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APP

efi étonnant qn'il ne fe foit pas égaré;

on ne peut

donner une plus grande preuve de la profondeur

de I'étendue de fongénie: car Bouillaud avoue qu'il

n'a pas entendu les dé01onilrations d'Arcbj01ede ,

Viete les a injufl:ement accufées de paralogif01e.

Quoiqu'il en foit, ces memes démonfl:rations qui

ont cOllté tant de peine a Bouillaud

a Viete,

peut-etre tant a Archi01ede, peuvent aujourd'hui

etre extremementfacilitées par

l'appücationde

l'Alge–

bre

la Géométrie. Oq en peut dire autant de tous

les ouvrages géométriques des Anciens, que pref–

que perfonne ne lit par la facilité que donne l'AIge–

bre de réduire leurs démonfl:tations a quelques

Ii–

gnes de caleu!'

Cependant M. Newton qui connoiífoit mieux

qu'un autre tous les avantages de l'Analyfe dans la

Géométrie , fe plaint en pluíieurs endroits de fesou–

vrages de ce que la lemlre des anciens Géometres

ea abandonnée.

En effet, on regarde communément la méthode

dOllt~es

anciens fe font fervis dans leurs Iivres de

G.fométrie, comme plus rigouretúe que celle de l'A–

nalyfe;

c'eíl: principalement fur cela que font fon–

dées les plaintes de M. Newton, qtÚ craignoit que

par l'uiage trop fréquent de

Analyíe, la Géoméu;e

ne perdlt cette rigueur qui caraétérife fes démon!l:ra–

tions. On ne peut nier que ce grand hom01e ne Rtt

fondé, au moins en partie, arecommanderjufqu'a un

certain point, la leaure des anciens Géometres.

Leurs démonfl:rations étant plus difficiles, exercent

davantage I'efprit, l'accolttument

une application

plus grande, lui donnent plus d'étendue,

le for–

ment

la patience

a 1'0piniatreté íi néceífaires

pour les découvertes. Mais il ne faut rien outrer;

fion s'en tenoit a la feule méthode des anciens, il n'y

a pas d'apparence que, meme avec le plus granel gé–

nie, on put faire dans la Géométrie de grandes dé–

couverres, ou du moins en auffi grand nombrequ'a–

vec le fecours de l'Analyfe. A I'égard de I'avantage

qu'on veut donner aux démon!l:rations faites

la ma–

niere des anciens, d'etre plus rigour(mfes que les dé–

moníl:rations analytiques; je doute que cette préten–

fion foit bien fondéeJ 'ouvre les

Príncipes

dcNewton:

je vois que tout y eíl: démontré

la maniere des an–

ciens,mais en memetems je vois c1airement que New–

ton a trouvé fes théoremes par une autre méthode que

celle par laquelle illes démontre,

que fes démonf–

trations ne iont proprement que des calculs analyti–

ques r¡u'il a tradnits

déguifés, en fubftitnant le nom

des

nes

leur valeur algébrique. Si on prétend que

les demon!l:rations de Newton font rigoureufes, ce

qni eft vrai ; pourquoi les traduaions de ces démonf–

trations en langage algébrique ne feroient-elles pas

rigoureufes auffi? Que j'appelle une ligne

A B,

que jela défigne par I'expreffion algébriquea, quelle

différenceoen peut-il réfulter pour la certitnde de la

démonfl:ration? A la vérité la derniere dénomination

a cela de particulier, que quand j'aurai déíigné tou–

tes les lignes par des caraéteres algébriques, je pour–

rai faire fur ces caraaeres beaucoup d'operations,

fans fonger aux lignes ni

la figure: mais cela meme

efl: un avantage; l'efprit efi {oulagé : il n'a pas trop

de toutes fes [orces pour réfoudre certains proble–

mes,

I'Analyfe les epargne autant qu'il efl: pof–

{lble ; il fuffit de {avoir que les principes du cal–

eul font certains , la main calcule e'n tome ft¡reté,

arrive prefque machinalement a un réfultat qui don–

ne le théoreme ou le prob!(:me que I'on cherchoit,

auquel (¡Ins cela 1'0n ne feroit point parvenu, ou

l'on .ne feroit arrive qn'avec beauooup de peine. ti

e t1endu

qn'a

I'Analyfie de donner

fa démonfl:ra–

tl~n

fa folution la rigueur prétendue qu'on croit

mancrlcr; il lui fuffira pour cela de traduire la dé–

monfl:ratlon dans le langage des aneiens, comme

APP

Newton a faitles fielUles. Qu'on fe contente donc de

dire, que l'ufage trop fréelllent

trop facile de l'A–

nalyfe peut rendre l'e{prit pareífeux,

on aura rai–

fon, pOurVlI que I'on convienne en meme tems de la

neceílité abfolue de l'Analyíe POtu· un grand nombre

de recherches : mais je doute fort que cet ufage ren–

de les démonfrrations matbématiques moins rigou–

reufes. On peut regarder la méthode des anciens

comme une route difficile, tortlleu{e, embarraífée

dans laquelle le Géometre gLÚde fes leéleurs: l'Ana–

Iyfl:e, placé

un point de vUe plus élevé, voit,

pour ainíi-dire, cette route d'un coup d'reil; il ne

tiem 9u'a lui d'en parcourir tous les fentiers, d'y

condlure

les

atltres,

de les y arreter auffi long-

. tems qu'ille vento

Au reíl:e, il ya des cas olll'ufage del'Analyfe, loin

d'abréger les démon!l:rations, les rendroit an contrai–

re plus embarraífées. De ce nombre font entr'autres

pluíieurs problemes ou théoremes, Oll il s'agit de

compater des

an~les

entr'eux. Ces angles ne font ex–

primables analytlquement que par leurs finlls,

I'ex–

preffion des iinus des angles eil: fouvent compliquée;

ce qui rend les confl:métions

.les démonilrations

difficiles en fe fervant de l'Analyíe. Aa reíl:e, c'efl:

anx grands Geometres

favoir quand ils doivent fai–

re lúage de la méthode des anciens, ou lui préférer

I'Analyíe. Il feroit difficile de donner fur cela des re–

gles exaéles

générales.

ApPLICATION

de la Glomltrie

I'Algebre.

Quoi–

qn'il foit beaucoup plus ordinaire

plus commode

d'appliquer l'Algebre a la Géométrie, que la Géomé–

trie

l'Algebre; cependant cette derniere application

a lieu en certains casoComme on repréfente leslignes

géométriques par des lettres, on peut quelquefois

repréfenter par des lignes les grandears numériques

que des lettres expriment,

il pellt m&me dans quel.

ques occaíions en réfulter plus de facilité pour la dé–

mon!l:ration de certains théoremes, ou la réfolution

de certains problemes. Pour en donner un exemple

íimple, je fuppofe que je veuille prendre le quarré de

;

je puis par le caleul algébrique elémontrer que

ce quarrécontient le qllarré de

plus celui de

plus

deux fois le produit de

par

Mais je puis auffi dé–

montrer cette propoíition en me fervant de la Géo–

métrie. Pour cela, je n'ai qu'a faire un quarré, dont

je partagerai la bafe

la hauteur chacune en deux

parties, d'ont j'appellerai l'une

I'autre.b ; enfui-

1e tirant par lespoints de divilion des lignes paralle–

les aux catés du quarré, je diviferai cequarré en qua–

tre furfaces, dont on ven·a al! premier coup d'ceil

que l'une fera le quarrré de

une aptre celui de

les deux aun·es feront chacune un reétangle formé

d'oll il s'enfuit que le ql!arré du bi–

nome

contient le qtlarré de chacune des deux

parties, plus deux foís le produit de la premiere par

la feconde. Cet exemple trckíimple

la portée de

tout le monde, peut {ervir

faire voir comment on

appliqtle la Géométrie al'AIgebre, c'efi-a-dire ,com–

ment on peut fe fervir qtlele¡uefois de la Géométrie

pour démontrer les théoremes d'Algebre.

Al! reíl:e, l'application de la Géométrie a!'AIge–

bre, n'efl: pas íi néceífaire dans l'exemple que nOl!S

venon~

de rapporter , que dans

pluíiel~r~ autre~

, troJ>

compllqués pour qtle nous en faffions lCl une enume- .

ration fort étendue. Nous nous contenterons de dire,

que la coníidération, par exemple, des courbes de

genre paraboliqtle,

du cours de ces courbes par

rapport a leur axe , eíl: fouvent utile pour Mmon–

trer aifément pluíieurs théoremes fur les équations

{ur leurs racines.

Voye{

entr'autres, I'ufage que M.

l'abbé de Gua a fait de ces fortes de courbes,

Mém.

A cad.

l.7

42, pour démontrer la fameufe regle de D ef–

cartes fur le nombre des racines des équations.

Voye{

PARABOLIQUE, CONSTRUCTION ,

&c.