn =-x
3 ;
a:=!
1;
m=
3
;b=
l~n= l.
eyr
X
S
=-axy; e =0
r = ¡
c=-a ;s=
1
En fubfiituant ces valeurs dans la formule générale
de la
fous-tangente
,
on a la
fous-tangente
de la
cou~
dont l'équation efi donnée ,
P T
=(-
3
y J
+
ay
x):
(- 3
x '
-
a y)
=
(3
r
J -
a x y)
:
(3
x '
+
ay);
par
conféquent
A
T= (3y' -a xy):
(3
x ' +ay)-x=
=(3yJ-axY-3 x ' - axy ):
(3
x' +ay)=
(3
a xy
- 2
a
xy):
3
x '
+
ay
;
la valeur deyJ
-x¡ ,
c'eft–
a-dire
a x
y
:(
3
x'
+
a
y)
étant fubfiitllée apres
fa-
voir prife de l'équation de
la
cqurbe.
"
Quand l'expreffion de la
fous-tangente
efi negau–
ve, c'efi une márque que eette
fous-tangente
tom.bedu coté oppofé
a
l'origine
A
des
x,
comme dans
Qa
fig.
13 ,
Au contraire , quand la
fous-tangente
eft paú-
tÍve , elle tombe du coté de
A,
eomme dans les
fig·
12.1 4 .
nO.
l.
&
14.
nO.
2.
,
Quand la
[ou s.tangente
efi infinie ,alors la
tangente
efr-parallele
a
l'axe <;les
x
~
,orome
dans
l~fig.
á ,.
16.17·