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FRA
==
77'
& (
10~ "'
-
1)
q
= 77000- 77
=
76923;
done
+r
= o, 076923; ou bien, quand on a trouve
-!r
= 0' 076 ,
6 3 '
on prendra le complement a 9 des
rrois chiffres trouves . on l'ecrira a la fuito de ces
chiffres,
&
on aura la periode entiere .
8°. Une remarque analogue frrt a verifier !'ope–
ration, quel que foit le r 'fidu. Soit, par exemple ,
m
m
I O
+
D
-
r
10 -
r
b
·
'
fl
~·
d'
-
- D--
ou
---V-
ua nom re ent1er, c e1L-<1-
ire ,
qu'apres
m
divifionS On ait Je refidu
r,
OU bien que
m
1r=
o +
~,
ou fi le quotient efr
q,
qu'on ait
D .1om
l
r
r
rr
&
D
= o
+
q
D
,
&
on aura
75
=
r
q
+
75 ,
'
par ·
contequent, quand on aura fait de nouveau
m
d1vi–
fions' on trouvera le refidu
r r'
OU
fir r
>
D'
OU=
f
D
+
s,
on devra trou ver le refidu
s.
Concluons
d e la qu'on pourra verifier par-tou t !'operation' en
regardanr
Ii
a pres le double nombre de divifions on
trou ve le quarre du premie r refidu, OU Ce qui refie
ap res qu'on a div1fe ce quarrc par
D.
Il
ell de plus
evident qu'on peu t continuer certe verification auffi
fort loin qu'on ve ut' aVee le meme refidu; car
{i
apres
3
m
di
v i
lio ns, ii (era
r
3,
ou
rs
o u
s
1 ,
oarce qu'on
p eut avoir
r3-= (JD + s) r=fr D +;s = f rD
+
g
D
+
s '
= f '
D
+
s
' ;a
pres 4m divilions, ce rell:e
J
11
(e
dcte1mir.era en failiintr4=(f'
D
+s') r=
f'rD+
~'r
=f'
rD+hD +s" =f" D+ s",&
einfi de (uite.
Il
efi hon d'obfo rver auffi que
fir
ef!: grand
&
appro hant de
D,
on peu t lui fuo!limer
D
-
r.
9°. La
remarque de !'article precedent
fert
comme
celle
du fep rieme,
a
ab rege r confiderablement ces
'<>perations dom
ii
s'agir. En effet, des qu'on ell: par–
venu a nn r ' fidu qui n'efi: que de qu elques unites'
ou qui ne differe de
D
que de qnelques unites,
on pent rrou ve r faci lemenr la periode entiere fa ns
achc ver la di vifi on effe8:ive. On n'a
au'a
mul ti plie r
par
r
le quotient
q
tro1rve par !es
m
p;emieres divi-
1ions ' on obtiendra
m
chiffres qu'on ecrira
a
la fu ite
des
m
premie rs; on mulripliera de nouveau cette
feconde periode par
r
pour ranger ce produir apres
le
fecond,
&
ainii de (uire: on tiendra compte
de~
valen rs
def, g ,
h,
&~ .on
def,f', f ",
&c.
&
on
continuera cette operacion jufqu';\ ce qu'on voie les
rn emes chitfr s re ve nir
&
qu'on ait la
Jrafliofl
de.:i–
malt
complette, ou du moins jufqu'a ce qu'on par–
v ien ne aux compl cmens
a
9 des premiers chiffres'
&
qu'on voie par-la qu'aya nr pafle la moitie de la pe–
r·i0de, on pen t l'ache ve r confo rmement
a
!'art. 7. Les
d ell)!: exemples fuivan ecl<ll rciront cettc rema rque.
ro
0
•
£ ,:emple premier.
Lorfq u'on reduit ,'; en de–
cimales, on trouve ;, = o , 043478 ,
6
1 ,
c'efi:-a-dire,
I
fl
10
6 -
6
e 6e ou
me
reHe
=
6; on en conclut que -
'
13
r..
10
~
-
6.
6
10
6 -
6
J
J:
b
----' ·
,
u·c.
font des nom res eR-
:i3
13
.
b'
.
'
10
6
+
6
l
fi
tiers, ou 1en que ....,. etant = o,
~
,
es
11'
'
1}·
10
chiffres qui fui vront ceux
q.uedonne cette diviiion
!i
.
,
G.
rn
6
+
6 •
.R,
•
{j
d
f .
eront expnmes par
,.~.
IQ , •
,
~
IJin
l
e
UJCe.
Puis done qne
T
=
6,
r • =6
2
=t.23+13,
r ; ::::
6
I=
6 (
2
3
+
t
3)
=
6.
2
3
+
3·
2
3
+
9,
r•
=
6 •
= 6 (
9.
23 +9) = 54' 23
+
2. 23 + 8
=
56.
23 +8,
&c.
On aura
f
=
r ,
g
= 3 ,
Ii=
2 ,
f"
=
9,
f
111
=
5
6 ,
S
=
I
J
>
S I
=
9 ,
SII=
8,
&c.
On n'a pas befoin d';i ll er plus loin, parce que
m
etant
=
6,
la periode ne peut paffer 4
m
chitfres.
Or , Jes
m
premiers chiffres
font
043478; done
les
m
fuivans ......
6. (
043478) +
r
ou 260869.
.ITJ ..
.• .,. .... , • (). (
260869) +
3
OU 565i17.
UJ
•" """",
U•
5652.17
:1:-2
OU 391304.
FRA
ainfi la periode efi: de 22 chiffres
&
=
0,043478260869 5.652173913,
&c.
&
on voir qu'apres le
01~zieme
viennenr les
com~
plemens
a
9, des premiers.
1 1
°.
J'ai
fa
it enrrer clans cette operation les va,,
leurs de f ,
g ,
/1;
fi on vouloit tenir compte plutoc de
f,f' ,f
11 ,
voici comment on procederoit: on multi–
pl~e roir
Jes P.remiers
''!
chiffres par 6, le produit de
m~me
,
&
amfi
des
fu1va~s?
o,n ne tiendroit compte
9u
a.
la
_fln
de-s refies negl1ges ,
&
on difpoferoit
I
operation de la fa <;on qui fuit:
-h= o., o43478
260868
15651.08
9391248
56
·'1'
'
8
---'-
don~
, 3
=o, 04347
26086956 52173 9 13 0~ ,
&c.
I
2
°.
La meme operation en fin oeut auffi
(e
ref:
duire
a
la forme fuivan1e;
•
puilque ,'; =o, 04 3478 ,
6 ;
,
on
a ,
6
,
= o, 260868
!~
=
o, 260869 ..'..l·
done ,'; :::: o, 043478260 869 :: ,
n •
& :;
= o, 565217391297 + -'-") 'OU+ 7
J_ .
•
•
1 )
:z;
,
on
ue
peut pas le mepr ndre fur Jes valeurs
deci~
males des multi ples de ; ;· qui font
a
la fin de ces
p ' riodes,
&
en joignam !es <leux dernieres
on a la
meme
frnfliofl
periodique complette que
~i-deffus.
13° .
Exempltdeuxiam.
On a
8 ' 9
=o, 0 11235
~~ lei le 6e ou
me
refie efi
8
<
ou - 4
&
:~
6
+
4_
e{l
)
,
23
un nombre entier. En reprenant Jes lettres de
la:
remarq ue 8e, nous aurons done
rr=(-4) ' =+
16 ,
r
3
= ( -
4) ;
= -
64,
r
4
=
(
-
4 ) •
=
+
2)
6
=
2.
8
9
+
78 ,
r:
=
I
-
4 )
~
=-
8. 89- 4. 7 8 = ,- 8. 89 -3. 89-45;
T
=(- 4 )
=-J-44. 89+1 80= -f-44.89+2.89+2,.
r 1=( - 4)
7
= -
184.
il9 -
8,
,
, s= (-4) s= + 736 +
p;
parconfcqnent,
apres 2
m
divifions, le
11.•
refi:e
s
{era= 16
3
JI/. ,
1
e • • • •
SI
• • •
= 89-64=251
4m.
24• ....
s11 •••
=78
.
5
Ill'
3oe '' . '
SUI
' '
'
= 89-45=44
6m.
36<. ...
sIY •
..
=
2
7m.
4 le....
sY
...
=89-8=81,
8m.
48•,.,,
JYI
,,,.=32;
on aura de plus
f=o,
g=o , li=o, i=-3,k=
+
2,
l=o, n=o;
~f'=o,Jir=2,Jm
=
-1,Jrv
= 46,fv =-184,.
jvI
=
73 6 .
Je n'at pas continue cette enumeration parce que
fi ,avant que d'aller pins loin'.
<;>n
appliq~e
ces don–
nees , on trou.vera que la penode n'ell: que de 44
termes,
&
pmfque le 48• refie feroit
3
:z.
il s'e
11
enfuit qne
3
2 cloit auffi ecre le 4• refie.
'
I
4° . Une remarque pareille
a
celle du
n°
9 a lieLJ.
au~,
lorfqLte
r
OU
D
-
r'
(ans etre precifement un
p~ut
non:ib_re , ,eil: un muh1ple ou un fons-mulciple
dune pu.1flance de
I~;~'
par exemple, le refidu eff:
2
5 ,
~u.
heu de .mult_1,pher !cs
m
chiffres par 2
J,
je–
les d1v1fe par 4,
&
J
avance la deuxieme ranoee de:
deux places, fans quoi je la prendrois
10 0
fois 1rop
petite,
&
je tiens compte des refidus.
15 °. On deduit facilement de la formule
10
~-
1
que
~
ell toUjOUfS egal au quotiant periodi que
IO';; l
J
divife par le nombre qu'exprime le chiffre
9
repcte
s
fois: par exemple,
-!y
='O, 076923,
&c.
=
9
7
/ 9• I ;.
il feroit done uti le d'avoir une table qui
co111inr
9
;~ur
pl~1fieurs
_nombres 9, 99 , 999,
{,·r..
!es
nombres pre–
miers qu1 en font des fa8:eurs, fH1tfqn'on y verroit
pour un grand nombre de
fraaions
li
de combien de
chiffres deviennent les periodes
de leurs
v<1leurs
~