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S E R

évideot que

vou5 prenez d'abord-i-pié,

enfuire~~u

la moitié de ce qui relle,

c'ell-a-dire~de

pié;

puis

•

.;-., ou la moirié du relle, c'ell-a-.dire Tjepié,vous

p ouvez opérer fans fin, en prenaor roujours rle nou–

velles moiués décroi!lanres , qui, toares enfemble

ne fo nt qu'un pié. Q.uand on die

m~me

que routes

ces

p~rties

prifes enfemble font un pié, il nc f:tut pas

p rendre cette expre!lion a la rigueur, car elles ne fe–

r oient un pié que dans

la ruppoútion que l'on eílr

pris rous les termes de la

foite,

cela ne fe peut,

puifque

lafoite

ell infinie; mais on peut prendre

tant

d e termes de la

foite

qu'on veur, plus on en pren–

dra , plus on approchera de la valeur d' un pié,

quoiqu'on n'air jamais le pié exaétement, on pourra

en approcher aulli pres qu'ort voudra: ainli cecee

fi•it•

•1'a pas pro prement un pié pour la fomme, cJr

une

ji1ite

i11jinÜ11'a poim de fommc propremenr dite,

puifque la lomne varie fdon qu'on en prend plus ou

moins de termes,

qu'on ne peur

jam~1s

les

pre~tdre

tous; mais ce qu'on. appelle

ia.fomme

J'mu

Ji•ite,

c'ell

la limite d

lomme de fes

aitfér~ns

termes, c'ell–

a-d¡re une quanrité done on approche auffi pres qu'on

vcur, en prenanr

r;~ujours

dans

jilite

un nombre

de termes de plus en plus grand. Nous croyons de–

voir fa ire cene remarque en pafl3nt, pour nxer l'i–

dée netre du mor r!e

.fommt d'tme foiu.

Revenons

préfen r

ñotrc

Ji•ite..!..

..!..

•

D ·ms cer -exem¡:>le n us ne prenóns pas feulem enr

les .P trues qui éroient dans le tour, dillinguées l'une

de l'aurre , mais nous prenons rour ce qui y étoir;

c'etl:

pourquoi J! arrive que leur fomme redonne pré–

cifémenr le rout ou la quantité emiere; mais fi nous

prenons la progreffion géométrique

..!..

&c.

•7.

•

c'ell-a-dire, que nous prenions d'abord -

de pié,

que du relle l'on en prenne-;,

que de ce dcrnier

r elle l'on prenne encore

de pié,

&c.

ell vrai

q ue nous ne prendrions que les parries qui font dif:

tinétes l'une de l'autre dans le pié; m1is nous ne pren–

drions pas toute& les parries qui y {om contenues,

puifque nous n'y prenons que tous les tiers, qui font

plus petits que les moitiés ; plr conféquent, rous ces

tiers qui décroilrenr, quoiiJu'en nombre iufini , ne

pourroienr faire le tour;

il ell

m~me

démonrré

q u'ils ne feroienr que la 111·1Ítié

d'un

r ié; pareille–

nt rous les quarts, qui décroiflent -a l'infini, ne

donneroienr qu' un riers pour fom tne ror-Jie,

rous

les cemiemcs ne feroient qu'un quarre-vingt dix-neu–

Tieme; ainfi, non-feulemenr la fomme des termes

d'une

foíte

gé.>m~rrique,

dont

l~s

termes décroJirent

l'inlini' n'ell pas toujou rs une quantité finie ; el le

p cut ml'me

~rre

plus perite qu'.one quamiré tinie

quelconque: car nous venons de voir commenr on

peur former une

j11ite

de quamités qui ne foienr éga-

les qu'a

..!..,

..!..

on peur de

m~me

en former

•

<]UÍ

ne foienc

~gales

qu'.t.!.,

&c.

...!_,

..!

100

IOJO

&c.

ainli

l'infini.

Si nne luire infinie décrniflanre exprime des par–

ties qui ne puilr.,nt pas fublil1er dans un rout fepare–

mcnt les unes des .aurres, mais qui (oient relles que

pou_r

e~primer

leur valeur,

fo tt néceflaire de fup–

p oler la

m~me

quantlté prJ!e plu{¡eurs foi& dans le

mt!me tour; alors la.

mme de ces panies

fer~

plus

fiírañde qoe le rout luppofé,

m~me

pou(ra t!tre in–

finimen~

plus grande, c

'ell:-.a-

dire, q"!e la

fomm~

fe–

lime,

me q

uanm

é ell pnle une

infinit~

fois. Ainli dans la progreffion harmonique..!..,

--!.,-'-

•

'fic.

nous

Pr~nons

pié ou

pouces, enfuire..;..de

pié ou _. pouces,

el1 évidenr que nous ne pouvons

plus prendre-¡- de piá ou rrois pouces, fans prendre

ppuce au-delrus de ee qui refie dans le pié. Puls

do~c

que !e tour ell déja épuilé par la fomme des

trOIS prenuers termes' l'Ot) ne fauroit plus ajourer

ces troi6 termes. les r.ermes

f~1ivans,

fans prendre

quelque chofe qm a dé¡a éré

pros ;

puifque

ces

ter–

mes

font infinis en nombre, if ell tres-poliible que

m~IT)e

quantité finie pqilre étre répétée un nom–

bre intini de tois ; ce 9ui rendra intinie

fomme de la

fuite.

S E

ous dl(ons

pq{/iblt;

car, quoique de dcnx

foitrr

infiniu,

l'une pu1lle faire une lomme finie,

l'autre

une fomme in6nie , il peur fe

rrouv~r

une

foJu

u .

les termes finis ayant épuifé le tour, les termes _fui–

vans, quoiqu'infinis en nombre> ne feront qu'une Iom–

me fin1e.

De plus il el1 nécelraire de faire deux remarques

fur les

f.riu

en génér31.

1°.

Il y a quelques

(ititu

daos ter,,uelles, apres un certain nombre de ·terme>,

rous les

tres termes, quoiqu'infinis en nombre, de–

viennenr chacun é"'aux

zéro .

etl évident que

1.1

fomme de ces

foi'tu

eft une fomme finie ,

qu'on

peur aif.!ment la trouver . Soit par exemplc, la fu ire

m••

+m.m-IaJ

+m . m-t.m-~64

m.m-I.m-~.m-¡.ar

, &e

il ellévi.lent que

011

fait, par e•emple,

m=l'

cene

foit~ r~ r~rmine

ra au

4<.

rerme . Car rous les amres dcvant

~tre

mul–

pliés par

-3

qui ell

caufe de

ces

termes feront

n~celrJirement

chacun égaux

zéro ,

ces

.frtitu

n'ayant qu'une app1rence d'mfinité.

2 11 •

Q ue la

m~me

grandeur peut

~trc

exprimée par

ditférenres

Jititu,

qu'elle peut l'erre par une

foiu

donr la fomme el1 déterminable,

par une autre,

dont on ne fauroir trouver la fomme.

La géométrie n'eft pas fuj_etre, dans l'exprellion des

grandeurs, a auranr de ditliculn's que l'arirhmétique:

exprime cxaaement en lignes les nombres irra–

tionnels,

l'on n'a poinr befoin d'y recourir aux

Jitites inji1litr.

Ainli l'on fait que la diagonale d' un

quJrré, done le curé ell

1 ,

exprime la racine quarrée

2 .

Mais en quelques aurres cas, la géométrie el–

l e-m~me

n'eft-pas exempte de ces inconvénicns, paree

qu'il y

quelques lignes droires que l'on ne peuc

e~primer

aurremeur que par une

foiu

infi nie de li–

gnes plus perites, dom

fomme

peur

~rre

dé–

rerminée: de cette efpece fonr les lignes droircs éga–

les a

d~s

courbes non reélifiables; en cherchunt, par

exemple' une ligne droite égalc

circonfércn~e

d'un

cercl~ ;

on trouve que le diamerre éranr fuppofé

lig~e

cherchéc

fera..!._,!.~_.!_+..!.,

&.-.

Voy~z

RE<:TJ FICA TION .

l~unnt

l'inveunon d'une

Ji•ite

inftni~,

qui expri–

me des quanrités cherchées, Mercaror, le premier

invemeur de cette méthode, fe fert

i>Our cet etfet

de la divilion. Mais M.

N~wron

M Léibnirz onr

porté cette théorie plus loin ; ·le premíer, en trou–

vant fes

foites

par l'enraétion des racines;

le fe–

cond, par une autre

.foite

préf'uppofée.

Pour trouver, par le moyen de la divilion, une

f!•it~

qui loit l'expremon d'une quanrité cherchée .

Suppolons qu'on demande une

foite

qui exprime le

quorient de

divifé par

a+ e,

d1vifez le divrdende

par le· divifeur, comme dans f'a lgebre ordínarre,

Pll

cominuant la divilion ,

juf'qu'a ce que le quotient

fafle voir l'ordre de 13 progreffion, ou la loi fuivant

laquelle les

termes vonr

l'ínfini; obfervanr tou–

jours les

regl~s

de la fou11raétion, de la multiplica–

rion, de la divifion, par rapporr au changement des

fignes. Quaml vous aurez pou(Jé cene opératio11 juf'qu'a

un cerram point, vous trouverez que le quouent cft

•

-;--...-+--¡

---¡-·

fic.

lmfim . Ces quatre ou

cinq termes érant ainú r.rouvés, vous reconn?itrez

fa–

cilemem que le quonenr confille en une

jiJitt

mfime

de fra

ions. Les numérateurs de ces fraét rons lunt

les puiífances de

dont les expofans fonr moindres

d'une uniré que le nombre qui marque la place que

ces termes occupent,

les dénominateurs fonr les

puilrances de

4 ,

done les expof.1ns fonr égaux au rtom–

bre qui m3rque la place de ces termes: par exemple,

daos le rrolieme terme, la puif!Jnce de

efi do fe–

con¡! degré daos le numérareur;

la .puiflance de "

ell du croifieme de[ré dans le dénomrnareur.

Par

conféqu~n¡

0 .

en fublliruant

ces valeurs, r¡ous aurons

le quotrent ci-deflus =

-e+?-c

3 ,

&e.

l'infini: c'ell pourquoi

,..±-;

-e+c'-cj '

&e.

i'infini.

°.

Done li les termes qui fonr au quotient

dé–

croilrent continuellement, la fuíte donnera un quo–

¡ieqt auffi pres du vrai qu'il ell poffible. Par exem–

ple,

b=l,

c=t ,

a=~•

ces

val~urs

étant

[ub~i¡uées daos la

foite

générale,

la dtVIÍIOn érant

fiure

comme dans l'exemple général ci-deflus, on rrouvera

--~----+-, -~6+---+-.-,

J-a•a-a.

6 ..4

Sup-