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L Q efi égale a Q J, auffi O L égale a E].
Maís OL efr égale a LK , done, .
L'angle OML refiant de 4 5°. faifons les angles
NMO, OMP, LMT égaux. Les droites LT, LN,
LO, LP, font les tangentes des angles LM!',
LMN, LMO , LMP, pour le rayon Llrf. La dr01t~
OE étant déja tirée , tirons les N E , PE , qm
rencontrentlaLJenR &en S,&cherchonscomment
les QL, QJ font coupées en R & en S.
Par les triangles equiangles NLR, EJR, coro–
me EJ a LN, ainú JR a RL: done, componenda,
la fororoe de El & de LN, efr a LN, comroe
( la fomme de J R & de RL, c'efi-a-dire, ) J L a
RL. Prenant la moitié des antécédens, la moitié
de la forome de El & de LN, efi a LN comme
(la moitié de JL, c'efi-a-dire, ) QL efi a LR;
& par converjion des raifons, la moirié efe la foro–
me de El & de LN ell: la moitié de l'exces de
El fur LN, comme QL (a l'exces de QL fur
LR, c'efi-a-dire,) a QR, comroe la forome en–
tiere de El & de LN a tout l'exces de El fur LN.
Mais puifgue El efi. égale aOL ou LM, la fomroe
de El & de LN efr la fomrne du.rayon & de la tan–
gente de l'angle LMN; & l'exd:s de El fur LN efr
l'exces du rayon fur la tangente du meme angle , .
& puifque ces deux quantirés font, par la Trigo–
nométri-e, comme le rayon a la tangente de l'exces
de l'angle O ML de 45°, fur l'angle NML, c'efr–
a-dire, a la tangente de l'angle OMN, ou de fon
égal Tlvf.L. Done ú l'on prend LQ pour rayon,
QR eíl: la tangente d'un angle égal a l'angle T ML.
Par le meme raifonnement, mais en prenant
QJ pour la moitié de JL & l'exces de PL fur
El ou LM, on trouvera que JQ efi a QS comme
la fomme (de P L & de LM, c'efi- a- dire,) du
rayon & de la tangente de la fomme de 1'angle
.OML (de 45°.) & de l'angle OMP, eíl a l'exces
de la meme tangente fur le rayon ; mais ces deux
quantités font, par la Trigonométrie, corome le
rayon· a la tangente de l'angle OMP, ou de fon
égal TML: :ú done on prend JQ OLt QL pour
rayon , la QS doit etre la tangente d'un angle
égal a l'angle TiWL, auffi-bien que la QR. D'ott
l'on tire la confiruétion de l'échelle des heures ,
telle que nous l'avons donnée.
40. J'ajouterai qu'ayant trouvé la confiruétion
de l'échelle des heur~s , & fon emplacement tel
que la ligne EO de trois heures, coupe cette échelle
également en Q , & ayant démontré que dans ces
cas la droite El eft égale a la LO ou LK, il eft
tres-facile de trouver la confuuétion de la ligne
des latitudes.
Car élevez fur L], au point Q , une perpendi–
culaire qui rencontre en U la droite EL; & fur
Q L faites un triangle reétangle Q LX, qui ait l'an–
gle QLX égal al'angle LEK. La droite QX efi. le
finus de cet angle pour le rayon Q L. Mais par
les triangles équiangles ]EL, UQL, comme LE
a JE, ainú LQ aQU: & par les triangles équian–
gles LEK, QLX, comme EL a LK :1 ainú LQ a
QX. La raifon de LE a El efi la meme que celle
de EL a LK , paree que El & LK font égales;
done LQ a QU comme LQ a QX; les QU, QX
Íont égales: QX efr le únus de L'élévation dn pole
pour le rayon QL, ou pour la mo1tié de l'é–
chelle des h nres ; & tou¡ours LU, coté oppofé
a l'angle droit .. eíl: au finus de l'élévation du po–
le' comme toute l'échelle des heures efi a la parrie
de l'éche1le des latitudes qui convient a cette élé–
vation du póle.
Voici comment je penfe que l'inventeur eft
parvenu a la d ,couverte de ce deux échelles.
n a remarqué que la poútion des lignes horai–
~ei E N , EO~ EP, dépend des points N, O, P,
CAD
qui a tour leur d 1 pendent de la grandeur de la
droite LM óu LK. ll s'efi: a ifé de mettre cette
droire LM en El, efi. de joindre JL, qui efi: cou.–
pée par les lignes horaires.
Si E O efi. la ligne de trois heures, & par con–
{¡ ' quent O L égale aLM, ou aLK, ou aEJ, les trian–
gles OQL, EQl font manifeíl: eroent égaux, la
LQ efi égale a la QJ; mais a caufe des angles
fEZ, ELO le cercle décrit du centre Q & dn rayon
Qf, paífe par E & par L: done les droites JQ, QE,
& par conféquent auffi QL & QO font 'gales.
Cela pofé, on voit d'abord que ú l'on prolonge
en Y jufqu'a la circonférence du cercle , la droire
QU d ' ja tirée pour trouver la raifon des droite LJ~
J E, elle efi: un rayon par rapport auquel les QR ~
QS, QL, Qf, font les tangentes des angles QYR,
QY. , QYL, QYl. Mais QYL demi,-droit, eO: égal
al'angle LMl,donc prenant Mq égale a QY, & tirant
q l perpendiculaire a 1a q M, elle efr égale a la LQ.
On aura Vll par expérience que la q r efr égale a la
QR, & ainfi des autres, & on en aura trouvé la dé–
monfrration précédente ou quelque aurre. On trou–
ve prefque toujours la démonftration d'un théoreme
dont on connoit la vériré.
41. Mais, comme l'a fort bien remarqué M. Lam–
bett, la propriété de la droite LJ relativement a la
droite LP, efi générale. Je m'explique.
Soit (figure d) AB une droite donnée de pofition,
qu'on doit divifer par la rencontre des droites qui
fuivant une loi donnée' font au point e donner des
angles avec la droite CD donnée de poútion, & par
conféquent de grandeur. Suppofons qu'il foit plus
commode de divifer la droite AB ~par le moyen dLt
point E, & de la droite FG, auffi donnée de poútion
qui rencontre en H la droite AB.
Par la condition du probleme, il faut qu'ayant fait
un angle quelconque DCJ, la uroire FG foit divifée
en L, enforre que la droite tirée par les points E &
L, aboutiífe au point J. Car il efi: manifefie que de
cette maniere les droites tirées par E & par les
points de di viíion de la droite FG, donneront les di–
viíions cherchées de la droite AB.
Tirez de la droire ED qui rencootre en K la
droite FG. Il efi clair que le point K efi. un de ceux
qu'on cherche, & répond au point D, puifque ú le
point K efr donné, la droite rirée par E & par K
donneroit le point D, comme le probleme l'exige ;
done a rebours les points E & D donnent le
point K.
Maintenant ú l'on pouvoit trouver un point M, tel
qu'ayant joint la ML & la KM, tous les angles
KML fuífent refpeétivement égaux aux angles
Del, tout feroit fait; carla droite EL, prolongt:e
s'ille faut, donneroit le point ].
Suppofons la chofe faite, & le point M foit celui
que l'on cherche. Lorfque la Cl tombe fur la CN, &
devient parallele a la AB, ces deux droites ne fe
rencontrent point; & celle qu'on doit tirer du point
E au point de rencontre, efi: auffi parallele a la
AB, & ne rencontre point la FG du coté O. L'an–
gle qu'on fait fur KM, au point M, doit etre du co té
P, égal a l'angle DCN; done le point .M efi: a la cir–
conférence d'un fegment de cercle qUl paífe par K,
& qui efr capable de l'angle donné DCN.
Lorfque la droite CJ tombe fur la CT, de
nouveau la droite tirée par le point E efr paral–
lele ~ la A B, & renconrre la F G quelque part
en Q. Alors l'angle KMQ doit erre égal a l'ang[e
DCT ou CDB, qui a ec l'angle D C N fait deux
droits ; & le íegment capable de l'angle e D B,
du coté de la droite E Q, & de l'angle D e ..V
du coté de la droite AB ~ doit auffi paífer par le
point Q. La dn~ite KQ efi donn ' e de poúrion & de