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47.º
A P P
prendra fucceílivcment ; ainfi
X
frra coníidére dans. la
tuite cornme une fonélion qui n'a qu'une valeur , ré–
ponaante
~
chaq ue valeur
de
x.
~ '·
On chtrchtra d'abord les valeurs de·"' pofirives
t¡lll
_tendrnt
X =
o,
&
oo comméncera par déterrn iner
pour
x
une quantité telk qu'en l'allgmentant
X
ne pu lffe
plus changer de fi gne , ni ,deven ir zéro, ce qui fera
toujo.urs .P?ffible
to~1tes
les fois
q~1e
X
=
o o'ama pas
une 1nfin1te de racines. Ce dcrn1er cas fe rappelkroic
aux autres en mettant au !ieu de
x , x
=
fin.
x
par
cxemple, en cfftt alors au
heu
de
x ,
on auroit
a
an·
gle dont l e finus eft
x',
&
au lieu d'u n feul
X
a
exa–
miner,on en memoit une infinité répondans
a
l'angl~
dont.lefinu s
dt
x
-f-
m
Il
,.m
étant un entier quelconque.
3°.
Connoilfant les ·)imites de
x,
on prendra .Y+- ..!
q u'on fubílituera daos la propofée,
&.
on .aura
X'
=.~ ,
alors
..!..
rep ré'fentera les différences qu'il v a entre
x
&
y
'
la valeur de l'équation
X~
o.
4°.
Subllituant dans
X=
o.
les valeurs fuc.ceffives
en. nombre enrier' de
x ,
depuis
>."
=
o j ufqu'a
fa
li–
m~te,
&
cherchant_,¡?our chac une les limites dey,j'au–
ra1
y
=
<.
A" , /{
étant cette limite, , done il n'y
a
Foint de racines de
X
=
o entre cette valeur de
x
&
1
~
+-
Á'
5•.
'Prenant enfuite toutes les valeurs
x
+-
!....
en-
&
1
. .
A
tre
.O
a Jim1te de
X,
00
fera
la meme opération ,
&
par ce mayen on parvirndra
a
approcher des va–
leu rs de
x.
6º.
Pour trauver les valeurs
néga~ives
, on fera dans
Ja
propofée
x
= -
x
,
& on chcrchera =les valeurs po–
iiti
ves de
x.
7•
Pour trouver s'i l
y
a
des racines égales , on
·¡,,
1
.,dX
r·
ega er;i a zern a quant1te
([;-
, en u1te on cherche.
ra les racines pofitives ou néo-atives ,
&
on verra
fi
l es racines ne different de
celle~
de
X
=
o
oue
d'une
perite quantité ,
&
fi on
~épete
les
approximati~ns
cecee
d ifférence diminue continuelkment.
'
La mérhode de
M.
de la Grange fomnit un mayen
d'avoir c:n
férie la valeur <l'une quantité quelconque
y
en
x ,
lorfque
y
eft donné par une équation en
x
&
y
:
fi cette équation eft différentielle, on parvien–
dra égalemcnt
a
avoir une telle férie :· foit en effet
une éq uation différentielle en
y
&
x ,
on fera enfo r–
te qu'dle ne con tienne plus que
d
x
;
cela pofé
fi
l'éq uation mire fou s une forme
racionnelle &
en~ie
re , ayant tous
fes
rangs , &
la plus haute diffé–
rcnce
fo
trouvant . dans
le
premier, elle n'a poinr de
(X
f
1
!(
f
1 ':(
tenne
confta~t,
on fcra
y
=
A
e,
+-
B
e
·
+- Ce,.'.
+-
A'/
+-X
+-
B'
e f +-J'x e
+-
C'
e~f
+-X
&c.
&
1
°.
on aura
A, B,
C,
&c. arbitraires ,
&
fi
n
eíl:
l'or–
dre de J'équation,
J
fera donné par une équation
du dégré
11
'
!'
par la mcme équation
&c.
en forte
que
f,
J'
f '
fon t les différentes
racines de cette
équation : 2
°.
la fubílituti on de
A'
e
2
fx
+-
Blf
+-
j'.r
dans Je premier rang donnera des termes égaux cha·
'
l
'
A
/,r
B
t.r
cun a
e
1acun
a
ceux que
e
+
e
&c. pro·
<luir daos
le
frcond; done
A', B
1
&c. feront donnés
t:n
A , B,
&
ainfi de fuite:
3º .
fi
l'équation en fa
deux racines égales, foit
J
cette racine ,
il faudra
.i:
.
tx
,
B
tx
,,
1
1a1re
Ax e
+-
e
&c. en effet fi
P a y
+-
,n-
1
n-2
§la
y
+-
R d
y
&c. cfl le premier rang de la
propofée, on aura
B(pfn
-t-
!?(Jn -i
+
R/-2&+)
+- o
&
A (P .1'1
+. §¿+-11P/-
1
+- R+- n-Q./1- z
&c. )
=
o
done on aura a-la-fois,
P
f
+-
ff(/'-r
.¡-
R/-
2
,
&c.
o;
APP
·-
p/'~
'1-
2
/ -3 ,
o::
n
+-2-1
QJ
-fn~2
R
,
&G.=O';
Ce .qui a lieu toutes les fois que lléquacion en fa deux
racmes égales. On prouver'a de
!)leme q11e
fi cette
équation en a troi s, il faudra faire
y
=
A."(
1
+-
B'x'+- C,
u
(x
.
.
·
e
+-·
D
e
,
&c, & amfi de fo1te, pour- quat re, cmq
&e - racines égales:
4º.
au lieu
cle,A
1
/fx
+-
B
1
/+f'x
+.
2
fl X
•
..} '
~
• • •
t
•
,
'
Ce
&e, on voit que, dans. le cas·de .deux racines
'
l
2
C21x
fx
·
ega
es, c'eft
A'
,x
+-
B'x e
+-
C'
f
+-
f'
~
D
2['.r
&
•·¡e
d
.&
.
e
-+
c. qu 1 1aut pren re ,
amfi de fuire.
Si
la JJWpofée avoit
tu , un
te;me confiant
&
qu'elle eút contenu
y
au premier rang, on: auroic' fait
y=
.d +- B/1'
+-
c /'x
&e,
-t--./1/fx
+. n •/+-fx
&
fi
y
avoit été dans les rangs fupérieurs , on auroit
trouvé les
B·,
C,
&c.
toujours arbitraires &
s
pa'r
une équation
·c~'un dé~ré
1
dépendant du
r~ng
de la
.valeur hypochenque ,
0~1
.1
on
fe
fera, arrcté: fi
y
man–
q ue dans Jc;s.rangs [.uperieu:s d; la propofée, alors
f
eíl: encore 1c1 donnee par uno equation du déaré
11.
Si
!ª
propoíée ne contiene pas
y
~u·
premier
0
rang:
&
qu ellt: a1t un
terme conflant ,
Il
fat1d ra ¡'>remire
f<
-
f'
X
'
/
y=
Ax+- B e
.
+- C e
&c. A'x+- B'x
"'&c.
&
procéder , comme ci-delfos ; car le cas ou il
y
a
un terme conftant fe peut rappeller aifément
a
celui oi)
il manque., il'íuffit de différcncier l'équation propofée..
Cette méthode d'avoir en férie la valeur de
y ,
lorf–
q~'on
a une équacion di ff¿rentielle en
y
& en
x ,
s'ap–
pl1que au cas , ou ayant
111
équations en
m
+-
1
varia–
bles
Z ,
ti,
J •.•
.'X,
00
cherche
a
exprimer
Z, U
,y
.-. ,
~
par une fonél:ion en
x.
,
On peuc mfme l'étendre aux équatidns aux díffé–
rences finc;s , ou
A
:x
eíl: fuppofé confiant , la folµ –
tion fera la meme abfolument;
a
cela pres que"les arbi–
traires
A, B,
C,
.&c. feront daos ce cas égales
a
de's
fonél:ions de /
.r ;
e°
6
x
=
o ,
&
ces fonél:ions "étant
telles qu'elles ne changent pas de valeur
lorfque
«
deviene
x
+
tl
x,
'
Cette meme méthode
s'appliquera encare aux
équations; aux différences partielles ; fo it en effet uné
de ces équations qui ne, contien ne que z ,
&
fes dif.
férences
fans .contenir de
x
de
y ,
ni de terme con-
ft
r.
•
'e
.
A
1
.<
+-
g
y
B
t(
X
+-
g'y
ant , 1 ¡e ia1s
z
=
e
+-
e
&c.
+!
A '
2fx +-2 g y
B'
2/x +-g+- g'y
&
.,
.
e
+-
e
+-
c. J aura1,
J~
A, B ,
a
rbitraires , une équation en
f
&
g,
enforte
q ue
f
fera
tol.ltce qu'on voudra, &
g
donné en
f,
&
~
·tx+-g J
que le terme
A e
&c. fera la fomme de
tous
ces k rmes dont le nombre eft infini,
S'il
y
a up .terme con!tant, & que
z
foit daos
Je:
.
"
.
A
Bt.v+- qy
prem1er rang, on 1era
z
=
+-
e
º
&c.
&
alors felon
le rang
9u
l'on s'arretera , l'équation en
f
&
g
fera d'un ordre plus élevé.
Le -mayen pour detérminer
les arbitraires , .lfera
le meme
que dans les équations linéaires.
(
f'oyez
LINÉAIR E. )
La méthode expofée jufqu'ici -fcrt
a
donner
y
;ll
z ,
lorfq u'on fait que
y
eíl: tres-petit , & qu'on n'en
peut négliger une certaine puilfance. Voici une autre
méthode qui . peut fervir
a
avoir
J
en
X
l9rfque
X
eft
tres-petit , lorfque l'équation eft du premier ordre.
E lle eíl: fondée fur cette remarque que fi
A d
x
+–
B d
y
eft une équation qui a tous fes termes,
/J
&
B
,
.
1
A'
.e
n ·
,
d
etant rat.1onne s , & que
ff'
ces 1onu1ons etant
·
ll
dégré
m ,
rendent clifférentiellc exaél:e une équation
peu différente
de
A d
:x
-+
B d
y
=
o, on pourra ,
A'
Z
'
en prenant
~'
:
~'
pour faéleurs de
Ad
x
+-
B d
y,
faire
Z
&
Z'
d'un dégré_ re} que Qégligeant les
f
~c.on~
des dimenfioñs des coeffüiens de
z
&
t
1
&
des
pe-