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APP
que d'une tres-petite quantité ele la valcur exaéle.
de
la racinc chel'chéc. 11 en eH de m&me de la raC1l1C
cubique el'un nombre qlli n'eíl: .pas un cube parfair.,
&
ainfi des auU'es puiJfanccs, comme on peut vOlr
dans les
Tranfaél.plzil.
nI>. zz.S.
La méthoele la plus/tmple
&
la plus faciJe ?'ap–
pl'ocher de la racine d un nombre, eíl: celle-cl : ¡e
fuppofe, par
exe~lple qu'o~,
;re
1.1
iJle
t~er.
la
;:oc!~le
quarrée de 2.; au lJeu de 2. ,
J.
ecl'ls la
fra~lOn
.100"00 ,
qui hú eíl: égale, ayant (om 9uc 1;
de,no~mateur
10000 foir un nombre quarre, c eíl:-a-dire, ren–
fetme un nombre
¡iair
de zeros ; enfuire je tire la
racine quarrée du numérateur 10000; cette ra–
cine, que je pem:
~voir
a
uh~
unité p:es,
~tant
di- •
yifée .par lOO "qUl eíl:
l~ racme,~ol!oden?mmat~ur,
¡'aural
a
+a
pres la racme de
'i'OOOO,
C
eíl:-a-dll'e ,
de 2..
Si on vouloit avoir la racine plus approchée,
il faudroit. écrire
10~~~~~,
&
on auroit la racine
a
--'-- pres
&c.
de ';¡&me pour avoir la racine cubi–
q~~O
de 2.,' iJ
fa~ld)'oit
écrire
~~; ~~~~ , ~ooooo,o ét~nt
un nombre cubIque, & on aurolt la racme a
TOO
pres,
& ainíi
a
l'infini.
Soit
a a
+
b
un nombre quelconque qui ne foit
pas un quarré parfait,
&
al
+
b
un nombre quel–
conque qui ne foi't pas un cube parfait. Soit
a a.
le
plus arand quan'é parfait contenu dans le premler
de
ce~
nombres. Soit
al,
le plus granel cube parfait
contenu dans le fecond de ces nombres, on aura
V(aa+b)=a+.~-~
&c.
&V'(al +b)= a+~
_
2a
Sal
,a2.
~
&C.
f/oyt{
BINOME.
A
l'aide de ces équations,
9
a)
on aura facilement des expreffions fort approchées
des racines quarrées
&
cupiques que I'on cherchera.
Soit propoft d'avoir la racÍne d'une éqllation par
ApPROXIMA TION,
1°.
d'une équation du fecond
degré. Soit I'éc¡uation donnée du fecond degré dont
il faut avoir la racine par
approxinzation, x2-5x-3
I
::=
o; on fuppofe que I'on fache déja que la racine
eíl:
a
peu-pres 8; ce que l'on peut trollver ai[ément
par
diJférentes méthodes dont plllfieurs font expo–
fées dans le
VIe
livre de
l'Analyje démontde
du
P.
Reyneau.
•
Soit 8
+y
la racine de J'équation propofée, en–
forte que
y
foit une fraaion égale
a
la quantité
dónt 8 eíl: plus gránd ou plus petit que la raeine cher–
chée, on aura done
X2=
64+
16y+y2
- 5
x
=-4
0 -
5Y
-31=-31.
-7
+
Ily
+y2 =0.
'Or eomme une fraélion devient d'autartt pltlS pe–
tite que la pui{[ance
a
laquelle elle fe trouve élevée
eíl: grande,
&
que nous ne nous propofons que d'a–
voir tme valeur approchée de la racine de I'équa–
tion, nous négligerons le terme
Y';
& la derniere
équation fe réduira a
-7 + lly=O.
y
=
1.
=
-lo
a
peu-pd:s = o.
G.
Done
x
= 8 + 0.6 = 8.6.
Soit encore
x
= 8. 6 +
y,
on aura
x"=
1.fo2.J-
+
?o'
y
+
y2
- 5
x
= -
4/0
0
-
5Y
-3
1
= -31.
?i;,2!: -
+/00
-
3
I
+
'/0'
Y
-
5Y
=
o.
Réduifant les frallions au m&me dénominateut,
on aura I'équation fuivante:
73'96-1300~3ioo +(1710-500)y=0
-
App-
-0.04
+
12.2.oy=0.
¡l.
2.oy=
0.04.
Y
= 004: 12.. 2.0 = o.
0031.
Dóne
x
=
8.
6000
+ O. 0031 = 8. 603
i.
Soit encore ;1:=8.603 2.
+y:
on aura
x'=740 150502.4
+ r7. 206400007
+y"
- 5
x=
-
43. o 1600000 - 500000000
- 3
I
= -
3
l ..
00000000.
- o.
000094976
-
11.
2.0640000Y
=
o.
Y==O.
000094976:
12..
2.0640000y=0.000077808.
Done
x=
8. 6032000000 +0.
000007
68
08
= 8. 6032.77808.
Soit maintenant cette équation dü troifieme de–
gré
j
dont il faut chercher la racine par approxima–
tion,
x3+2.X2-23x-70=0,
&dontonhlppofe
que I'on faehe
a
peu-pres la váleur de la racine, par
exemplc
5.
Soit donc la raeine de cette éqtlation 5
+y.
Comme
Oh
peut négliger les termes Olly fe trouve au fecond
& au troiíieme degré,
il
n'eíl: pas héce{[aire de les
exprimer dans la transformation. On alifa done feu-
lement
xl
= 12.5
+75Y
+ 2.X
2
=
50
-t
20y
- 13
x
= 1
I
5-
13Y
-70 =-70.
---- -----!
y=--fi'=o.
l.
Done
x
= 5 + o.
1
=
5.
1.
Soit derechef
x
= 5.
I
+
y,
on aura
x3
= 132.·651 +73.
030Y
+ 2X
2
=
p.
02.0
+ 2.0.
400y
-2.3 x =-117· 300-2.3·oooy
- 7
0
=-
70. 000.
-2..62.9+75·43 0Y=0
75· 43
0
Y
=
2.. 62 9.
y::!:
2. 619: 75.430 = 0.0348.
Donc
x
=
5·
J
+ o. 0348 = 5. 1348 ,
&
ainli de fuite
a
I'infini.
Il
eíl: évident que plus Gn réitérera I'opé–
ration, plus la valeur de
x
approchera de la valelll'
exaéle de la .raeine de l'équatlon propofée.
Cette méthode ponr approcher des racines des
équations numétiC¡lIes, eíl: dCle
a
M.
Newton. Dahs'
les
Mém. det'.Acad. de
I7
44,
bn trouve un mémoíre
de
M.
le marquls de Courtivron ,
bu
¡¡ perfeétionne
&
fimplifie eette méthode. Dans ,les m&mes
Mimo;–
res,
M.
Nieole donne auro une methode pour appro–
cher des racines des équations du troilieme degr.é
dans le cas irréduélible
¡
&
M. Gairaut, dans {e1
Elémens d'.Algebre,
enfeigne aufÍi une maniere d'ap–
procher de la raeine d'une équation dll troilieme
degré dans ee m&rtJe caso
V.
CAS
IRRÉOUCTlBLE
dTt
lroifieme degré.
(O)
" APPUI
,joútien, jitpport
:
l'
appüi
{orrifie , le
foú-
+–
cien
porte,
le flipport
aide; l'
al'pui
eíl:
a
eoté, le
fo!aien
de{[ous ,
l'aid~
a
¡'un des bouts: une mu–
raille eíl:
appllyée;
uné VOlIte
eíl:foÍtterlllt;
un toiél
eíl:
fllpporcé:
ce qui eíl: violemlffent pOll{[é a befoih
d'appui;
ee qui eíl: trop ehargé a befoin
defoúiien;
ce qui eíl: tres-long a befoin
defllPport.
Au
figuré, l'
appui
a plus de rapport a la force
&
a I'autorité; le
foátien.,
al! erédit
&
a
l'habileté ;
&
le
fitpport
,
a
Paffeélion
&
a l'amitié.
Il
faut
applly er hos
amis dans leuTS prétenlions,
les
foútenir
dans I'adverlité, & les
fuppomr
Qa.nsleurs momens d'hltmeur.
'
ApPUI,
Oll
point d'dppui
d'ün levier, eíl: le pbint
fixe autour duquel le' poids
~
la puiJTanee [Ollt eñ
équilibre dam- un JeViét: alnti'ailhS une balance
oi"-'