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ASY
eJ",
avcc ,
& de
¡.ti7fov,
mefure
;
c'efl:-a-dlre,
fans
me~
Jure.
On entend par ce mot , un défaut de propor–
t10n
ou de corre{pondance entre les parties d'une
chofe.
YOY~
Yl\IMÉTRIE.
.
Ce mot defigne en
Matízémafique,
ce <¡u'on entend
plus ordinairement par
incommenJitrabilité.
Il y a in–
commen{urabilité entre dellX <¡uantités , lor{qu'.elles
n'ont aucune commune me{ur'e; tels {ont le coté du
quarré & {a diagonale ; en nombres les racines [our–
des, comme
V
1.,
&c.
(ont auíTi incommen{urables
aux nombres rationels.
Voy.
INcoMMENsuRABLE,
SOURD, QUARRÉ ,
&c. (E)
ASYMpTOTE,
AJYmptotlts,
f.
f.
terme de Géo–
métne.
Qllelques auteurs définilfent l
'afymptote
une
ligne indéfiniment prolongée , qui va en s'appro–
chant de plus en plus d'une autre ligne qtt'elle ne
rencontrera jamais.
Voye{LIGl-/E.
.
Mais cette définition générale de 1
'aJYmptote
n'eíl:
pas exaél:e, cal' elle peut etre appliquée a des lignes
qui ne {ont pas des
a/ymptotes.
Soit
(fig.
2.0.
nO.
2..
¡ta.
con.)
I'hyperbole
f(
S L;
{on axe
CM;
{on axe
conjugué
A B.
On {ait que ú du centre
C,
on mene
les droites indéfinies
CD, CE,
paralleles aux Iignes
B S, A S,
tirées du [ommet
S
de l'hyperbol¡;, ame
extrémi.tés de [on axe conjugué: ces lignes
CD, CE,
[eront les
aJYmptotes
de l'hyperbole
KS L.
Soient tirées les paralleles
f
g, h i, &c.
a l'
aJYmp–
tote
C
D.
;
il eíl: évident que ces paralleles indéfini.–
ment prolongées, vont en s'approchant continuelle–
ment de l'hyperbole qtl'elles né rencontreront jamais.
La définition précédentede
l'affmptote
convient donc
a
ces Iignes; elle n'eíl: donc pas exaél:e.
Qll'eíl:-ce donc qu'une
afyinptote
en general? C'eíl:
une ligne, qui étant indéfiniment prolongée s'appro–
che continuellement d'tme aune Iigne auíTi indéfini–
ment prolongée , de maniere que la diíl:ance
a
cette
Iigne ne devient jamais zéro ab{olll, mais peut tOll–
jour!; etre trouvée plus petite qu'allcune grandeur
donnée.
Soit tirée la ligne
N
o
p q
perpendiculairement
a
l'aJYmptote
CD
,
& a {es parallelesfg,
hi, &c.
il
eíl:
évident que
l'afymptote
CD
peut approcher de I'hy–
perbole, plus pn!s que d'aucune grandeur donnée;
car la propriété de
l'ajjl1llptOle
e
D
confifl:e en ce
que le produit de
Cp
par
p
~
eíl: toujours coníl:ant ;
d'dl il s'en{uit que
C
p
augmentant
a
l'infini,
p q
dimi–
nue auffi a l'infini : mais la diíl:ance des paralleles
f
g,
hi
a
cette courbe {era toujours au moins de
n
p ,
de
o
p,
&c.
& par con{équent ne {era pas plus petite
qu'aucune grandeur donnée.
roye{
HYPERBOLE.
Le mot
afymptote
eíl: compole de
el
privatif, de
crJv,
ayec
,
& de
7T!7T7",
,je tombe
;
c'eíl:-a-dire ,qui n'efl:
pas co-incident,ou qui ne rencontre point. Quelques
auteurs Latins ont nornmé les
afymptotes, lineal in–
taaal.
Certains Géometres diilinguent plufieurs e[peces
d'
aJYmptotes; il
Y
en a, {elon ces autems, de
droites,
de
courbes
,
&c. Ils difuibuent les combes en
conca–
ves, convexes
,
&c. & ils propo{ent un inll:rument
pour les tracer toutes
¡
le
mot
d'aJYmptote
tout court
ne défigne qu'une a{ymptote droite.
L'ajymptote
{e définit encore plus exaél:ement une
ligne droite, qui étant incléfiniment prolongée, s'ap–
proche continuellement d'une courbe, ou
d'une por–
tion. de courbe
auíTi prolongéc indéfiniment, de ma–
niere que {a diíl:ance
a
cette courbe ou portion de
courbe ne devient jamais zéro ab{olu , mais peut
tOlljOurS etre troLlvée plus petire qtl'aucune grandeur
donnee.
J
e dis
10.
d'une courbe ou d'une portion de cour–
be ,afin que la définition convienne, tant aux cour–
bes {erpentantcs qu'aux autres.
Car la ligne
fgh, (fig.
2.0.
nO.
3. )
ne peut etre
conúdérée comUle
l'aJYmptote
de
la
combe ferpen–
Tome 1.
taote
mil
Ó
p
rs,
que qtland cette courbe a pris un
coursréglé relativement
a
elle;
c'e'l-a-dire un cours,
par lequel elle a été tOlljours en s'en approchant.
J
e dis
1.°.
que la difl:ance de l'
afymptote
a
la courbe
peut tOlljOUl'S etre rrouvée moindre qu'aucune gran–
deur donnée ; car fans cette condition , la défiri.ition
coñviendroit a
l'aJYmptote
,
& a (es paralleles. Or
ll~e
définitión ne doit convenir qtl'a la chofe défi–
me.
On cut quelqhefois qtle deux courbes Cont
afymp–
totes
l'lme
a
¡'autre, 10rCqtl'indéfiniment prolongées
elles vont en s'approchant continuellement , fans
pouvoir jamais {e renconrrer. Ainli deux paraboles
de meme parametre , qui ont pour axe une meme
ligne droite, Cont
aJYmptotes
l'une a I'autre.
Entre les courbes du (econd degré, c'eíl:-a-dire
entre les Ceél:ions coniques, il n'y a que l'hyperbole
qui ait des
afymptotes.
Toutes les courbes du troifieme ordre ont tOlljours
guelques branches infinies, mais ces branches in–
finies n'ont pas toujours des
afymptotes
;
témoins les
paraboles cubiques, & ceUesque M. Newton a nom–
mées
paraboles divergenus du troijieme ordre.Quant
aux
combes du quatrieme, il
Y
en a une innnité, quí
non-{eulement n'ont pas quatre
ajjmplotes ,
mais quí
n'en ont point du tout, & qui n'ol1t pas meme de
branches infinies,comme I'elup{e de M. Caffini.Voye{
COURBE, BRANCHE, ELLIPSE,
&c.
. La Concholde, la Cilfoide, & la Logarithmique
gu'on ne met point au nombre des courbes géomé–
triques ont chacune une
ajymptote. Voye{
COURBE.
L'afymptote
de la conchoide eíl: tres-propre pour
donner des notions claires ae la nattlre des
aJYmpto–
tes
en général.
Soit
(Plan.ch. d,
r
Analyffig. premzere)
M M A M
une portion de concholde ,
e
le poie de
cette courbe , &
BR
une ligne droite au-dela de la–
quelle les parties
Q
M, E A,
Q
M,
&c.
des droites
tirées du pole
C,
{Ont tGutes égales entr'elles. Cela
po{é, la droite
BR
(era
l'aJYmPlole
de la courbe. Car
li! perpeñdiculaire
MI
é¡ant plus courte que
M O
&
M R
plus courte que
MQ,
&c.
il s'en{uit que la
dróite
B D
va en s'approchant continllellement de
la combe
M M A M;
de(orte que la diíl:ance
M
R
va
tOlljotlrs en dimi.nuant, & peut etre auíTi petite qu'on
voudra, fans cependant etre jamais ab(olument nul–
le.
Voy't
DIVISIBILITÉ , INFINI, &c.
Yoye{
ariffi
CONCHOIDE.
On trace de la maniere fuivante les
ajjmptotes
de
I'hyperbole. Soit
(Plancll. des
¡ta.
'.oniq.fig.
2.0)
une
droite
DE
tirée par le {ommer
A
de I'hyperbole ,
parallele aux ordonnées
Mm,
& igale
a
I'axe conju–
gué
de;
en {orte que la parcie
A E
{oit égale
a
la
moitié de cet axe, & l'autre partie
DA
égale
a
!'au–
tre moitié. Les deux lignes tirées du centre
C
de l'hy–
perbole par les points
D
&
E
,
{avoir
CF
&
CG,
{eront les
aJYmptotes
de cette courbe.
n
ré{ulte de tout ce qtle nous avons dit jUfqtl'ici,
qtl'une courbe peut avoir dans certains cas pour
afymptote
une droite, & dans d'aunes cas une courbe.
Toutes les cOllrbes qtti ont des branches infinies, ont
tOlljours l'une ou l'autre de ces
afymptotes;
& quel–
quefois toutes
les
deux;
l'afymptote
eíl: droite, quand
la branche inJinie eíl: hyperbolique ;
l'afymptote
efi:
courbe, lor{que la branche infinie eíl: parabolique,
& alors l'
aJYmptote
courbe eíl: une parabole d'un de–
gré plus ou moins éleve. Ainú la théorie des
afymp–
tOtes
des courbes dépend de celle de leurs branches
infinies.
Voye{
BRANCHE.
Une courbe géométrique ne peut avoir plus d'a–
JYmptotes
droites qu'il n'y a d'unités dans l'expofant
de {on ordre,
Yoye{
Stirling,
Enum.lin.
Ji.
ord. prop.
]TI.
cor'7.
&
l'
Introdu(/ion
a
l'analyfl des Ligms COItr–
bes,
par
M.
Cramer ,
p.
34+
arto l47.
Ce dernier
ouvrage contient une excellente theorie des
afymp-
H H
hhh
ij