802 / 900
i92 .
E
Q
U
~
A
If' ,
&c.
j'aurai
X
en ferie de
.d
&
de fes
· ?.
dx'
.diflercnces.
Jc me
propofe dans la
fuite
de cet article de trai–
ter
k s
iq11atio11s
au x dilfen:nces finies d'une rnaniere
generate
&
dirdl:e. On trouvera aux
articles
Poss1 -
l1Les, MAXIMUM, L1 NEAIRES, ce qui regarde leurs
equations
de condition,
OU
de maximum,
&
Ja folu–
tion des
iquatfons
lineaires. J'ai montre
a
\'article
AP–
PROX•MATION , vers la fin, que leur folurioo appro–
chee deprndoit toujours
d'iq11atio11s
linea:res,
&
je me
bornerai ici
a
donner une tbforie generale des
equa–
tions
aux differences linies des fonCl:ions qui pwvent
entra clans kurs integrates,
&
de la maniere de !es
trouver rigoureufement amant qu'elles font poiiibles
par la rnerhode des coffficiens indetermines.
Soit
Z,
une fonCtion
x,
y,
z,
qu'on mette clans
Z
au liet1 de
x, x
+-
!::.
x
au lieu de
y, y
+-
t:.y
au lieu
de
z, z
+-A
z ,
&
qu'on apptllc
Z'
ce que devient
z ;
alors on aura
Z'
=
Z
+-
D.
Z
&
A
Z
=
Z' -
z.
Si
on a une fonetion de
x, )',
z,
A
x,
A
y,
D.
z,
A,y,
A'
z , &c.
Ax etant fu·ppofe confiant, on mettFa Jans
cette fonCl: ion
Q,,
x
+-
D.
x,
au lieu de
x
,
y
+-
Ay
pour
y,
z +
D.
z
pour
z,
Ay
+-A'
y
pour
D. y, D.
z ,
+-
A•
z
pour
D.
z
,
t;.
•
y
+- A'
y
pour
D.
•
y,
A•
z
+–
A'
z
pour
D.'
z,
&
ai nfide fuite
,&
appellant~
ce
q ue devi'cnt alors
~.
on aura
~
=
Q.
+-
A Q,A
~
-= ~-Q.
SoirZ=lx,on auraZ'=lx+D. x &.O.Z =
t
x
+-I:;
x
-
!:<
-
l
~
""'
11
+-
~-
x
x
Soit
Z
=
e ox,
Z'
=
e
tJ:t-+
oAx =ea
Ax
ea:i:
:done
t::.Z= (e"
6
x_1)
e
0
";donc
t::.
xetant confiant
A
Z
=
o toutes Jes fois que
e
o A x
=
1.
Soit
Z
=
e
0
x•
....
4x
+-
c
Z'=e°
:i: '
..- b'
x-+t'
&
z1
-+D.
Z'=
zn
e"x • + b"x+l',lorfquet>. xea
fuppofe confiant.
On trOuvcra de merne que foit
z
une fonttion de
e a
x ,
&
e a
A
x
=
1 ,
Z'
=
z
,
pourvu que cette fon–
Cl:ion ne foit pas telle que pour avoir
e°
t:;
x
-
1
=
o,
ii
fai lle prehdre
a
D.
x
=
o,
ce qui arriveroit
li
z
=
le
0
x ,
ou (
c
0
"
) -;- ,
ou contenoit de pareilles
fontlions. Soit enlinZ
=e Neax
Z
1
=
eNea "
,° ~:
!lone
li
e
0
6
x
ell un nombre entier, la comparaifon
de ces dtux
Equations
peur faire: evanouir Cette tranf–
cendante ; de meme
la
comparaifon de
3
•
4,
ec.
bx
equations
femblables • feroit difparoitre
e
Q"
e
2 2
bx
ea x
e
,
&c.
Si maintenant on veut refoudre le probleme fuivant,
t rou ver l'integralt: fans differences variables d'une
cqtt11·
tioll
aux d1fffrenccs finies ' on
y
parviendra
a
l'aide
des obtervations fuivantes.
1
°.
L a propofee efi produite par la comparaifon
des
equations
Z
-
0 , 6
Z
.,
0 , A
2
Z
=
O , A
II
Z
=
0.
2 • .
11
n'y
~
point de fontlion tranfctndantc: de
z
,
&
y
dont la difference ne le foit, ou n'en contirnne
une
nouvelle.
3°.
1t
ftant une variable dont la difference
6
x
eft
conftante, au lieu d'une :arbitraire fans variabk, on
aura une fonet io9 arbitraire de
t a x, a
etant tel q
m:
a t:.
i:
""'t.
4
°.
U
ne feule
diff~rentiation
pourra , par la com–
paraifon entre la differtntielle
&
l'intfgrale' faire eva.
nouir un terrne
t
p
x'
p
erant quelconque,
&
la fon–
frion arbitraire fera. le coefficient de ce terme. Deux
dilferentielles fu ccdTives , comparees avec leur imegra–
lc,
peuvent faire evanouir un terme
ea
.x
2
+bx,
11
E QU
&
b
ctant qt1elco11ques
&
de plui
U:'I
fmnc
1b' ,,
I/
erant donni' en
a
&
b
,
&
ainfi
cle
fuirc.-. La com'pa.
raifon de l'inregrale avec la differentielle pc:ut
faire
ax
aum difparoitre
e
IV•
,
&
la comparaifon de
l'intc–
gr.a!e avec
d~~x
c:fifferenrielles fucceiiives , faire dilpa-
roitre
e ox e
,
&
ain!i de fuite.
5°. Q uoique la propofee ne contienne
p~s
A
x,
cc–
pendant l'integrale 9e l'ordre imrnediatement inffrieur,
peut contenir
x,
parce que la differenticlk exaCl:e peut
conrenir un terme conftant
a
~
0
~
dont l'integralc
ft
o x
Ax
e
Ax"
6°.
Si clans un produit indelini
F
x.
F
x-
D.
I(.
F
,,_
2 6
x
.••
le nom bre des termes etant ::...ou
::_;;
n'etant
tl
x
"' x
un nombre entier, on
fa
it
x
=
x
+
D.
x,
ce produit ne
change pas de forme
&
cft
f~ulrn1cnt
mu lriplie par
F
.~
-i-
A
x,
ou par
F
x
+-
D.
:i:.
F
x
+
2
t::.
x •
•.•
F "
+-
n
A
x;
done
li
on l'appelle
X,
on aura
X
-·~ ~
X
=
F
x
+-
A
x,
ou
F
x
+-Ax,
F
:i1
+-
2 6
x
...
en nom–
bre derermine
&
fini, done une Joule differentiaLion
pem faire difparoicre un nombre determine de ces pro–
<luirs mulriplies ou divifes les nns par les autres , en
meme terns qu'une exponenrielle
&
unc tunCtion ar-.
bicraire,
&
de mt:me deux differentiations peuvrnt fai-
re dilparoicre une
fo~Ction.
,
F
x,
Fx - .c.~·.
F x -
zD.x,
&c.
7°.
Si la propofee concient des radicauK dans fon
incegrale immediatement infericure, en <ldferemiant
la
propotee , on aura une
equation
qui aura deux incegra·
Jes
rarionnelks de l'ordrc: immediatcment lnfeneur.
8
°.
Le nombre des arbitraircs efl egal
a
l'expofant–
de
l'ordre de la propofee; mais on ne peut pas lui
fuppofer en general
n
integrales algebriyucs de l'or-
a x
•
clr·
n-
1.
En
effe t , on a d'aborcl
le
termt
e
qu'une
frule differentiation ne pourroit pa' faire difparoitre ,
ainfi lorfque l'inccgrale de l'ordre
n
-
2
do1t le con·
tenir, une des integrales de l'ordre
n
-
1
leb'c:me•
nant aum, fa differentielle exaae contienJ ra
e
D'ailleurs (
:E
etant le figne de \'imegrat1on par rap.
port aux differences finie! ,
&
Fx
defignant um: fon–
d ion donnee de
x
J,
l'inteorale <le l'orJ re
n
-
1
p«ut
concenir
:E
F
x,
&
cecte
fo~me
pc:ut n_e
pa~
_em:
ex·
primable en tt rrnes finis, par une fonCl:1on hn1e
d~
x
;
alurs
li
l'inteorale de l'ordre
n
-
2
coot1ent
:E
F
x ,
&que
F' x
c~mienne
!: Fx,
ii paroit impoffiblc
c1
a–
voir dcux integrates de l'ordre
ll -
!.
MdiS r1 on
P' Ut
egale:
!'/
F'
x
a
line foncbon finie de
x
&
F_
x
plu:.
une
foncboh
I
F"
:i:-,
P'
ne contc:na)lt plus
}
x, on aura
alors
ks
deuK integrales,
&
commc de tdles f?na1ons
peuvent encrer clans la <liffen:ntielle cxade, tans que
x
foi t dans la propofee , on ne' pourra fuppofer qu o_n
ait
n
integralcs de l'ordre
n-
1
qui puiffent la produ1·
re fans contenir
x
&
e
11
x
ou / ' "
n
,
&c.dans leurs
differentielks exat1es, ou m'eme des produm inJf fini>.
9°. II
fu it de-la qu'il faudra ou foivre la rnethJde
des integrations fo cceflives, ou bien, lorfqu'on aura
une
Equation
imegrale de l'ordre
n
-
1
q
LI
1
cont1en.iepx
. . • .
Neax
:ir
ou
t
,
m i
un produ1t 1ndefin1, ou
e
,
fuppo-
fer une autre intcgrale du meme ordre cont.enl
x
ou
l
x,
ou la fontl:ion indefioie,
&
de plus
ea x
'
-t
ii
x
&
une fonttion indefinie qui (
11°.
6
1
peut
difparolr~e
par deux diiferenciarions ,
&
ne devient la
pr~pofee_
qu'en metrant au lieu de relies de ces
quan~1te_s
qul
refknt apres avoir compare
cect~
nouvelle
1n,regr~le
avcc fa differentielle, !nus valt:urs tirecs de
l'eq11a11on
imegrak qu'o11 a
mn1ve;
d'abord ,
&
li
la
nuuvclle
inte·